MATEMÁTICADOENSINOFUNDAMENTALEMÉDIO
Números
Prof.ª:RitadeCássiaPavaniLamas
Aluno:JefersonPereiraVelasco
Objetivo
• EstetrabalhoconsisteemanalisarumlivrodoEnsinoMédionestecaso,olivrode
JoséRuyGiovanni&JoséRobertoBonjorno,elaborarumaaulasobrenúmerose
verificar se: As definições e conceitos estão bem apresentados no texto, os
exemplos esclarecem o conteúdo apresentado, se são utilizados materiais
didáticos para esclarecer ou introduzir os conteúdos, se os exercícios envolvem
aplicações no cotidiano, leitura de tabelas, leitura de gráficos e resoluções de
problemas.
ConjuntoNumérico:
• Sãoconu
j ntoscujoselementossãonúmerosquetêmag
l umacaracterísticacomum.Sãoeles:
conjuntodosnúmerosnaturais,dosinterios,dosracionais,dosirracionasi e,porfim,odosnúmeros
reais.
• Oconjuntodosnúmerosnaturasi surgiudanecessidadedesecontaremobjetos,ououtros
conjuntosforamsurgindocomoampliaçõesdaquelesanteriormenteconhecidos.
OconjuntodosNúmerosNaturais(N):
• Esteconjuntoérepresentadopo:N
r={0,1,2,3,4},.
• OconjuntoNpodeserepresentadogeometricamentepom
r eioderetanumeradae,scolhemosopontodeorigemaonúmerozero,umamedidaunitáriaeumaorientaçãogeralmenteparaadireita.
l->
O1
• Marcamosobrearetaoutrosnúmerosnaturaisre,speitandoamedidadaund
iade:
>lO1234
Subconjuntosimportantes:
• Conjuntos dos números naturais não nulos:
N* = {1,2,3,4,...} ; N* = N – {0}
• Conjunto dos números naturais pares:
Np = {0,2,4,6,...}
• Conjunto dos números naturais ímpares:
Ni = {1,3,5,7,...}
• Conjunto dos números primos:
P = {2,3,5,7,11,13,...}
Observação:
• Vm,nЄN,m+nЄNem.nЄN
• Portanto,podemosdizerqueNéfechadoemrelaçãoàadiçãoeamultiplicação.
• Omesmonãoocorrecomasubtração:embora,porexemplo,5–2=3ЄN,
nãoexistenúmeronaturalxtalquex=2–5;emoutraspalavras,oconjuntoN
nãoéfechadoparaasubtração.Poressemotivo,fez-seumaampliaçãodo
conjuntoNesurgiuoconjuntodosnúmerosinteiros.
Conjuntos dos
Números Inteiros (Z):
• Esteconjuntoérepresentadopo:rZ=,-2
{.,-1,0,1,2,3},.
• Todoelemeno
tdeNpertencetambémaZ,podemosdizerqueNésubconjuntodeZ:NCZ.
• ArepresentaçãogeométricadoconjuntoZéfeitaapartidarepresentaçãodeNacrescentadoospontoscorespondentesaosnúmerosnegativos:
----l----l----l----l----l----l----l---->
-3 -2 -1 0 1 2 3
Subconjuntosimportantes:
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Conjuntodosnúmerosinteirosnãonulos:Z*={.,-3-,2-,1,1,2,3,.};Z*=Z–{0}
Conjuntodosnúmerosinteirosnãonegativos:
Z+={0,1,2,3,.};Z+=N
Conjuntodosnúmerosinteirospositvos:
Z*+={1,2,3,4,.}
Conjuntodosnúmerosinteirosnãopositvos:
Z-={.,-3,-2,-1,0}
Conjuntodosnúmerosinteirosnegativos:
Z*-={.,-5-,4-,3-,2-,1}
Númerosopostos:
• Doisnúmerossãoopostosquandoapresentamsomazero,ousea
j sãoequd
i istantesdaorg
i em,porexemplo:
-----l--l---l---->
-202
2+(-2)=0
Emparticularzeroéopostodezero.
