Limites
Fabio Licht
Antes de mais nada,
vamos relembrar os
símbolos usados na
matemática
Definição Formal de Limite
Seja uma função y
= f(x) definida sobre algum intervalo
contenha o número a, mas não
aberto que
obrigatoriamente essa função necessita estar definida
nesse ponto
a.
Podemos dizer então que, o limite
f(x)vale L quando x se aproxima, ou quando x tende
ao número a e representamos essa afirmação
por limx→a f(x)=L se, e somente se, para todo
número ε>0, existir um número correspondente δ>0 tal
que |x−a| < δ ⇒ |f(x)−L| < ε.
de
Entendendo a Definição
Formal de Limite.
A definição formal de Limites diz que se conseguirmos
fazer
|x−a|
tão
pequeno
quanto
possível
e |f(x)−L| também tão pequeno quanto possível, mas
maiores que zero e pudermos associar essas diferenças
por meio de uma relação, então existirá o limite Lda
função f(x) quando x tende ao número a.
Em outras palavras se pudermos atribuir um valor “ε” maior
que zero de modo que exista um valor correspondente “δ”
também maior que zero então: limx→a f(x)=L
Graficamente Ficaria
Assim...
Noção Intuitiva
Sucessões numéricas
1, 2, 3, 4, 5, ....
Dizemos que:
Os termos tornam-se cada
vez maiores sem atingir
um limite
x  +
x tende a + infinito
1 2 3 4 5
, , , , ,.....
2 3 4 5 6
Os números aproximam-se
x1
cada vez mais de 1, sem
x tende a 1
nunca atingir esse valor
1, 0, -1, -2, -3, ...
Os termos tornam-se cada
vez menores sem atingir
um limite
3 5 6
1, ,3, ,5, ,7,...
2 4 7
Os termos oscilam sem
tender a um limite
x  -
x tende a - infinito
Noção Intuitiva
• Seja a função f(x)=2x+1. Vamos dar valores a x que
se aproximem de 1, pela sua direita (valores
maiores que 1) e pela esquerda (valores menores
que 1) e calcular o valor correspondente de y:
x
y = 2x + 1
x
y = 2x + 1
1,5
1,3
1,1
1,05
1,02
1,01
4
3,6
3,2
3,1
3,04
3,02
0,5
0,7
0,9
0,95
0,98
0,99
2
2,4
2,8
2,9
2,96
2,98
Noção Intuitiva
• Notamos que à medida
que x se aproxima de 1, y
se aproxima de 3, ou seja,
quando x tende para 1 (x
 1), y tende para 3 (y 
3), ou seja:
Vizinhança de um ponto
Para um valor arbitrariamente pequeno >0, a vizinhança de a é o
conjunto dos x compreendido pelo intervalo
a   x  a 

0

a
a-
a+
  x  a  
xa 
x
Limite de uma variável
Se x-a< valer para todo >0, arbitrariamente pequeno,
dizemos que a variável x tem um limite e tal limite vale a.
Simbolicamente,
x  a, lim x  a
x1
a-
x2
x3
a
a+
x
Os valores x1, x2 e x3 da variável x, estão na vizinha 
de x=a. Isto é, os valores xi estão no intervalo a- < xi
<a+ (i=1,2,3)
Limites Laterais
• O limite de f(x) para x  a existe se, e somente se,
os limites laterais à direita a esquerda são iguais, ou
sejas:
• Se
• Se
Exemplos
1. x é a variável de valores
1
1
1
x1  1, x2  1 , x3  1 , ..... xn  1
2
3
n
Essa variável tem um limite que é 1.
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos
calcular , para provar que a inequação x-1 < . O ponto
de partida será portanto a expressão x1, i.e. calcular
quanto ela vale;
1
1

xn  1   1    1 
n
n

x 1  

para
1

n
ou
n
1

(n=2) x é o conjunto dos termos: x1=1, x2=1,5,
e>1/2=0,5. e=0,51 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5
1
1,5
1o.term o
1,5
2o.term o
2
x4=1,25, x5=1,2, x6=1,16
>1/6=0,166667. =0,51 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
1
1o.termo
2o.termo
1,5
3o.termo
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
n
xn
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
3
1,333333
3o.termo
n
xn
1
1
1o.termo
2
1,5
2o.termo
3
1,333333
3o.termo
4
1,25
4o.termo
5
1,2
5o.termo
4o.termo
6
1,166667
6o.termo
termos
3o.term o
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33,
0,5
1
termos
2o.term o
1
1o.term o
xn
2
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,5, x3=1,33,
ε>1/3=0,33333. ε=0,51 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,51
0,5
n
5o.termo
2
6o.termo
termos
2. x é a variável de valores
1
1
x1  1  , x2  1  2 ,
2
2
1
n 1
x3  1  3 , ..... xn  1  (1) n
2
2
Essa variável tem um limite que é 1.
 uma vizinhança de centro em 1, com raio ; devemos calcular .
1 
1

