PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
INTRODUÇÃO
Professor: D.Sc. Dalessandro Soares Vianna
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Agradecimentos
O material apresentado durante este curso é baseado nas notas de
aula dos professores:
 Edwin Benito Mitacc Meza e
 Fermín Alfredo Tang Montané,
professores do programa de Mestrado em Pesquisa Operacional e
Inteligência Computacional da Universidade Candido Mendes Campos.
Pesquisa Operacional A
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Objetivos
A disciplina busca possibilitar ao Aluno:
 Fornecer conhecimentos de Pesquisa Operacional para a
formulação e solução de problemas associados ao mundo real.
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O que é Pesquisa Operacional?
A Pesquisa Operacional é uma ciência aplicada
voltada para a resolução de problemas reais,
tendo como foco a tomada de decisões.
 Historicamente a PO foi utilizada pela primeira vez com fins
bélicos.
 Como o nome indica, PO é a pesquisa das operações, ou seja,
é a investigação das operações ou atividades de uma
organização. A natureza da organização pode ser financeira,
industrial, militar, governamental, etc.
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Um Breve Histórico de PO
1939-1945: Durante a 2a Guerra Mundial, as gerências militares
britânica e americana empregaram uma abordagem
científica para tratamento de problemas de gerenciamento
de recursos escassos (tropas, munição, remédios etc.), de
forma eficaz.
Os
cientistasdeempregados
tinham matemáticos
que pesquisar as
Um conjunto
métodos e modelos
operações
atividades
dentronas
de cada
aplicados àmilitares
resoluçãoede as
complexos
problemas
operação
para sugerir
alternativas
viáveis.
operações
(atividades)
de uma
organização
1947
: Início do interesse das indústrias na utilização das técnicas
desenvolvidas na área militar, para auxiliar no
planejamento e controle da produção
...2007 : Hoje em dia, as técnicas de pesquisa operacional estão
sendo aplicadas em diferentes áreas do mundo real.
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Os ramos da PO
Quais são os ramos mais importantes desenvolvidos na PO?
 PROGRAMAÇÃO MATEMÁTICA
 Programação Linear (LP)
Problemas de distribuição de recursos.
 Problemas de transporte
 Problemas de planejamento da produção
 Problemas de corte de materiais, etc.
Programação Não Linear
Programação Dinâmica
Programação Inteira
Otimização Global





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Os ramos da PO
Quais são os outros ramos da PO?

Análise Estatística

Teoria de Jogos

Teoria de Filas

Organização do tráfego aéreo

Construção de barragens, etc.

Simulação

Gestão de estoques, etc.
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Pesquisa Operacional: A Ciência de Decisão
 Uma decisão pode ser Classificada em estruturada se
envolve uma serie de fatores que possam ser
quantificados, e logo equacionados;
 Pesquisa Operacional é uma ferramenta de apoio à decisão
estruturada;
 Alguns problemas são surpreendentemente equacionáveis!!!
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Principais Passos na PO para a solução de um problema
Formulação
Definição
do Problema
Modelagem
Solução
Implementação
Avaliação
Domínio
Decisão
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1º Passo: Formulação (1)
É muito difícil procurar uma solução “certa” para um
problema mal formulado !!!
 Primeiramente a equipe de PO deve formular corretamente o
problema em estudo.
 O problema deve ser analisado a partir de um sistema
integrado, onde interatuam várias componentes, todas elas
interdependentes, para o qual é preciso obter uma solução
ótima que satisfaça a todas elas.
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1º Passo: Formulação (2)
Para formular corretamente um problema de PO é preciso definir
corretamente:
 os objetivos que se pretendem alcançar com a resolução do
problema.
 as restrições (limitações)
existentes no sistema em geral,
definidas pelas relações de interdependências entre as
componentes integrantes do sistema.
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2º Passo: Construção do Modelo Matemático
O que é um modelo ?
Um modelo é uma representação simplificada de uma
situação da vida real.
Um modelo reflete a essência do problema, representando as
relações de interdependência existentes entre todas as
componentes da situação em estudo.
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Modelo Matemático
O que é um modelo Matemático ?
Um modelo matemático é uma representação simplificada
de uma situação da vida real, formalizado com símbolos e
expressões matemáticas.
Um exemplo da Física: Espaço = velocidade x tempo
A modelagem matemática de um problema possibilita
uma melhor compreensão da essência do mesmo !!!
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Modelo Matemático de um Problema de Otimização
Um modelo matemático de um Problema de Otimização é definido por:
 um número N de decisões a ser tomadas, denominadas variáveis
de decisão;
 uma função matemática, que representa a medida da vantagem
(desvantagem) da tomada de decisão denominada função
objetivo;
 um conjunto de restrições associadas às variáveis de decisão
denominadas restrições do modelo;
 um conjunto de constantes (coeficientes) da função objetivo e das
restrições denominadas parâmetros do modelo.
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2º Passo: Construção do Modelo Matemático
A PO estrutura e formula um problema de otimização da
vida real dentro dum modelo matemático que reflete a
essência do problema, de forma que as decisões (soluções)
obtidas, possam ser aplicadas na situação real.!!!
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3º Passo: Resolução
Determinar uma Solução
 Uma vez realizada a formulação matemática do problema, é preciso
aplicar métodos e algoritmos desenvolvidos para a resolução do
correspondente modelo de PO. Para isto podem ser utilizados os
softwares disponíveis para a resolução de modelos de PO.
 Se o modelo foi corretamente formulado, a solução obtida pode ser
uma boa aproximação da solução a implementar na situação real.
“Pode ser” em lugar de “é”. Qualquer modelo, como representação
do problema, possui um certo grau de incerteza, motivado
fundamentalmente pelas simplificações efetuadas. Realmente uma
solução ótima do modelo pode estar longe de ser a solução ótima na
situação real.
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3º Passo: Resolução
Análise de Sensibilidade
 Neste passo é incorporada outro tipo de análise denominada
"análise de sensibilidade e pós-otimização" em que é abordado o
comportamento da solução ótima quando são efectuadas pequenas
alterações em certos parâmetros do modelo. Para isto, é preciso
determinar quais são os parâmetros do modelo que mais
influenciam a solução ótima (denominados parâmetros
“sensíveis”).
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4º Passo: Avaliação
Neste passo serão avaliados, o modelo escolhido e as soluções obtidas.
Dependendo das conclusões da avaliação, será determinado o próximo
passo a seguir:
 se a avaliação é satisfatória: proceder à tomada de decisão, que
prepara as condições para a implementação da solução obtida na
situação real.
 se a avaliação é não satisfatória: proceder à
reformulação,
remodelagem e resolução do novo modelo, a partir dos resultados
obtidos no processo de avaliação e também na análise de pósotimização
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5º Passo: Tomada de Decisão
Uma vez concluída satisfatoriamente a etapa de avaliação, é
preciso elaborar um relatório bem documentado que possibilite a
implementação da situação obtida na situação real.
 Este relatório deve incluir:
 o modelo escolhido
 uma metodologia bem detalhada com todos os passos que
sejam necessários seguir para a implementação da solução
obtida.
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6º Passo: Implementação
Neste passo efetua-se a implementação das soluções obtidas
usando a metodologia elaborada. No processo de
implementação é preciso envolver ativamente à administração e
todos os componentes da organização que atuam no sistema em
estudo.
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Conclusões
A formulação e resolução de modelos matemáticos para os
Problemas de Otimização representam apenas uma parte de
todo o processo que envolve um estudo de Pesquisa
Operacional.
Os outros passos aqui mencionados, também são de grande
importância para o sucesso da resolução do problema em
estudo.
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Exemplo:
 Vamos seguir um exemplo de um problema para ser
modelado.
 É um problema corriqueiro, que já aconteceu com algum de
vocês.
Planejamento Social !!!!!
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Exemplo:
 Considere que você está saindo com duas namoradas: Ana
Paula Arosio e Scheila Carvalho.
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Exemplo:
 Considere que você está saindo com dois namorados: Prof.
Tang e Prof. Edwin.
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Qual é a decisão?
 Se você pudesse, estou certo, planejaria sair com as duas ao
mesmo tempo, e a todo tempo, acertei?
 Mas, sair com as duas ao mesmo tempo não dá. Elas não
aceitariam sair com você juntas. Ciumentas!
 E, sair todo dia também não dá. Você não tem dinheiro (entre
outras coisas) para sair todo dia.
 Para garantir a sua felicidade, considerando estes problemas
desagradáveis, você precisa decidir quantas vezes na semana
sair com cada uma!
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A decisão
 Chamemos assim:

