Cálculo 1
Introdução a Limites e Continuidades
Prof: MSc. Jonathan Willian Zangeski Novais
Definição intuitiva de limite:
Considere a função f(x) = 2x+3 , e tivesse que
responder a seguinte pergunta:
Para que valor a função vai quando x se aproxima de 1?
X
f(x)
X
f(x)
0,95
4,9
1,006
5,012
0,96
4,92
1,007
5,014
0,97
4,94
1,008
5,016
0,98
4,96
1,009
5,018
0,99
4,98
1,01
5,02
Parece razoável dizer que o valor de f(x) aproxima-se cada vez
mais de 5, quando x se aproxima de 1. Ou seja, 5 é o limite da
função f quando x tende a 1.
Assim:
lim 𝑓 𝑥 = 5
𝑥→1
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a 1 é 5.
De uma forma geral
lim 𝑓 𝑥 = 𝐿
𝑥→𝑎
No início tínhamos a função
f(x) = 2x+3, e quando x se aproxima de 1, temos o
limite igual a 5.
O que acontece se jogarmos o número 1 na função?
f(1) = 2 . 1 + 3 = 5
Ou seja:
lim 𝑓 𝑥 = 𝑓(1)
𝑥→1
Mas será que isso vale para qualquer função?
Considere a f R – {-2 , 2} -> R definida por:
f(x) =
𝑥−2
𝑥²−4
Qual o valor da função quando x tente a 2?
Parece razoável dizer que:
lim 𝑓 𝑥 = 0,25
𝑥→2
Mas como validar isso?
Não pode ser
zero!
Por produtos notáveis sabe-se que:
𝑥−2
lim
𝑥→2 𝑥²−4
𝑥−2
lim
𝑥→2 𝑥−2 .(𝑥+2)
=
Com x-2 diferente de zero. Simplificando:
𝑥−2
lim
𝑥→2 𝑥²−4
=
𝑥−2
lim
𝑥→2 𝑥²−4
𝑥−2
lim
𝑥→2 𝑥−2 .(𝑥+2)
=
1
lim
𝑥→2 (𝑥+2)
1
1
1
lim
=
= = 0,25
𝑥→2 (𝑥 + 2)
2+2 4
Assim vimos que a função não estava definida em x=2,
porém obtivemos que
lim f(x) = 0,25
x→2
Isso significa que nem sempre o valor de uma função
em um determinado ponto é igual ao seu limite nesse
ponto. Isto é nem sempre:
lim f(x) = f(a)
x→a
Considere a f: R∗ → R definida por
𝑥² + 9 − 3
f(x) =
𝑥²
Vamos calcular o lim f(x)
x→0
Parece que lim f(x) = 0
x→0
Mas essa não é a resposta correta!
Considere a f: R∗ → R definida por
𝑥² + 9 − 3
lim
𝑥→0
𝑥²
Aqui precisamos usar um artifício algébrico,
multiplicaremos o numerador e o denominador por
𝑥² + 9 + 3, ficando:
𝑥² + 9 − 3
𝑥² + 9 − 3
lim
= lim
𝑥→0
𝑥→0
𝑥²
𝑥²
𝑥² + 9 + 3
𝑥² + 9 + 3
lim
𝑥→0
𝑥² + 9 − 3
𝑥² + 9 − 3
= lim
𝑥→0
𝑥²
𝑥²
𝑥² + 9 + 3
𝑥² + 9 + 3
Fazendo produtos notáveis teremos:
𝑥² + 9 − 3
( 𝑥 2 + 9)² − 3²
lim
= lim
𝑥→0
𝑥→0 𝑥² ( 𝑥 2 + 9 + 3)
𝑥²
= lim
𝑥→0
𝑥²
𝑥² ( 𝑥 2 + 9 + 3)
Sabendo que x se aproxima de 0, mas não pode ser 0, temos que 𝑥² ≠ 0
= lim
𝑥→0
𝑥²
𝑥² ( 𝑥 2 + 9 + 3)
lim
𝑥→0
= lim
𝑥→0
1
( 𝑥 2 + 9 + 3)
𝑥² + 9 − 3
1
= lim
𝑥→0 ( 𝑥 2 + 9 + 3)
𝑥²
𝑥² + 9 − 3
1
lim
= lim
𝑥→0
𝑥→0 ( 𝑥 2 + 9 + 3)
𝑥²
Note que quando x se aproxima de 0, 𝑥 2 + 9 + 3 se aproxima de
6. Assim:
𝑥² + 9 − 3
1
1
lim
=
=
𝑥→0
6
𝑥²
( 0² + 9 + 3)
Resumindo, aprendemos hoje que:
Ex. 1
Ex. 2
Ex. 3
lim 2𝑥 + 3 = 5
𝑥→1
𝑥−2
𝑥→2 𝑥²−4
lim
1
𝑥→2 (𝑥+2)
= lim
=
1
4
𝑥² + 9 − 3
1
1
lim
= lim
=
𝑥→0
𝑥→0 ( 𝑥 2 + 9 + 3)
6
𝑥²
Exercício: Calcule os seguintes limites:
lim 𝑥² − 𝑥 + 1
𝑥→1
𝑥−3
lim
=
𝑥→2 𝑥² − 9
lim 𝑥² − 4𝑥 + 3
𝑥→5
lim
𝑥→2
5𝑥³ + 4
𝑥−3
𝑥−1
lim
𝑥→1 𝑥 − 1