Vectores Livres no Plano e
no Espaço

u representa todos
O vector livre
os segmentos orientados que têm:

a mesma direcção

o mesmo sentido

o mesmo comprimento
• Operações com vectores
1. Adição

v

u
Regra do paralelogramo

v

u
 
u v

u
 
v u

v
Casos particulares
• Mesma direcção e sentido
 
u v

u
Regra do Triângulo:

v
• Mesma direcção e sentido oposto
Propriedades da adição
• Propriedade Comutativa • Propriedade Associativa• Elemento Neutro
   
 
   
    
uv  v u
u  v   w  u  v  w 
ov v o v

v

v
 
u v

u

w
 
u v

u

u
 
v u

v

v

u
  
u  v   w

w
 
vw
  
u  v  w
Nota:
O vector nulo
tem direcção e
sentido
indeterminados
• Simétrico
  
 
(v )  v  v  (v )  o
Vectores Equipolentes:
São vectores que têm a mesma
direcção, o mesmo sentido e o mesmo
comprimento
Norma de um
vector – Chama-se
norma de um vector á medida de
comprimento do vector e representa-se
por || u ||
2. Produto de um número por um vector

Produto de um número k por um vector v é um vector com:

• a mesma direcção de v
• a norma  k  v

de v se k  0
• sentido  

de - v se k  0
 
 
• Se k  0 ou v  o então k  v  o

u

2u

3u

 2u
1
 u
2
Propriedades
• Distributiva em relação à adição de vectores
 


k  u  v   k  u  k  v

v

u
 
u v

3 u


3 u  3 v

3v
 
3  u  v 
Propriedades
• Distributiva em relação à adição de números
k  h u  k  u  h  u
2  3 u  2  u  3  u

u

5u

3u


2 u  3 u

2 u
Propriedades
• Associativa


a  b  u   a  b u


3  2  u   6  u

u

 2u

 6u

 6 u
3. Soma de um ponto com um vector

Au  B

u

u
A

AB  B  A
B

A soma de um ponto
com um vector é
um ponto

B  A u
A diferença de dois
pontos é um
vector
Dois vectores não colineares constituem
Uma base, porque é possível exprimir
Qualquer outro vector a partir destes dois

f

e
Dois vectores não colineares constituem
uma base, porque é possível exprimir
qualquer outro vector a partir destes dois

v

v2 f

v

f

e 
v1e



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v

v

v1e

f

v2 f

e



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v1e

v

f

v2 f

e

v

f



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v2 f

e

v1e

v

v

f



v  v1 e  0 f

v  v1 , 0
v1  0

0f

e

v

v1e

v

v



v  v1 e  0 f

v  v1 , 0
v1  0

v1e

f

0f

e

v

v

f



v  0 e  v2 f

v  0, v2 
v2  0

v2 f
 
e 0e

v

f



v  0 e  v2 f

v  0, v2 
v2  0

v2 f

v
 
e 0e

v 3,2
P(3,2)

j

i
Norma de um Vector
A norma de um vector é a medida de
comprimento desse vector e é dada por:
• Plano – sendo o vector u=(u1,u2) vem
|| u || = u12  u22
• Espaço – sendo u=(u1,u2,u3,) vem
|| u || =
u12  u22  u32
NO PLANO
Bases Ortonormadas
 
 
e, f

 e

f


e  f 1

Só vectores

f
Referencial Ortonormado


 

0, e , f  e
Pontos e vectores

f


e


e  f 1
NO ESPAÇO
Bases Ortonormadas
  

e1, e2 , e3   e1

e2

e3
Só vectores



e1  e2  e3  1


e2
 e
e3 1
Referencial Ortonormado
  

O, e1, e2 , e3   e1
Pontos e vectores

e2

e3




e1  e2  e3  1
A soma de um ponto com um vector é um ponto

Av  B
B(4,1)

j

i

A 2,2  v 6,3  B4,1
A(-2,-2)
 2,2  6,3  4,1
Para somar um ponto com um vector,
somam-se as respectivas coordenadas
A diferença de dois pontos é um vector
B(4,1)

j

i
A(-2,-2)
AB  B  A  4,1   2,2
 4  2,1  2  6,3
A soma de dois vectores numa base
  
wu  v

v 2,3

j

u 5,1

i



u  5,1  v  2, 3  w 7, 4
 5,1   2, 3   7, 4
Para somar dois vectores, basta somar
ordenadamente as coordenadas
Propriedades da adição numa base

 



u  u1i  u2 j v  v1i  v2 j
 
i , j 
Propriedade Comutativa




 
u  v  u1i  u2 j  v1i  uv2 j




 u1i  v1i  u2 j  v2 j 


 u1  v1 i  u2  v2  j 


 v1  u1 i  v2  u2  j 
 
 v u
   
u v  v u
Verificam-se todas as
propriedades da adição de vectores
Produto de um número por um vector

v 3,2

3 v  3 3,2  9,6
6
2

j

v

i
3
9
Para multiplicar um vector por um número,
multiplica-se esse número pelas coordenadas