xn  1  1  (1) n n   1  n
2 
2

1
log
1

n log 2  log
 n

log 2
x 1  

para
1

n
2
ou
2n 
1

ou ainda
(n=2) x é o conjunto dos 2 termos: x1=1, x2=1,25,
>1/22=0,25. =0,26 satisfaz a condição e todos os valores
da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5
0,75
1
1o.term o
1,25
0,75
0,75
1o.termo
2o.termo
2o.term o
1
3o.termo
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
1,25
n
termos
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
3
0,875
3o.termo
3o.term o
1,25
4o.termo
xn
1,5
(n=6) x é o conjunto dos 6 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875,
x4=1,0625, x5=96875, x6=1,015625
>1/26=0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5
termos
2o.term o
1
1o.term o
xn
1,5
(n=3) x é o conjunto dos 3 termos: x1=1, x2=1,25, x3=0,875,
>1/23=0,015625. =0,26 satisfaz a condição e todos os
valores da variável x ficam na vizinhança |x-1|<0,26
0,5
n
5o.termo
1,5
6o.termo
n
xn
termos
1
1
1o.termo
2
1,25
2o.termo
3
0,875
3o.termo
4
1,0625
4o.termo
5
0,96875
5o.termo
6
1,015625
6o.termo 18
3. X é uma variável de valor constante c
Essa variável tem um limite que é c, ainda que pareça estranho.
 uma vizinhança de centro em c, com raio ; devemos calcular .
x c  cc  0 
para 
0
xc 
19
Observações
1. Uma variável x não pode ter dois limites diferentes, a e b.
se
lim x  a
xa 
e
e
lim x  b
x b  
ba
im possível para  
2
 
 
a
b
x
(b-a)/2
20
VARIÁVEL INFINITAMENTE GRANDE
a variável x tende ao infinito, se, p/ cada número positivo M, pode-se
Indicar um valor de x, a partir do qual, todos os valores subsequentes
da variável verificam :
x M
Seja a variável x o { x1, x2, x3, x4, x5....xn}, mostrado na figura abaixo.
x1 x2 x3
x4
x5
x6
Xn-1
x
A partir de x4, todo valor subsequente da variável é maior que o antecedente;
para M=x4, |xi|>M, p/ i=5,6,7....n
21
Limite de uma função
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos
pontos desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
lim
f ( x)  b
x a
se, para cada número positivo ε > 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar
um δ > 0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | < δ , a desigualdade
| f(x) - b | < ε, fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x).
b



a

22
Exemplos
lim (4x  2)  14
x 3
lim
x2
lim
x 5
1
3
x 1 
4
2
lim (3x  1)  7
x 2
lim
x 2
x3  4 x 0
 ?
2
x 4 0
x 5
0
 ?
2
x  5x 0
Os “resultados” dos limites das funções 3 e 5 demonstram que o cálculo
do limite não se faz por uma simples substituição direta do valor para o
qual a variável tende. Veremos que existem resultados para tais limites
23
Cálculo pela definição
lim (4 x  2)  14
x 3
Se 14 é o lim f(X), quando x  3, temos que ter:
4 x  2  14  
4 x  2  14  4 x  12   x  34  4 x  3
4 x 3    x 3 



4
4
24
(3 x  1)  7
lim
x2
Se 7 é o lim f(X), quando x  2, temos que ter:
3x  1  7  
3 x  6  ( x  2)3  3 x  2
3x2  x2 
 


3
3
25
lim
x 2
1
x 1  3 / 2
4
1
3
x 1  
4
2
1
3
1
1
1
1
x  1   x   ( x  2)  x  2
4
2
4
2
4
4
1
x  2    x  2  4
4
  4
26
x  4x
2
2
x 4
3
lim
x2
x  4x
2 
2
x 4
3
x ( x  4)
2  x2
2
x 4
2
x2 
 
