Espaços vectoriais
Conjunto de vectores
e um conjunto de escalares
Duas operações:
1. Adição vectorial
soma de vectores é outro vector do conjunto
comutatividade
associatividade
existência dum vector nulo (zero)
para qualquer vector existe um vector inverso
2. Multiplicação escalar
o produto dum escalar com um vector é outro vector
propriedades distributivas
associatividade
combinação linear dos vectores
é linearmente independente de quando não pode ser escrito como combinação linear deles.
Algumas definições
• Um conjunto de vectores linearmente independentes: Qualquer um dos vector é linearmente independente dos outros
• Um conjunto de vectores gera um espaço vectorial: qualquer vector do espaço pode ser escrito como combinação linear dos vectores deste conjunto • Um conjunto de vectores linearmente independentes que gera um espaço vectorial chama­se uma base deste espaço
• O número de vectores que constituem uma base chama­se a dimensão do espaço
Representação de vectores
Um determinado vector
pode ser escrito na base como
dimensão n
O vector é univocamente representado pelo n­pleto ordenado de componentes
Pode ser mais fácil trabalhar com componentes.
Por exemplo;
Desvantagem: perda de generalidade. O mesmo cálculo numa outra base terá outro aspecto.
Produtos internos
Produto interno de dois vectores
e
:
Número complexo, com
é real e não negativo
A norma:
(“comprimento” do vector)
Vector com norma = 1: “normalizado”
Vectores ortogonais:
Uma base pode ser escolhida como conjunto de vectores ortogonais. Neste caso temos simplesmente
(propriedade importante
de produtos internos)
Desigualdade de Schwartz:
Matrizes
Transformação dum vector
em outro do mesmo espaço
Transformações lineares satisfazem O conhecimento da transformação dos vectores duma base determina
a transformação de qualquer vector
vector arbitrário
daqui vemos como as componentes se transformam
Os n2 elementos Tij determinam univocamente a transfomação Tˆ
(relativamente a uma determinada base) Numa base ortonormada
Pode ser escrito em forma matricial
Estudo de transformações lineares
teoria de matrizes
Soma de matrices
Soma de transformações lineares
Produto de transformações
Representação matricial deste produto
regra da multiplicação de matrizes
vector escrito como matriz n × 1 (coluna) Com isso, uma transformação é representada por uma multiplicação de matrizes
Conceitos da teoria das matrizes
a matriz transposta
(trocar filas e colunas)
a transposta duma coluna é uma fila
matriz simétrica:
matriz antisimétrica:
matriz conjugada:
matriz real:
matriz imaginária:
matriz hermítica conjugada (matriz adjunta):
matriz hermítica:
matriz antihermítica:
Nesta notação, o produto interno de vectores é
Em geral, a multiplicação de matrizes não comuta:
Definição do comutador:
Transposta e adjunta dum produto:
A matriz da unidade:
ou
A matriz inversa é definida através de
C é a matriz dos cofactores
Caso det T = 0, a inversa não existe (T é singular)
Inversa dum produto:
Matriz unitária:
Transformações unitárias
preservam o produto interno