Módulodeumnúmerointeiro:
• Éadistânciadonúmeroàorigem.Dizemosporexempo
l ,queomóduo
l de-2é2ede2tambémé2erepresentamosporI-2l=2el2l
=2.
Exercícios:
1-Quaisdasproposiçõesabaixosãoverdadeiras:
a)0ЄNc)-10ЄZe)(2–3)ЄZ
b)0ЄZd)NCZN
f) CZ
2-A)Quantasunidadesdevemosdiminuirde7parachegarmosa-4?
B)Quantasunidadesdevemosdiminuirde-3parachegarmosa-9?
C)Quantasunidadesdevemosdiminuirde11parachegarmosa13?
3-Cacluleovalordaexpe
rssão3–l3+l-3l+l3l
Respostas:
1)a,d,e,f.
2)A)11B)6C)-2
3)-6
• Concluímosapartidestesdoistópicosestudadosqueoivlroqueestamosanalisandooautorabordaoconceitodeformamuito
resumida,apenasapresentaoconjuntodosnúmerosnaturaiscomosendoN={0,1,2,3,4,.}Nãofazmençãoatodosos
subconjuntosdeNedasoperaçõesquesãodefinidas.Emrea
l çãoaosnúmerosn
i teirosoautortambémtrazadefiniçãoresumida,
nãoabordaoconceitodenúmeroopostoemódulodeumnúmero.Osexercíco
i ssãoformaisnãoexplorandoocotidianodos
alunos.
ConjuntodosNúmerosRacionais(Q):
• OconjuntoZéfechadoemrelaçãoàsoperaçõesdeadição,multiplicaçãoesubtração,masomesmonãoaconteceemrelaçãoàdivisão,porexemplo(-12):4=-3ЄZ,mas
nãoexisteumnúmeroxparaoqualsetenhax=4:(-12).Poressemotivo,foinecessárioaampliaçãodoconjuntoZd
,aqualsurgiuoconjuntodosnúmerosracionais.
• Oconjuntodosnúmerosracionaisérepresentadopo:r
• Q={0,±1,±1/2,±1/3,.±2,±2/3,±2/5,p
./q,}.compeqinteiroseq≠0.
• Quandoq=1,temosp/q=p/1=pЄZ,concluímosentãoqueZésubconjuntodeQ.
Diagrama:
Q
Z
N
Pelodiagramatemos:NCZCQ.OconjuntoQéfechadoparaasoperaçõesdeadição,multiplicação,subtraçãoedivisão.
Representaçãodecimal:
• Tomemosumnúmeroracionalp\q,talquepnãoémúltiplodeq.Paraescrevêo
-lnaformadecimal,bastaefetuaradivisãodonumeradorpelodenominador.
Ex:2/5=0,41/3=0,333.
• Oprimeirosexemploechamadodedecimalexatoeosegundodedízimaperiódica.
• Paraacharmosaa
frçãodeumadízimaperiódicaprocedemosdaseguintemaneira:
Ex:0,555.x=0,555.,multiplicandoosdoisladosdaigualdadepor10,temos:10.x=5,555,.subtraindoaprimeiraigualdadedasegunda,temos:10.x–x=5,555.–0,555.=>9.x=5=>x=5/9.
Portanto:0,555.=5/9.
• Representaçãogeométrica:
l>
-4/3-1-1/201/23/41
Exercícios:
1-AssinaleVouF:
a)3/4ЄQc)17/9ЄQ–Ze)62/31ЄQ-Z
b)1–5/6ЄQd)62ЄQf)1,57329.ЄQ
2-Encontreafraçãogeratrizde:
0,666.
Respostas:
1)a)Vb)Fc)Vd)Ve)Ff)F
2)2/3
• Olivroanalisadotrazoconceitodenúmerosracionaistambémresumidonãoexplicandoaoalunoanecessidadedeinserieste
conjunto,nãoensinatransformardízimaperiódciaemfração.Nãofazumarelaçãoentreosnúmerosnaturais,inteiroseracionais.Traz
poucosexercíciossobreoassunto.
ConjuntodosNúmerosIrracionais(I):
• Háalgunsnúmerosquenãoexisterepresentação,sãoosnúmerosdecimasinãoexatosquepossuemrepresentaçãoinfinitanão
periódica.Porexemplo:0,212112111.,nãoédízm
i aperiódicapoisosag
l arismosapósavírgulanãoserepetem.
