Equação de Euler /
Bernoulli
Equações de Q. Movimento: Linha do Tempo (300 anos)
P   V2 2  gz  C
 DV Dt  P  g
Bernoulli (1738)
Euler (1750), Re >> 1
Daniel Bernoulli - Suíço ( 1700 1782)
Balanço: inércia e pressão
Ausente: força viscosa
0  P  g  2V
Stokes (1850), Re << 1
George Stokes – Inglês ( 1819
Balanço: atrito e pressão
Ausente: força inércia
1903)
L. Euler – Suíço( 1707 1783)
Balanço: inércia e pressão
Ausente: força viscosa
DV

 P  g  2V
Dt
Navier(1823)
Stokes(1845)
Re ~ 1
Claude Navier – Frances ( 1785 1836)
George Stokes – Inglês ( 1819 1903)
Balanço: inércia, atrito e pressão
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Escoamento ReL >> 1: Camada Limite & Euler
 Eq. Euler reduz a ordem da eq. Q.M. de 2 para 1. Satisfaz a uma
condição de contorno para cada variável e não mais duas como na eq.
N-S. Isto implica que a eq. Euler permite deslizamento na parede!
d
L
Região onde o atrito é desprezível.
Eq. Euler é válida, fora da
Camada Limite1
Região onde o atrito (viscoso)
não é desprezível. Eq. Euler não é
válida, dentro da Camada Limite
(1) conceito introduzido por Ludwig Prandtl – Alemão (
1875
1953)
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 Todos os fluidos reais possuem viscosidade entretanto, há
regiões do escoamento onde os efeitos viscosos estão
ausentes.
 Estes casos ocorrem com freqüência em escoamentos
externos com Re elevados.
 A viscosidade influi no escoamento somente próximo da
parede caracterizando uma camada limite,
 Na região externa à parede os termos viscosos são 1/Re
vezes menores que os termos inerciais e portanto eles são
descartados da equação da quantidade de movimento.
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Equação de Euler:
Equação da Quantidade de Movimento Sem Atrito.
 Coordenadas Cartesianas
Euler: algumas características:
 Balanço: Inércia, Pressão (tensão normal) e força g; cisalhamento não
causa movimento do fluido em Euler; ausência de viscosidade!
Escoamentos Reais x Euler
 A ordem da Eq. Q.M. reduziu de 2  1 só atende 1 c.c. para cada
variável para cada direção  Euler permite deslizamento na parede!
 Fluidos reais possuem viscosidade entretanto para Re>>1:
• os efeitos viscosos concentram-se numa camada limite;
• externo à camada limite termos viscosos são O(1/Re) vezes
menores que os termos inerciais;
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Plano da Aula
Parte (I) – Dedução da Eq. Bernoulli
•
•
•
•
Integração da eq. Euler ao longo de uma linha de corrente &
aplicações.
Escoamento de Euler irrotacional e a eq. de Bernoulli.
Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica.
Conclusões
Parte (II) – Aplicações da Eq. Bernoulli
•
•
•
•
•
Escoamento incompressível
Equações linearizadas (acústica)
Escoamento compressível regime permanente
Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann)
Referencial não inercial (escoamento geotrópico)
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Parte I
Dedução da Eq. Bernoulli
• Integração da eq. Euler ao longo de uma linha de corrente &
aplicações.
• Escoamento de Euler irrotacional e a eq. de Bernoulli.
• Bernoulli e sua relação com a 1ª e 2ª leis da Termodinâmica.
• Conclusões
06
Seção – I
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Motivação
 Há pelo menos duas formas para demonstrar Bernoulli:
• Equação Euler;
• 1ª Lei da Termodinâmica.
 Questão: quais condições afetam na uniformidade de C?
• C vale ao longo de uma linha de corrente ou para qualquer ponto?
• Qual é a relação C p/ escoam. barotrópico ou processo isoentrópico?
• C altera se o escoamento for rotacional ou irrotacional?
P V

J 
 gz   C  
 
 kg 
 2

2
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Seção I-A
Eq. Euler em Coordenadas Ajustadas à
Linha de Corrente
DV
P

g
Dt

06
Seção – I
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Eq. Euler em
Coordenadas Ajustadas à Linha de Corrente
 A eq. de Euler para um sistema de coordenadas ortogonal local
^ e outro normal (n)
^ à
composto por dois versores: um tangente (s)
linha de corrente
linha
^
n
de corrente
^s V
Q
Rc
V   Vsˆ, 0nˆ 
 Como V é sempre tangente à linha de corrente, ela não possui
^ ^ e V = |V|.
componente normal, i.e. V=(Vs,0n)
 A representação com ^s e ^n aplica-se a sistemas 2D. Caso contrário
seria necessário introduzir um versor binormal para definir uma
base ortogonal 3D.
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Seção - I
Componentes da eq. Euler: Aceleração
 A derivada total :

 
DV  Vsˆ
 

  Vs,0n
ˆ ˆ   s,
ˆ
nˆ    Vs,0n
ˆ ˆ
Dt
t
n  


 