27
lim
x 5
x 5
1

x 2  5x
5
x5
1


x 2  5x
5
( x  5)
1
1
1



x ( x  5)
5
x
5
t em o sen t aoque
1
1


x
5
1
1
1
 


5
x
5
1
1
5
5
 x 

 x 
1
1
1  5
1  5


5
5
2 5
2 5

 x5 
1  5
1  5
m as1  5  1 e 1  5  1, p o dem o sescrev er
 2 5  x  5  2 5
x - 5  2 5
  2 5
28
Propriedades dos limites
Sejam b e c dois números reais, e seja n um inteiro positivo.
I) lim b  b
x c
II) lim x  c
x c
III) lim xn  cn
x c
IV) lim
x c
n
x 
n
c
Obs.: Em IV, se n for par, c deve ser positivo.
Um intervalo aberto de raio 3 em torno de x0 = 5
estará dentro do intervalo aberto (2, 8).
lim
f ( x)  L
x a
se para todo  > 0, existe um número
correspondente  > 0 , tal que
|x-a|<   |f(x)-L|< ,
para todos os valores de x.
Relação entre  e  na definição de limite.
Operação com limites
Sejam b e c dois números reais, n um inteiro positivo e f e g
funções para as quais lim f ( x)  L e lim g ( x )  M .
x c
xc
I) lim [b.f(x)]  bL
x c
II) lim [f(x)  g(x)]  L  M
x c
III) lim [f(x).g(x)]  L.M
 f(x)  L
IV) lim 
 ;

x  c  g(x) 
M
V) lim  f(x)  Ln
n
x c
x c
VI) lim
x c
n
f(x)  n L
Obs.: Em VI, se n for par, L deve ser positivo.
 lim g(x)  0
 x c

Operação com limites
Propriedades
• P1 - O limite da função identidade f(x) = x, quando x tende
a “a”, é igual a “a”.
lim x  a
xa
Exemplos:
lim x  3
lim x  e
lim x  
3
lim
x

5
3
x 3
x 
x e
x 5
lim x  0,3
x  0 ,3
Operação com limites
• P2 - O limite de uma função constante f(x) = K, quando x
tende a “a”, é igual a própria constante:
lim K  K
xa
Exemplos:
lim4  4
x 3
lim  
x 2
lim e  e
x 2
lim
x  
3
5 3 5
Operação com limites
• P3 - O limite da soma é igual a soma dos limites
(caso esses limites existam):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
xa
x a
Exemplo:
lim( x  3x  5)  lim x  lim 3x  lim 5 
2
2
x 2
x 2
x 2
x 2
lim x  3 lim x  lim 5  2  3.2  5  15
2
x 2
2
x 2
x 2
Operação com limites
• P4 - O limite da diferença é igual a diferença dos limites
(caso esses limites existam):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
xa
x a
xa
Exemplo:
lim(2 x  x)  lim 2 x  lim x
2
2
x 2
x 2
x 2
2 lim x  lim x  2.2  2  6
2
x 2
2
x 2
Operação com limites
• P5 - O limite do produto é igual ao produto dos limites
(caso esses limites existam):
lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
xa
xa
xa
Exemplo:
lim( x 2 )  lim x.x  lim x. lim x  3.3  9
x 3
x 3
x 3
x 3
Operação com limites
• P6 - O limite do quociente é igual ao quociente dos limites
(caso esses limites existam):
f ( x)
 f ( x)  lim
x a
lim

x a g ( x) 
g ( x)

 lim
x a
Exemplo:
( x  5)
35
1
 x  5  lim
x 3
lim 3



3
x 3 x  7 
( x  7) 27  7 10

 lim
x 3
Operação com limites
• P7 - O limite da potência de uma função (f(x))n, onde n é um
número inteiro positivo, é igual a potência do limite da
função (caso exista):
lim( f ( x))  (lim f ( x))
n
xa
n
x a
Exemplo:
lim(2 x  x )  (lim(2 x  x ))  3  81
3 4
x 1
3
x 1
4
4
Operação com limites
• P8 - O limite da raiz de uma função n f ( x
, )é a raiz do
limite da função, se o limite existe e é maior ou igual
a zero:
lim n f ( x)  n lim f ( x)
x a
x a
Exemplo:
lim x 4  4 x  1  lim ( x 4  4 x  1)  (2) 4  4(2)  1  5
x2
x2
Resumindo...
Propriedades dos Limites
• Se L, M, a e c são números reais e n inteiro
lim f ( x)  L e lim g ( x)  M ,
x a
xa
• Regra da soma(subtração):
lim f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)  L  M
xa
xa
xa
• Regra do Produto:
lim f ( x). g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)  L.M
xa
xa
xa
• Regra da multiplicação por escalar:
lim c. f ( x)  c . lim f ( x)  c.L
xa
xa
• Regra do quociente:
f ( x) L
f ( x) lim
lim
 x a