• Outrosexemplos:√2=1,4142136.eπ=3,141592.
• Umnúmerocujarepresentaçãodecimaln
i finitanãoéperiódicaéchamadonúmeroriaco
i na.l
ConjuntodosNúmerosReais(R):
• Oconjuntoformadopelosnúmerosracionaisepelosnúmerosiracionaiséchamadoconjuntodosnúmerosreais.
R=QUI
Q
I
1\2
-0,76
-3
√3
√2
π
LembrandoqueNCZCQ,construímososeguintediagrama:
Q
I
Z
N
R
Subconjuntosimportantes:
1-Conjuntosdosnúmerosreaisnãonulos:
R*={xЄR/x≠0}
2-Conjuntosdosnúmerosreaisnãonegativos:
R+={xЄR/x≥0}
3-Conjuntosdosnúmerosreaispositvos:
R*+={xЄR/x>0}
4-Conjuntosdosnúmerosreaisnãopositvos:
R-={xЄR/x≤0}
5-Conjuntosdosnúmerosreaisnegativos:
R*-={xЄR/x<0}
Representaçãogeométrica:
--l--l--l--l--l---l--l--->
-π-3-9/4-2-√3-√2-4/3
Tambémusamososconceitosdenúmeroopostoemódulodeumnúmeroparaosnúmerosreais.
Relacionandoosconjuntostemos:NCZCQCR.
Exercícios:
1-Qualdasproposiçõesabaixosãofalsas:
a)NCZCQc)QCZe)Q*+∩Z=N
b)Z∩I=ǿd){0}CQf)Q∩R=Q
2-Representesobreumaretaorientadaosnúmeros-1,-10/3,1/10,-3/10,5/2,2/5,√6e
-0,333.
Respostas:
1-c,e
2--l--l----l-l-l---l-l--l-->
-10/3-1-0,3.01/102/5√65/2
• Nolivroanalisadooautortrazdeformaclaraeobe
j tivaoconceitodenúmerosreasi,mostraarelaçãoentreosconjuntosatravésde
diagramas,porémtrazpoucosexercícios.
Conclusão
• Concluímosnestetrabalhoqueolivroanaisladobemcomoamaiora
i dosivlrosadotadosnoEnsinoMédiopossuifalhaseconceitos
malelaborados,cabeaoprofessoradequarosconceto
i sdoautorcomosconceto
i sdeleparagarantirumaauladeboaqualidade.
ExercíciosPropostos:
1-Consd
iereosconjuntosA={xЄN/xéprimoex<20}eB={x.y/xЄA,yЄAex≠y}.OnúmerodeelementosdeBé:
a)14b)28c)36d)56e)72
2-Ovao
lrde2/0,666.é:
a)0,333.b)1,333.c)3,333.d)3e)12
3-Onúmero5120,555.é:
a)32b)16√2c)2d)√2e)5√2
4-Classfiqueemverdadeirooufalsoejustifque:
a)Asomadedoisnúmerosiracionaisésempreumnúmeroiraciona.l
b)Oprodutodedoisnúmerosiracionaispodeseracional.
5-DetermineA∩BeAUB,sendoA={xЄN/3≤x≤7}eB={xЄN/x≤6}.
Respostas:
1-B
2-D
3-A
4-a)F;bastatomardosnúmerosiracionaisopostos
b)V;√3ЄIe√12Є,m
I as√3.√12=√3.12=√36=6ЄQ
5-A∩B={xЄN/3≤x≤6}eAUB={xЄN/x≤7}
ReferênciaBibliográficas:
• e
Izzi,G;D
. olce,O;D
. egenszajn,D.M.ePérigo,R.Matemática.Vou
l meúncio.AtualEdto
i ra
• Lima,E.L;C
. arvalho,P.C.P;W
. agner,E.eMorgado,A.C.AMatemáticadoEnsinoMédio.Vou
l me1.Quintaedição.2001.
• Giovanni,J.R.eBonjorno,J.R.Matemática.
FIM