  Vsˆ 
DV
 V  Vsˆ 


Dt
t
 Abrindo as derivadas e agrupando os termos :
DV  V
V 

V
 sˆ 
Dt  t
 
Termo na
direção sˆ
sˆ
V

2
Termo com
derivada ?

sˆ
V
t
Termo com
derivada t ?
 Pode-se determinar a derivada do versor s com relação ao
comprimento de arco ‘l’.
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Seção - I
Componentes da eq. Euler: a derivada sˆ 
 Sistema de coordenadas local, a posição de ^s varia ao longo da curva
que possui raio de curvatura Rc:
sˆ
   q
dl
q
ˆ
 s  sin  
2
2
2
Rc
q
sˆ
Q
dsˆ
Rc
q
para
q ->0,
sˆ
Q
sˆ
dsˆ
logo:
d
dsˆ  q 
Rc
 1 
dsˆ
    nˆ
d
 Rc 
A taxa de variação do versor s com o arco l é um vetor que aponta
na direção normal, sentido negativo, cujo módulo é o inverso do raio
de curvatura da linha de corrente!
Seção - I
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Componentes da eq. Euler: Aceleração
^
 A aceleração nas direções ^s e n:
2




 sˆ 
DV 

V

V
V


 nˆ   V 

  V
  sˆ  
Dt
 
Rc 
t 


 t 



^
 Escoamento permanente, s/t
=0
 Escoamento transiente :
• linhas de corrente paralelas → o módulo V pode variar com o
^
tempo mas a direção do versor ^s não, portanto, s/t
= 0.
• linhas de corrente com curvatura → a direção do versor ^s pode
^
mudar com o tempo, s/t
0 e seu valor não pode ser
determinado à priori.
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Seção - I
Componentes da eq. Euler: Acel. g
 As componentes da aceleração da gravidade nas direções s e n são:
g  gssˆ + gn nˆ ; onde g  gkˆ
 
gs  g kˆ  sˆ ,

g n  g kˆ  nˆ

g
^
n
^s V
Q
z
^
linha
de corrente
Rc
k
Produtos escalares expressos por meio da
taxa de cota z em função de ‘s’ e de ‘n’:
 kˆ  sˆ   cos   2  q  dz d
 kˆ  nˆ   cos  q  dz dn
As componentes gs e gn passam a ser:
dz
dz
g  g sˆ  g nˆ
d
dn
nˆ
d
sˆ
dz
q
dn
q
Q
z
z
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Seção - I
Componentes da eq. Euler: Pressão P*
 O termo P/ para ser expresso nas direções^s e^n é necessário
que seja uma função apenas da pressão;
 Isto é genericamente denominado por escoamento ‘Barotrópico’
onde = f(P) a ser definida posteriormente;
 A transformação permite trabalhar com notação mais compacta!
dP
dP
*
dP 
e P P  
 P
 P
*

P
P  P  

*
 As componentes nas direções ^s e ^n são:
*
*
P

P

P
 P* 
sˆ 
nˆ


n
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Seção - I
Eq. Euler: direções s^ e n^
Eq. de Euler ao longo da linha de corrente:
V  V 
s
ˆ

  t   V    



 P*  gz


ou

V   V2
*
 sˆ   t    2  P  gz   0


Eq. de Euler normal à linha de corrente:
 V2  P*
z


n
ˆ



g
   R  n n
 c
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Seção - I
Integração Euler direção ^s  BERNOULLI
z
 Integrando a equação ao longo
g
n^
2
V
Q
1
de uma linha de corrente
s^
Rc
z2
z1
entre os pontos (1) e (2):
2  
 *

2 V
V2
P 
 gz  d   
d


2
1  
1 t

2
dP  V




2
1    P 
2
2

1
2
gz
1
2 V
 
1
t
d
^
 Modelo transiente válido só p/ linhas corrente paralelas s/t
= 0.
 O lado direito muda instante a instante.
 Resta definir a função barotrópica ρ(P).
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Seção - I
Hipótese de Escoamento Barotrópico:  = (P)
 Processo reversível (sgen = 0)
 Fluido Compressível:
Fluido incompressível =const.
• processo politrópico reversível e gás ideal:
2  dP 
2
 n P



para 1  n  





n

1

 1
1    P  
= (P) → P/
n
= P1 /
1
n
1< n <  → Q ≠ 0 e  = Cp/Cv
n=→Q=0
 ‘n’ é determinado conhecendo Q trocado ao longo de cada L.C. mas,
raramente esta informação é disponível.
 Para estender a aplicação de Bernoulli é feita uma hipótese(+):
processo adiabático, Q = 0, ou isoentrópico:
2  dP 
2
  P










1

P


1
1
 
 Para fluidos com apenas um modo de trabalho (compressível),
ρ=ρ(P,s) porém, s=cte → ρ=ρ(P)
(+) hipótese será verificada contra 1ª e 2ª leis na seção III
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Seção - I
Resumo :Bernoulli ao longo Linha de Corrente
(processo reversível e adiabático)
 Escoamento Compressível: p1/ρ1 = p2/ρ2
Permanente
Transiente
2
2
2
  P
V

 gz   
d


1
2
t
   1  1
1
1
2
2 V
 Escoamento Incompressível,
Transiente
2
2
P
V

1
2
2
2 V
2
 gz   
d
1
t
1
1
   P V2
 gz  C

 
2
   1 
= cte  dp = p|1,2
Permanente
P V2

 gz  C

2
 O termo transiente pode variar instante a instante e aplica somente para linhas de
correntes paralelas.
Compressibilidade ~ Ma2, veja nota nos ‘Slides Complementares’
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Seção - I
Nota Histórica
Teorema de Bernoulli:
originalmente proposto:
incompressível, ao longo de
uma linha de corrente e regime
permanente.
P V2

 gz  C

2
Seu sucesso deve-se ao fato que
ela é uma das ‘poucas’ (talvez a
única) expressões analíticas na
área que relaciona velocidade e
http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/
26
pressão de forma genérica.
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Seção - I
Algumas Aplicações Bernoulli ^s
Avança
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Altura Piezométrica Total
 P V2