x a g ( x)
lim g ( x) M
x a
• Regra da potência:
lim f ( x)  (lim f ( x))  L
n
x a
n
n
x a
• Regra da raiz
se lim n
x a
impar.
f ( x)  n lim f ( x)  n L é
x a
lim f ( x)  L  0, n
xa
• Regra do logaritmo:
lim logc ( f ( x))  logc (lim f ( x))
xa
xa
 logc L se lim f ( x)  0
xa
• Regra do seno (o mesmo para o
cosseno)
lim sen f ( x)  sen( lim f ( x))  sen L
xa
xa
• Regra da exponencial:
lim c
xa
f ( x)
c
lim f ( x )
xa
c
L
Limite de uma função polinomial
Se P(x) é uma função polinomial e c é um número real, então
lim P ( x )  P (c )
x c
Teorema 2 – Os Limites de Funções Polinomiais podem ser
obtidos por Substituição:
Se
P( x)  an x  an1 x
então
n
n1
 ... a0
lim P( x)  P(c)  an c  an 1c
n
x c
n 1
 ... a0
Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Polinomial
lim 3x  4 x  x  x  2 
5
4
2
x  2
3  (2)  4  (2)  (2)  (2)  2 
5
4
2
3  (32)  4  16  4  2  2 
 96  64  4  2  2  32
Limites
Limites de Funções Racionais
Teorema 3 – Os Limites de Funções Racionais podem ser
obtidos por Substituição, caso o limite do
denominador não seja zero:
Se
P(x)
então
e
Q(x)
são polinômios e
P ( x)
P (c )
lim

x c Q ( x )
Q (c )
Q (c )  0 ,
Limites
Exemplo – Limite de Uma Função Racional
x  4 x  3 (1)  4(1)  3 0
lim

 0
2
2
x 1
6
x 5
(1)  5
3
2
3
2
Limites
Exemplo 3 – Cancelando um Fator Comum
lim
x 1
x2  x  2
0

2
0
x x
Solução: Não podemos substituir x = 1 porque isso resulta em
um denominador zero. Testamos o numerador para ver se este
também é zero em x = 1. Também é, portanto apresenta o fator
(x – 1) em comum com o denominador. Cancelar o (x – 1)
resulta em uma fração mais simples, com os mesmos valores
da original para x  1:
x 2  x  2 ( x  1)(x  2) x  2


2
x x
x( x  1)
x
Se x  1
Limites
Usando a fração simplificada, obtemos o limite
desses valores quando x  1 por substituição:
x  x2

2
x x
2
lim
x 1
lim
x 1
lim
x 1
x  2 1 2

3
x
1
( x  2)( x  1)
x( x  1)
Limites
Calcule
lim
h 0

lim

h
h 0

lim h(
h 0


2h 
lim
h 0

2.
2h 
h
2
2h 
2
2h 
2

  lim
h(
h 0
h
2  h  2)
1
2h  2
1
1


20  2 2 2
2h2
2  h  2)

Limites
Vamos agora calcular alguns limites imediatos, de forma a
facilitar o entendimento dos exercícios mais complexos
que virão em seguida:
a) lim (2x + 3) = 2.5 + 3 = 13
x 5
b) lim (x2 + x) = (+ ∞ )2 + (+ ∞ ) = + ∞ + ∞ = + ∞
x + ∞
c) lim (4 + x3) = 4 + 23 = 4 + 8 = 12
x 2
d) lim [(3x + 3) / (2x - 5)] = [(3.4 + 3) / (2.4 - 5)] = 5
x 4
e) lim [(x + 3) (x - 3)] = (4 + 3) (4 -3) = 7.1 = 7
x 4
Limites
x - 5x + 4
Lim
x®1
x -1
2
f)
3
x
- 3x + 2
g) Lim
x ®1
x 2 -1
h)
i)
x +3- 3
Lim
x ®0
x
x 4 -1
Lim 3
x ®1 x -1
3
j)
Lim
x ®1
x -1
x -1
R: -3
R: 0
R:
3
6
R: 4/3
R: 2/3
Limites
• Teorema do Confronto (ou Sanduíche)
Se lim f ( x )  lim h( x )  L
xa
xa
e f(x)  g(x)  h(x)
então,lim g ( x )  L
xa
Exemplo:
f ( x)
lim 2 , se f ( x)  x 3x  
x 0
x
Limites
Sabemos que:
Se |f(x)|  x3, então –x3  f(x)  x3
• Dividindo por x2 toda a inequação temos:
f ( x)
x 2 x
x
• Pelo teorema do confronto:
f ( x)
lim( x)  lim 2  lim x
x 0
x 0 x
x 0
f ( x)
f ( x)
0  lim 2  0  lim 2  0
x 0 x
x 0 x
Limites
Teorema do confronto
Se f, g e h são funções que estão definidas em algum
intervalo aberto I que contém x0, exceto, possivelmente, no
próprio x0, f(x)  g(x)  h(x), para todo x em I, tal que x  x0 e
então lim f ( x)  lim h( x)  L
x  x0
x  x0
lim g ( x)  L
x  x0
Limites
Ilustração do uso do teorema do confronto
1
lim x sen  0
x
x0
2