UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
Centro de Ciências e Tecnologia Agroalimentar
Unidade Acadêmica de Ciências e Tecnologia Ambiental
Fenômenos de Transporte I
Aula teórica 11
Professora: Érica Cristine ([email protected] )
Curso: Engenharia Ambiental e de Alimentos
1
AULA PASSADA:
VAZÃO
Equação da
Continuidade
2
HOJE!!
Equação de Euler
Equação de Bernoulli
3
Equação de Euler
 Leonhard Euler, em 1750, aplicou a Segunda Lei de
Newton ao movimento de partículas fluidas, e obteve:
1 P
Z
V V
g
V

0
 S
S
S t
Forma geral da equação de
Euler,
válida
para
escoamento ao longo de uma
linha de corrente e sem atrito
(ideal)
4
Equação de Euler
1 P
Z
V V
g
V

0
 S
S
S t
1 P
 é a variaçãoda pressãoao longo de uma linha de corrente
 S
Z
g
 é a variaçãodas relaçõesentrea direção da trajetória e o eixo Z
S
V
V
 é a variaçãoda velocidade ao longo da linha de corrente
S
V
 é a variaçãoda velocidade ao longo do tempo
t
5
Equação de Euler
1 P
Z
V V
g
V

0
 S
S
S t
V
se o escoamento for permanente :
0
t
1 P
Z
V
g
V
0
 S
S
S
Equação de Euler, válida para
escoamento ao longo de uma
linha de corrente, sem atrito
(ideal) e permanente
6
Equação de Euler
1 P
Z
V
g
V
0
 S
S
S
substituindo por derivadas totais:
1 dP
dZ
dV
g
V
0
 dS
dS
dS
se o escoamentofor incompressível (   cte) integraa equação :
V2
 g.Z 
 cte

2
P
Equação de Euler, válida para
escoamento ao longo de uma
linha de corrente, sem atrito
(ideal),
permanente
e
incompressível
7
Equação de Bernoulli
V2
 g.Z 
 cte

2
P
 A equação de Bernoulli é um caso particular da
equação da energia aplicada ao escoamento, onde
adotam-se as seguintes hipóteses:
 Escoamento em regime permanente
 Escoamento incompressível
 Escoamento de um fluido considerado ideal, ou seja, aquele onde a
viscosidade é considerada nula, ou aquele que não apresenta
dissipação de energia ao longo do escoamento
 Escoamento apresentando distribuição uniforme das propriedades
nas seções
 Escoamento sem presença de máquina hidráulica, ou seja, sem a
presença de um dispositivo que forneça, ou retira energia do fluido
 Escoamento sem troca de calor
8
Equação de Bernoulli
V2
 g.Z 
 cte

2
P
 Também pode ser escrita na forma:
 Multiplicando por ρ:
V 2
Z 
 P  cte
2
Útil para escoamento de
gases onde geralmente Z=0
 Dividindo por g:
V2 P
Z
  cte
2g 
Energia por unidade de peso
é útil para problemas de
líquidos com superfície livre.
9
Equação de Bernoulli
 Exemplo:
Z 
V 2
2
 P  cte
10
Equação de Bernoulli = Equação da
conservação de Energia
V2 P
Z
  cte
2g 
Energia de pressão
(piezocarga)
Energia de posição
(hipsocarga)
Energia cinética
(taquicarga)
11
Representação gráfica da Equação de
Bernoulli
V
P
Z
2
2g


 cte
 Na equação de energia por unidade de peso, todos termos estão
expressos em termos de carga (ou linha), que é a altura da coluna de
líquido
Z  linha altimétrica
P
Z   linha piezométrica

P V2
Z 
 linha de energia
 2g
12
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Velocidade no Bocal? (Teorema de Torricelli)
2
2
V1 P1
V2
P2
Z1 
  Z2 

2g 
2g 
P1=P2=Patm=0
Considerando V1=0 (muito pequena, desprezível) e passando o
PRH em 2: (Z2=0):
2
2
V2
V2
Z1 
h 
2g
2g
V2  2 gh
13
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Tubo de Pitot
 Dispositivo que mede a velocidade de fluidos.
Trata-se essencialmente de um tubo oco e curvado
a 90°C, com uma das extremidades mais fechada
que o espaço interno do tubo, formando um
pequeno orifício
 A extremidade que contém o orifício é colocada no
ponto do escoamento que se deseja medir.
Decorrido um tempo, o tubo se enche de fluido até
certa altura, aí permanecendo enquanto persistir o
escoamento permanente
 Após a altura do fluido ter se estabilizado, a
extremidade aberta passa a ser um obstáculo para
as partículas, que vão se desacelerando, atingindo
velocidade zero nesta extremidade
14
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Tubo de Pitot
 Mais utilizado em aviões
 Apesar de não ter sido comprovado, o mal funcionamento do tubo
Pitot foi apontado como uma das causas do acidente da AirFrance
em maio de 2009, que vitimou 228 pessoas
15
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Tubo de Pitot
2
2
V
P
V
P
Z1  1  1  Z 2  2  2
2g 
2g 
Como Z1=Z2 e considerando que na entrada do tubo Pitot a partícula é
desacelerada à velocidade zero:
2
2
2
V1 P1 P2
V
P P
V
   1  2  1  1 h
2g 

2g  
2g
V1  2gh
16
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Tubo de Pitot
V1  2gh
17
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Tubo de Pitot
 determinação da velocidade no acondicionamento de ar;
 - determinação da curva de um ventilador;
 - determinação da velocidade em transporte pneumático;
 - determinação da velocidade em fluxo de gás combustível;
 - determinação da velocidade em sistemas de gás de processamento;
 - determinação de velocidade de aviões;
 - determinação de vazamento em redes de distribuição
(pitometria);
 - obtenção da resistência ao fluxo originada por filtros,
condensadores. ...
18
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Medidor Venturi
 Consiste em um conduto convergente, seguido de um
conduto de diâmetro constante chamado garganta e,
posteriormente, de uma porção gradualmente
divergente. É utilizado para determinar a vazão num
conduto.
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Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Medidor Venturi (Qual a vazão?)
2
2
V1
P1
V2
P2
Z1 
  Z2 

2g 
2g 
como Z1  Z2
2
2
V1
P1 V2
P2
 

2g 
2g 
P1  P2

2
2
V2 V1


2g 2g
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Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Medidor Venturi (Qual a vazão?)
considerando
P1  P2
 h

2
2
V2 V1
h 

2g 2g
21
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Medidor Venturi (Qual a vazão?)
da equação da continuidade :
A .V
A1.V1  A 2 .V2  V1  2 2
A1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
V2 V1 V2
A2 .V2 1 V2  A2  V2  A1  A2 
1  2  


h 



.

2
2

2g 2g 2g
2 g 2 g 
A1
A1  2 g  A1

22
Aplicações da Eq. De Bernoulli
 Medidor Venturi (Qual a vazão?)

2
V
h  2
2g
 A12  A2 2 


 A2 
1



2
 A12  A2 2 
h
.
2
g
.
A
2
2
2
2
2
1



h
.
2
g
.
A

V
A

A

V

1
2
1
2
2
2
2
 A2 
A

A
1
1
2


A1
V2  2.g .h
E a vazão?
2
2
A1  A2
2
V2
h 
2g
Q  A2 .V2 
A1. A2
A1  A2
2
2
2.g.h
Na prática:
Q  K h
23