 P V2


 z  

 z  C

 g 2g
(1)  g 2g
(2)
Carga Total
Constante
Carga
Velocidade
Carga
Pressão
Carga Elevação
Retorna
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Manifestação Experimental Bernoulli
 A passagem do ar entre os balões faz com que a pressão
diminua e surja uma força radial aproximando as
esferas;
Patm
P < Patm
Retorna
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Escoamento num Vertedouro
(1)
Patm
(2)
 A vazão volumétrica Q
num vertedouro pode
ser estimada utilizando
Bernoulli.
 (1) V = 0, z = 0 e Patm
 (2) V = ?, z = -h e Patm
  V2 = 2gh
 Considerando na seção ‘d’ a velocidade é uniforme
e igual a V2, então:
Q  d 2gh
Retorna
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Pressão Estática
Tubo de Pitot (1732)
Corrente Livre:
P, V, T
Pressão Estagnação
ou
Pressão Total
(1)
Corrent
e
Livre
P1 
P. Estat
(2)
Estagnação;
V=0
Manômetro
Diferencial
1
1
1 V12  P2 
 2 V22
2
2
P. Din
1
 P2  P1    V12
2
P. Estag.
=0
2P2  P1
ou V1 

Retorna
Aplicação: Bernoulli Transiente
 Reservatório de água com nível constante é conectado a uma
tubulação de descarga com uma válvula na extremidade.
Determine como a velocidade evolui com o tempo.
D
1
h=cte
d
z
2
L
 p V2
  p V2

dV
d



gz



gz
 
 0
1 dt   2
2   2
1
2
0
dV2
V22
L
 gh  0;
dt
2
se d<<D → V2>>V1
0
C.I.: V(0)  0
Retorna


V
t
 Tanh 

2gh
 2L 2gh 
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Aplicação: Bernoulli Transiente
 a) o tempo para Q atingir um valor constante;
dV2
V22

L
 gh  0
dt
2
C .I. :
V(0) 0
 A equação diferencial ordinária não-linear pode ser resolvida
isolando V de t e integrando:
V

0
dV
2gh  V 2
 2gh  V 
dt
t
1



Ln 

2
L
2
L
2
2
gh
2
gh

V
0


t
 Denominando V  2gh
 V  V 
L
t
Ln 

V
 V  V 
vamos encontrar que
V0 t0
V  V  t  


 O tempo para atingir 99% de V é quando V = 0.99 V , logo:
t
 L
L
1.99

Ln 

5
.
293


V
 0.01
 V



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Aplicação: Bernoulli Transiente
 b) como a velocidade evolui com o tempo;
dV2
V22

L
 gh  0
dt
2
C .I. :
V(0) 0
 Usando a transformação de Ricatti, a EDO de 1a ordem pode ser
transformada numa EDO Linear de 2a ordem:
u
V
2Lu

d 2u
 2gh 
  2 u  0
2
dt
 4L 
 Resolvendo para u e fazendo a transformação inversa para
encontra V, teremos:
 t 
V
 Tanh 

V
 2L V 
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Eq. Euler Direção n^
z
^
 A eq. Euler n relaciona-se com
duas linhas de corrente adjacentes g
que possuem os mesmos Rc entre
z1
os pontos (1) e (2):
V

 Rc

2





 P*  gz
n

2
n^
s^ V
1
z2
Rc
Simplificações
1. Escoamento incompressível;
2. Força gravitacional desprezível
Se há L.C com curvatura há gradiente
de pressão normal.
A pressão aumenta do centro para a
periferia ao longo do raio de curvatura.
P V 2

n
Rc
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Equação de Euler
Euler ao longo de uma linha de corrente

V   V 2
*
 sˆ   t    2  P  gz   0



Integração ao longo de uma L. C.

BERNOULLI
Euler normal a uma linha de corrente
 V 2  P*
z


 nˆ    R   n  g n
 c

pouca explorada
nos livros textos...
Lembrando que para escoamento incompressível, P* = P/
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Seção - I
^
Eq. Euler direção n
 Relaciona o gradiente de pressão
normal a linha de corrente à força g
centrífuga!
Simplificações:
1. Escoamento incompressível;
2. Força gravitacional desprezível
z
2
n^
z1
s^ V
1
z2
Rc
P V 2

0
n
Rc
Curvatura das linhas de corrente causa um gradiente de pressão
normal. Corolário: linhas de correntes paralelas não possuem
gradiente de pressão normal!
A pressão aumenta do centro para a periferia ao longo do raio de
Seção - I
curvatura.
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Efeito da Curvatura na Linha de Corrente
 Linha de corrente curva - O gradiente
de pressão n^ ‘empurra’ a partícula
para dentro: força centrípeta. Há um
equilíbrio entre os termos ( V2/Rc) e
^
grad P na direção n.
Rc
P V 2

d
Rc
Pi
Pe
d
V
V2/R
c
Aplicação
 Separação centrífuga sólido, < s - O
gradiente de pressão n^ do líq. é menor
que a aceleração centrífuga do sólido.
 Sólido desloca-se radialmente para fora.
Rc
P V 2 s V 2


