os segmentos orientados que têm:
 a mesma direcção
 o mesmo sentido
 o mesmo comprimento
Jorge Freitas

O vector livre u representa todos
• Operações com vectores
1. Adição
Regra do paralelogramo

v

u
 
u v

u
 
v u

v
Casos particulares
• Mesmas direcção e sentido
 
u v

v
• Mesma direcção e sentido oposto
Jorge Freitas

v

u

u
Regra do Triângulo:
Propriedades da adição

v
• Propriedade Associativa
u  v   w  u  v  w 

v
 
u v

u

w
 
u v

u

u
 
v u

v

v

u
  
u  v   w

w
 
vw
  
u  v  w
• Elemento Neutro
    
ov v o v
Nota:
O vector nulo
tem direcção e
sentido
indeterminados
• Simétrico
  
 
(v )  v  v  (v )  o
Jorge Freitas
• Propriedade Comutativa
   
u v  v u
2. Produto de um número por um vector

Produto de um número k por um vector v é um vector com:
Jorge Freitas

• a mesma direcção de v
• a norma  k  v

de v se k  0
• sentido  

de - v se k  0
 
 
• Se k  0 ou v  o então k  v  o

u

2u

3u

 2u
1
 u
2
Propriedades
• Distributiva em relação à adição de vectores
 


k  u  v   k  u  k  v

v

u
 
u v
Jorge Freitas

3 u
 
3  u  v 


3 u  3 v

3v
Propriedades
• Distributiva em relação à adição de números
k  h u  k  u  h  u

u

5u

3u


2 u  3 u

2 u
Jorge Freitas
2  3 u  2  u  3  u
Propriedades
• Associativa


a  b  u   a  b u

 2u

 6u

 6 u
Jorge Freitas


3  2  u   6  u

u
3. Soma de um ponto com um vector

Au  B

u
A

AB  B  A
B

A soma de um ponto
com um vector é
um ponto

B  A u
A diferença de dois
pontos é um
vector
Jorge Freitas

u

f

e
Jorge Freitas
Dois vectores não colineares constituem
Uma base, porque é possível exprimir
Qualquer outro vector a partir destes dois

v

v2 f

v

f

e 
v1e



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 
Jorge Freitas
Dois vectores não colineares constituem
Uma base, porque é possível exprimir
Qualquer outro vector a partir destes dois

v

v1e

f

v2 f

e
Jorge Freitas

v



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v

v1e

v

f

v2 f

e
Jorge Freitas



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v



v  v1 e  v2 f

v  v1 , v2 

v2 f

e

v1e

v
Jorge Freitas

f

v



v  v1 e  0 f

v  v1 , 0
v1  0

0f

e

v

v1e
Jorge Freitas

f

v



v  v1 e  0 f

v  v1 , 0
v1  0

v1e

0f

e
Jorge Freitas

v

f

v

v



v  0 e  v2 f

v  0, v2 
v2  0
 
e 0e
Jorge Freitas

f

v2 f

v



v  0 e  v2 f

v  0, v2 
v2  0

v2 f

v
 
e 0e
Jorge Freitas

f

v 3,2

j

i
Jorge Freitas
P(3,2)
NO PLANO
Bases Ortonormadas
 
 
e, f

 e

f


e  f 1


f
Referencial Ortonormado


 

0, e , f  e
Pontos e vectores

f


e


e  f 1
Jorge Freitas
Só vectores
NO ESPAÇO
Bases Ortonormadas

e2

e3
Só vectores



e1  e2  e3  1


e2

 e1
e3
Jorge Freitas
  

e1, e2 , e3   e1
Referencial Ortonormado
  

O, e1, e2 , e3   e1
Pontos e vectores

e2

e3




e1  e2  e3  1
A soma de um ponto com um vector é um ponto

Av  B

j

i

A 2,2  v 6,3  B4,1
A(-2,-2)
 2,2  6,3  4,1
Para somar um ponto com um vector,
somam-se as respectivas coordenadas
Jorge Freitas
B(4,1)
A diferença de dois pontos é um vector

j

i
A(-2,-2)
AB  B  A  4,1   2,2
 4  2,1  2  6,3
Jorge Freitas
B(4,1)
  
wu  v

v 2,3

j

u 5,1

i



u  5,1  v  2, 3  w 7, 4
 5,1   2, 3   7, 4
Para somar dois vectores, basta somar
ordenadamente as coordenadas
Jorge Freitas
A soma de dois vectores numa base
 
Propriedades da adição numa base i , j 

 



u  u1i  u2 j v  v1i  v2 j




 
u  v  u1i  u2 j  v1i  uv2 j




 u1i  v1i  u2 j  v2 j 


 u1  v1 i  u2  v2  j 


 v1  u1 i  v2  u2  j 
 
 v u
   
u v  v u
Verificam-se todas as
propriedades da adição de vectores
Jorge Freitas
Propriedade Comutativa
Produto de um número por um vector

v 3,2

3 v  3 3,2  9,6
Jorge Freitas
6
2

j

v

i
3
9
Para multiplicar um vector por um número,
multiplica-se esse número pelas coordenadas
Fim