d
Rc
Rc
fluido
sólido
Seção - I
Escoamento Secundário: Tea Cup Flow (filme)
P2
P1
 Vaso cilíndrico com linhas de corrente circulares e concêntricas.
 Devido a curvatura das linhas de corrente P2>P1 pois o gradiente de
pressão deve ‘equilibrar’ a força centrífuga.
 Próximo ao fundo do vaso a viscosidade impede que o fluido tenha
movimento tangencial, a força centrífuga diminui e o gradiente de
pressão P2-P1 ‘empurra’ o fluido para o centro do vaso criando a
corrente secundária.
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Seção - I
Escoamento Secundário: Dutos e Canais Curvos
A curvatura do
canal estabelece um
gradiente de pressão
de (1) para (2).
 No fundo do canal
a viscosidade
impede que o fluido
ganhe velocidade
tangencial (não
deslizamento) mas o
gradiente de pressão
impõe o escoamento
de (1) para (2) Seção - I
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Formação de Curvas e Lagos em Rios
O escoamento
secundário é um dos
mecanismos físicos
que atua nos
fenômenos de:
assoreamento das
margens de rios,
formação de
curvas em rios,
e, eventualmente,
formação de lagoas.
Seção - I
Seção I-B
A Equação de Bernoulli é Válida Somente ao
Longo de Uma Linha de Corrente?
- generalização para casos 3D -
V
P
 V V  
g
t

39
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Seção - II
 Para responder esta pergunta é necessário reescrever a
eq. de Euler com o auxílio das identidades vetoriais:
V
t
 V  V
V V    V 2 2   V  

P 



 g
P   P*
g  gz
 sendo    V . Substituindo estas definições em Euler:
 * V2

V
 P 
 gz   V  ;
t
2


 Observe similaridade com Euler ao longo de uma L.C.

V   * V2
P 

 gz   0; V=Vsˆ

t  
2


(+) por hipótese um processo isoentrópico: p1/ρ1 = p2/ρ2
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Seção - II
Eq. Euler para Escoamento Irrotacional
 Se o escoamento for irrotacional o campo de velocidades é definido
pelo potencial de velocidades e a vorticidade é identicamente nula:
V      0
2



dP
V
 Nestas condições a eq.
  

 gz   0
Euler reduz para:

2
 t

 O termo destacado pode depender do tempo, por ex: f(t), mas f(t)
é desconhecido e não possui significado físico.
 Pode-se definir um novo potencial ’ tal que: ’= + h(t)dt.
 Substituindo na expressão encontra-se h(t) = f(t) , para que sempre
seja verdadeira h(t) = f(t)=C portanto ela não depende de ‘t’:

dP V2


 gz  C
t

2
com C válido para qualquer
ponto no escoamento
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Seção - II
Geração Vorticidade pela Viscosidade
Vorticidade gerada nas
paredes. Bernoulli aplica-se
somente no núcleo que está
acelerando.
Vorticidade gerada nas
paredes e transportada para a
esteira. Bernoulli é aplicável
fora da região de esteira.
Vorticidade gerada pelo
cisalhamento entre camadas
de fluidos. Bernoulli é
aplicável fora desta região.
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Veja geração de vorticidade por aquecimento nos ‘Slides Complementares’
Seção - II
Seção I - C
A Relação de Bernoulli com as 1a e 2a Leis da
Termodinâmica e o Teorema de Crocco
 Até o momento Bernoulli foi analisado a partir da
integração da equação de Euler;
 Pretende-se analisar Bernoulli a partir das 1ª e 2ª leis da
termodinâmica.
45
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Seção - III
Bernoulli & 1a Lei para Regime Permanente
 Bernoulli –
 1a Lei(+)
dp V2
   2  gz  C
[J/kg]
 P V2
  P V2

 J 
–    2  gz  u      2  gz  u   q  w eixo  kg 
 

2 
1
 Pelo fato que ambas equações possuem:
o as mesmas unidades (energia específica) e
o termos semelhantes
 Pode-se imaginar que, sob determinadas condições,
estas equações sejam linearmente dependentes!
(+) ‘u’ é a energia interna específica
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Seção - III
Bernoulli & 1a Lei  q = weixo = 0
↔
Bernoulli
2
2 2
dp V
1   2
1a Lei
 gz 1  0
2
1
=
2
P V

 gz  
 
 2
1
2
0
u12
Termo Térmico
Termos Mecânicos
 Igualando Bernoulli com a 1ª lei e fazendo os estados (1)
e (2) se aproximarem encontra-se:
dP  d  P  du  dh
identidade
 Considerando que: dh =VdP+Tds, logo para ser verdadeira a
igualdade é necessário que o escoamento seja isoentrópico.
 ds=0 valida a hipótese de escoamento barotrópico (seção I)!
é o volume específico (m3/kg)
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Seção - III
Bernoulli: um Caso Particular da 1ª Lei
Quando o processo for:
1. Reversível  sgen = 0
2. Sem trabalho eixo  w =0
3. Sem Transf. de Calor  sin = sout
1ª Lei e Bernoulli e são concidentes:
2
2
P V
dP V

 gz  u  

 gz  C
 2

2
ao longo L.C.→ ω ≠ 0
qualquer pto.→ ω = 0
Releitura Bernoulli: a energia
total se conserva!
Resta esclarecer dependência com a vorticidade. Ela está relacionada
com a pressuposta uniformidade das propriedades nas fronteiras.
Para fluidos com densidade constante calor e energia mecânica ficam desacoplados,
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Seção - III
veja discussão nos ‘Slides Complementares’.
Teorema de Crocco (1937)
 Escoamento em regime permanente e isoentrópico:
dP V2
P V2
   2  gz =   2  gz  u  C

 C é um parâmetro que depende de s e :
s ≠ cte
 Bernoulli não existe (+)
C  f s,  
s = cte
 C válido ao longo L.C.
s  cte &   0  C válido qualquer ponto
 Aplicando
no lado direito da expressão chega-se ao C:
1
P
V2
C  P    u 

 gz

2

Ts
V
C  Ts  V  
Luigi Crocco – Italiano ( 1908
(+)  não é apenas função de P;
1986)
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Seção - III
Uniformidade de C ao Longo Linha Corrente
Multiplicando-se ambos os
lados da eq. de Crocco pelo
arco da linha de corrente, d l
dl



V
V


Cd   Ts d  V   d
0
 O 2º termo é nulo pq  V   é
sempre normal à linha de
corrente! Resta:
C  d   Ts  d
 Para que C seja uniforme ( C 0) ao longo de uma linha
de corrente é necessário escoamento isoentrópico.
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Seção - III
Uniformidade de C para Qualquer Ponto
 Se o escoamento for irrotacional e isoentrópico então:
dl



V
V
C  Ts  V  
0, s = const.
0,  = 0
C  0
 C é uniforme em todo escoamento e não somente ao
longo de uma linha de corrente.
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Seção - III
Conclusões (I)
 Bernoulli requer escoamento isoentrópico, =(P), mas
uniformidade de C depende se o esc. for rotacional ou não!
Escoamento Rotacional
2
dP V

 gz  C


2
Escoamento Irrotacional,

dP V2


 gz  C
t

2
 Válido ao longo de uma L.C.  Válido  pto escoamento
 Regime trans + perm.
 Regime permanente
55
Veja demonstração de que Bernoulli irrotacional é coincidente com a 1ª lei
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transiente nos ‘Slides Complementares’
Qual é a diferença física entre os escoamentos rotacional e
irrotacional para que C valha somente ao longo da L.C. ou
seja uniforme para qualquer ponto 
Escoamento rotacional ->
cada linha de corrente possui
uma energia total distinta da
outra.
C1
Escoamento irrotacional ->
todas linhas de correntes
possuem a mesma energia
total.
C1 = C2 = C3
= C
C2
C4
C5
C6
C7
V2
 dP   2  gz  C
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Conclusões (II)
 A equação de Bernoulli requer escoamento isoentrópico, =(P).
Matematicamente é necessário que a viscosidade e a condução
térmica do fluido sejam nulas. Isto por definição é um fluido perfeito
(ou ideal):
Ds
T
      kT  ≠ 0
Dt
0
0
 Considerando um fluido real ( e k não nulos) e escoamento
irrotacional (ou rotacional) não garante que  e T sejam nulos!
 Porém assegurando as condições:
i. ausência transferência de calor
ii. restringindo para Re >>1 em regiões onde o efeito da
viscosidade é desprezível, p. ex., exterior C.L., sem separação
 Então Ds/Dt  0 garante a aproximação de Bernoulli!
Veja definição de  nos ‘Slides Complementares’
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Fim da parte I
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PARTE II
 Modelando fenômenos com Bernoulli:
• Escoamento incompressível
• Equações linearizadas (acústica)
• Escoamento compressível regime permanente
• Escoamento compressível 1D (invariantes de Reimann)
• Referencial não inercial (escoamento geotrópico)
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Equação de Massa e Q. Movimento
 Os campos de velocidades e de pressão são determinados,
de forma geral, resolvendo-se simultaneamente as eqs. da
massa e de Bernoulli :

   V  V     0
t

V2
*
P 
 gz  C
t
2
e
onde P*  P    dP 
 O sistema traz uma grande simplificação uma vez que a
eq. Q. Mov. Foi reduzida para uma eq. escalar e a solução
de P e V depende agora de suas equações escalares.
 O sistema de equações ainda pode ser melhor expresso em
termos do potencial e de P*.
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Equação de Massa e Q. Movimento
se dP* 
dP

e  =  P  

t

 P
P s t


t

 P*
P s t
  P P     P P*
s
 Reconhecendo que
P/
|s = c2 e V=
1 P
   P
2
  
0
2
2
c t
c
*
*
MASSA
s
, então:
 


*
e
P 
 gz  C
t
2
2
BERNOULLI
 O sistema de eqs. define de forma única e P* para um
fluido irrotacional, isoentrópico e homogêneo desde que
aplicadas as condições de contorno.
 O sistema é não linear e não possui uma solução geral,
entretanto pode ser extraídas soluções aproximadas.
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Eq. Euler para Escoamento Irrotacional
 A constante ‘C’ passa a ser válida para qualquer região do domínio:

dP .


 gz  C
t

2
 Esta equação pode ser simplificada para dois casos:
a) Um deles é para regime permanente onde o potencial não varia com
o tempo e há um balanço entre pressão, velocidade:
dP .
   2  gz  C
b) O 2º caso ocorre ligado a grandes pressões presentes no início do
escoamento gerado pelo movimento impulsivo de uma fronteira:
dP

    t
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Seção - II
Casos Particulares
a)
b)
c)
d)
Fluidos incompressíveis ( = constante)
Velocidade V/c << 1, equação acústica
Regime permanente e compressível
Uni-dimensional, compressível e transiente
1 P
   P
2
  
0
2
2
c t
c
*
*
MASSA
 


*
e
P 
 gz  C
t
2
2
BERNOULLI
 A seguir será analisado cada um dos casos
particulares.
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 A velocidade do som ‘c’ é uma propriedade do material e
é genericamente definida em função do módulo de
elasticidade E;
c2 = E/
 ‘E’ é definido para cargas de tensão ou compressão e
expressa a razão entre tensão e taxa de deformação:
E = dP/(d / ) ou E
dP/d .
 Substituindo na definição de c, encontra-se c2 = dP/d .
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(a) Fluido Incompressível (ii)
2
*
*
 

P
   P

2
*
  
0 e
P 
 gz  C
1
c 2 t
t
c2
MASSA
2
BERNOULLI
 Se incompressível, E  assim como c  , logo toda
informação do contorno é transmitida para todo domínio
instantaneamente. Neste caso massa reduz para:
2  0
 O potencial está desacoplado da pressão. Resolve-se a
equação de Laplace e depois determina-se a Pressão por
meio de Bernoulli:
P

 

C
2
2

 gz 
t
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(b) Acústica (i)
1 P
   P
2
  
0
2
2
c t
c
*
*
 


*
e
P 
 gz  C
t
2
2
MASSA
BERNOULLI
 Quando a velocidade for muito pequena ou
/c << 1 a variação
na densidade produzida por ‘g’ for desprezível, as eqs. Massa e
Bernoulli reduzem para
1 P*
2


 0
2
c t
MASSA

e
 P*  C
t
BERNOULLI
 Inserindo P* de Bernoulli na eq. Massa
encontra-se:
 Aplicando / t na massa e substituindo
/ t de Bernoulli:

 2
2 2

c
  0
2
t
 2 P*
2 2 *

c
 P 0
2
t
e P estão desacoplados e definidos pela eq. de onda!
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(b) Acústica (ii)
 Para que o escoamento seja isoentrópico (sem choques),
ds = 0, é necessário que d / 0. Logo = 0+ ’ e
P=P0+p onde ‘0’ é um estado base e ’ e p são
flutuações:  2
2 p
t 2
 c 2 2  0 e
t 2
 c 2 2 p  0
 Uma solução geral para caso 1D onde ‘c’ = constante é:
p  f p ( x  ct )  g p ( x  ct ) e   f ( x  ct )  g ( x  ct )
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(c) Fluido Compressível e Regime Permanente (i)
 Para regime permanente as eqs. Massa e Bernoulli reduzem para:
1 P*
  P*
2
  
0
2
2
c t
c
 

 P
*

0 e P 
C
2
c
2
*
2
2
MASSA
    gz  C

e
 P* 
t
2
2
BERNOULLI
 Substituindo a definição de P* de Bernoulli na massa chega-se a um
sistema que depende somente de :
    
2
1
c2
 2
2
0
ou 2  c12 V   V2V   0
 Expandindo em termos de a equação acima chega-se à equação
do potencial de velocidade:
  y2 
2x  y
2 y z
 x2 
 z2 
2x z
1  2  xx  1  2   yy  1  2  zz  2 xy  2 xz  2  yz  0
c
c
c
 c 
 c 
 c 
 ‘c’ também é variável e depende de
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(c) Fluido Compressível e Regime Permanente (ii)
 Considerando um estado de estagnação, ‘0’, pode-se definir que:
c c 
2
2
0
 1
2
V c 
2
2
0
 1
2

2
x
  y2  z2 
 Como ‘c0’ é constante, a eq. fornece ‘c’ em função do potencial.
 A equação acima está acoplada com a eq. abaixo:
  y2 
2x  y
2 y z
 x2 
 z2 
2x z
1  2  xx  1  2   yy  1  2  zz  2 xy  2 xz  2  yz  0
c
c
c
 c 
 c 
 c 
 Estas duas equações devem ser resolvidas simultaneamente sujeitas
as condições de contorno. Estas equações são não-lineares válidas
para escoamentos irrotacionais, isoentrópicos em regimes
subsônicos, transônicos e supersônicos.
 Para escoamento incompressível, c ela reduz para 2 =0
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(d) Escoamento 1D compr. & trans. (i)
 O sistema de equações não lineares definido pela massa e Bernoulli é:
1 P
   P
2
  
0
2
2
c t
c
*
*
MASSA
 


*
e
P 
 gz  C
t
2
2
BERNOULLI
 O escoamento 1D permite simplificações no tratamento das equação
da Massa e Bernoulli. Considere que = (x,t) e u = d /dx, além
disto multiplique Bernoulli por c:
2
 P*
 P*
2  
Massa
 t   c x 2  x  x  0


2
*








P
c
 c
c
 0 Bernoulli
2

x x
x
 t x
 Some termo a termo as eqs:
2
    
P  
 P
 
1 DP* Du


 c
 c 

 c 2   0 

 0 em dx dt 
c
t  x
 c Dt Dt
x
 x
 x 
 t x  x
DP
Dt
D  x 
Dt
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(d) Escoamento 1D compr. & trans. (i)
 O sistema de equações não lineares definido pela massa e Bernoulli é:
2
*




1 P*




P


2
*





0
e

P

 gz  C
2
2
c
t
t
c
MASSA
2
BERNOULLI
 O escoamento 1D permite simplificações no tratamento das equação
da Massa e Bernoulli. Considere que = (x,t) e u = d /dx, além
disto multiplique Bernoulli por c:
2
*
 P*





P
2

c


0
Massa

2
x
x x
 t

2
*








P
c
c
c
 0 Bernoulli
2

x x
x
 t x
 Some termo a termo as eqs:
*
2
    
P*  
 P
 
1 DP* Du


 c
c

 c 2   0 

 0 em dx dt 
c
t  x
 x
 x 
 c Dt Dt
x
 t x  x
DP
Dt
D  x 
Dt
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(d) Escoamento 1D compr. & trans. (ii)
 De modo similar pode-se subtrair Bernoulli da massa de tal maneira
que as somas das derivadas lagrangeanas nos caminhos dx/dt = u c é
nula: 1 DP* Du
1 DP Du
c Dt

Dt
 0 ou
 c Dt

Dt
 0 em dx dt  u  c
 Isto sugere que a soma do valor delas é uma constante:

D  dP

u
 0 em dx dt  u  c



Dt   c

 A linha onde a derivada é nula é uma linha característica. O valor de
dp/ c u é um invariante de Riemann. Pode-se mostrar, utilizando
as identidades: (p/p1)=( / 1); (c/c1)=(p/p1)(-1)/2 e c2= P/ , que:

D  2
c

u
0
Dt    1

em dx dt  u  c

D  2
c

u
0
Dt    1

em dx dt  u  c
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(d) Escoamento 1D compr. & trans. (iii)
 As eqs abaixo mostram que os invariantes de Riemann são
transportados sem variação dos seus valores ao longo de suas linhas
características. A eq. Euler/Bernoulli junto com a massa permitem
uma solução tipo ‘onda’:

D 2
c

u
  0 em dx dt  u  c e
Dt    1

 A forma das
eq. acima
t
p
constituem a
1
base do
método das
características. c1, u1

D 2
c

u
  0 em dx dt  u  c
Dt    1

2
2
cp  u p 
c1  u1
 1
 1
2
2
cp  u p 
c2  u2
 1
 1
2

c2, u2x
 c1  c2    41  u1  u2 
u p   11  c1  c2   12  u1  u2 
cp 
1
2
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Referencias não Inerciais
(forças em sistemas rotativos)
Assista ‘Rotating Flows’ e leie também
‘Film Notes’
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Ref. Não Inercial x não uniformidade de C
Forças de campo não conservativas, p. exemplo força de Coriolis
num referencial rotativo não inercial, fazem com que Bernoulli não
seja válido para qualquer ponto:
 V2
V

  
 gz 

t
2


P    V        R  2  V


centrifuga
coriolis


A força centrífuga é conservativa pq. pode ser expressa por um
potencial (gradiente), semelhante à força de campo:
 R’
  
1 2 2




R    R 

R
2

centrifuga
Neste caso a Eq. Crocco mostra que C não é uniforme:
0
 V2
1 2 2
 
 gz  p   R     V    2  V  0
 2

2


coriolis

C

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Escoamento Geostrópico
 A razão entre força de inércia e coriolis define o n. de Rosby
Inércia V 2 L
Ro 

Coriolis V
 Escoamento dominado pela força de Coriolis, típico na
atmosfera, ocorre quando Ro << 1, portanto a equação de Euler
reduz para:
p  2 V
1. O gradiente de pressão é normal as linhas de corrente!
2. A pressão é constante ao longo de uma linha de corrente!
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Consequência esc. Geotrópico na
circulação da atmosfera do planeta p  2 V
 O gradiente pressão varia normal as linhas de corrente.
 Linhas isobáricas coincidem com as linhas de corrente (direção dos
ventos),
 Quanto maior for P maior a velocidade dos ventos
IM250 Prof. Eugênio Rosa
Bibliografia
1. Anderson, J.D., 1982, Modern Compressible Flow, McGraw Hill.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Batchelor GK, 1967, An Introduction to fluid dynamics, Cambridge Un.
Press.
Darrigol, O., 2009, Worlds of flow: a history of hydrodynamics from
Bernoulli to Prandtl, Oxford Press.
Joseph, D.D., 2006, Potential flow of viscous fluids: Historical notes,
IJMF, 32, pp. 285–310.
Lamb H, 1932, Hydrodynamics, Dover.
Lighthill, J., 1986, An informal introduction to theoretical fluid
mechanics, Oxford Press
Prandtl L. and Tietjens O.J., 1934, Fundamentals of hydro and
aeromechanics, Dover.
Rosa, E.S.,2002, Formas diferenciais eqs. transporte, Apostila
http://www.fem.unicamp.br/~im250/APOSTILAS%20E%20MINI-CURSOS/EQ%20TRANSPORTE/EQ%20TRANSPORTE.pdf
9.
Shapiro AH, 1972, The NCFMF book of film notes, MIT Press.
10. Wiki-book - fundamentals of acoustic
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Nomenclatura
Variáveis
C – constante de Bernoulli
c – velocidade do som

g – vetor acel. gravidade
h – entalpia específica
h – cota na direção normal à L.C.
^
k – versor paralelo eixo z
l – comprimento da L.C.
L.C. – linha de corrente
Ma – número de Mach
^
n – versor normal a L.C.
P – pressão
Rc – raio de curvatura
^
s – versor tangente a L.C.
s - entropia
t – tempo
u – energia interna específica

V – vetor velocidade
v – volume específico
z – cota vertical
Símbolos gregos
 - função dissipação viscosa
 - razão calores específicos
 - função potencial
 - viscosidade dinâmica
 - densidade

 - vetor vorticidade
Símbolos matemáticos
 - operador nabla xi
x – produto vetorial
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Extras
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Seção I - D
Estudo de casos particulares
 Fluido com densidade constante
 Escoamento transiente
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Bernoulli para fluido com densidade constante
 Em um processo reversível com um fluido =cte a transf. de calor

altera a energia interna mas a energia mecânica (P, V e g) permanece
cte porque não há trabalho de compressão. Em primeira ordem(+) as
relações entre calor e energia mecânica ficam desacopladas:
Tds  du  pd    cte.  du  Tds  q
 Neste cenário pode-se mostrar que a equação da energia mecânica
coincide com a eq. Euler. Partindo da eq. energia mecânica:

K
VV
 V  K  V  P  V  g  0, onde K=
t
2
 
 Substituindo K = V.V/2 e considerando  cte. :
 V

V2 P
V


 gz   0
2

 t


 Mas V=  
 P V2
 
 gz  C
t  2
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(+) a transf. calor pode alterar as prop. transporte e, indiretamente, alterar campo deIM250
escoamento
Bernoulli para fluido com densidade constante, II
 Para um fluido com densidade constante as restrições para aplicação

de Bernoulli ficam mais relaxadas daquelas para o fluido
compressível.
 Quando o processo for:
1. Reversível  sgen = 0 (sem atrito,  = 0)
2. Sem trabalho eixo  w =0
 Bernoulli e eq. Energia mecânica são concidentes mas a uniformidade
de C depende se há ou não transferência de calor e vorticidade:
2
P V

 gz  C

2
→ ω=0
qualquer pto
→ ω≠0
ao longo L.C.
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Análise para Regime
Transiente
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Demonstração Euler Transiente ↔ 1ª Lei
 Formalmente não foi demonstrado se Euler transiente e compressível
satisfaz a 1ª lei. A igualdade será demonstrada partindo da 1ª lei,
com as hipóteses: irrotacional, reversível e adiabático para chegar em
Euler transiente.
 
 1a Lei – s/ transf. calor e s/
efeitos viscosos (função
dissipação nula):
  PV
D  V 2  Du

 gV  


Dt  2  Dt

 Para um processo
isoentrópico:
T
 Subst. Du/Dt e usando o
fato que Dρ/Dt= - ρ.V
D  V2 
P
gV  0
   V
Dt  2 

Ds Du P D
Du P D

 2
0
 2
Dt Dt  Dt
Dt  Dt
 A equação acima é identificada como de transporte da En. Cinética.
Ela é obtida multiplicando por V a eq. Navier Stokes
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Demonstração Euler Transiente ↔ 1ª Lei (cont.)
 Abrindo os termos c/
K, e expressando em 
 Colocando em
evidência V:
 Subst. V= chega-se a:
 Ou exatamente na forma
de Euler transiente
 V2 
V
P
V
 V 
 V  gz  0
  V
t

 2 
 V2

V
dP
 

 gz   0
t

 2

  V 2

dP
 

 gz   0
2

 t

  
dP


 gz  C
t
2

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Geração de Vorticidade: Adição de Calor
 No contexto de Bernoulli, fluidos incompressíveis conservam a
energia mecânica. Havendo transferência de calor ela se transformará
em energia interna mas não modificará a en. mecânica (P, z e V).
 Entretanto, a transferência de calor pode gerar vorticidade e pode
impedir que Bernoulli seja válido para qualquer ponto. A geração de
vorticidade será analisada por meio da taxa de Circulação:

 V  nd

C
    V  ds
S
onde C é uma curva fechada que encerra uma superfície S.
 A taxa de variação de  seguindo um elemento de fluido para um
fluido incompressível pode ser expressa por:
D

Dt
 P
 ˆ
2
C     V  gz   t d 


 P 
2
S           V    gz dA
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Geração de Vorticidade: Adição de Calor (cont.)
 Considerando que os efeitos viscosos sejam de 2ª ordem devido a
aproximação Re >>1 o termo x 2V será descartado.
 A identidade vetorial rot(grad())=0 faz com que x gz = 0, isto é,
não há torques devido as forças de campo.
 A taxa de variação de  simplifica para:
D

Dt
 P 
1


dA


S   
S 2   PdA
 Não haverá variação em  desde que
ρ e P sejam paralelos, ou seja,
barotrópicos ρ=f(P). Entretanto para
aquecimento frequentemente ρ e P
não são paralelos, veja figura.
 A intensidade deste mecanismo pode
variar entre desprezível a significativa.
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(b) Acústica (iii)
 A solução da pressão acústica para uma onda plana é:
p  Aeit kx   Beit  kx 
p
p
A e B são as amplitudes das ondas que deslocam ao longo
das direções +x e –x, respectivamente; e k são a
frequência e o número de onda tais que ( /c)2 = k2
 O potencial
vem de
Bernoulli:


 p
p
*
P C 

 C      C   dt
t
t 0
0 

p
p
  

i 0 i 0
 O campo de
velocidades vem
do potencial
d
p
p
 U=


dx
0 c 0 c
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Efeito de Rotação
(Rotating Flow – Dave Fultz NCFMF book)
-2xV
V
2
 O tanque gira no sentido antihorário e um jato é introduzido no
tanque.
 O termo Coriolis causa uma força
normal ao jato defletindo-o no
sentido horário.
2
V
-2xV
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Porque os furacões no hemisfério N giram
no sentido anti-horário e no S no sentido
horário?
 Ciclone em Sta.
Catarina, 2004
 Sentido: horário
 Ciclone Fran, golfo do
México, 1996
 Sentido: anti- horário
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