x1 a quantidade de vezes que você vai sair com a Ana por
semana;

x2 a quantidade de vezes que você vai sair com a Scheila
por semana;
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Variáveis de decisão
 O que nós criamos,
Decisão;
x1
e
x2 ,
são as chamadas Variáveis de
 As variáveis de decisão são aqueles valores que representam o
cerne do problema, e que podemos escolher (decidir)
livremente;
Veja que, a princípio, você pode sair quantas vezes quiser com Ana
Paula e com Scheila
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Problemas Financeiros
Entretanto, existe um pequeno problema:
 Ana é chique e gosta de lugares caros. Uma noite com ela custa
R$180,00;
 Scheila é mais simples, gosta de passeios baratos. Sair com ela
custa só R$100,00.
Mas a sua renda semanal é de apenas R$ 800,00! Como
fazer para garantir que você não vai se endividar?
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Garantindo a mesada
x1 vezes no mês, e cada vez gasta R$180,00,
então você gasta R$ 180 x1 por mês!;
 Se você sai com a Ana
 Fazendo o mesmo raciocínio para Scheila obtemos o seguinte:
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Problemas com o Relógio
As diferenças entre as duas não são apenas no volume de gastos:
 Scheila é muito agitada. Cada vez que você sai com ela gasta em
média 4 horas do seu precioso tempo;
 Quando sai com Ana, que é mais sossegada, você gasta apenas
2 horas.
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Garantindo os estudos
 Considere que os seus afazeres profissionais/escolares só lhe
permitem 20 horas de lazer por semana;
 Usando a notação anterior, como fazer para garantir que não vai
extrapolar este tempo?
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Pensando em tudo junto: Restrições
FALTA UM OBJETIVO !!!!!!!!
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Objetivo
 É preciso pensar no objetivo final. O que eu quero, para obter a
maior felicidade?
 Algumas opcões:
 Sair a maior quantidade de vezes por semana possível;
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Objetivo
 Suponha que você gosta da Sheila duas vezes mais do que
gosta da Ana;
Assim, você pode criar um índice que representa sua
preferência:
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Criamos dos modelos diferentes!!!
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Resolução: primeiro objetivo
x2
(2, 4)
Resultado Inteiro Ótimo = 6
10
5
x1 + x2 = 0
(2.3, 3.8)
Resultado Ótimo = 6,1
5
10
x1
2x1 + 4x2 <= 20
180x1 + 100x2 <= 800
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Objetivo: problemas de otimização
 Em problemas reais de otimização busca-se maximizar ou
minimizar uma quantidade específica, chamada objetivo, que
depende de um número finito de variáveis de entrada;
 As variáveis de entrada podem ser:
 Independentes uma das outras
 Relacionadas umas com as outras por meio de uma ou mais
restrições
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Programação Matemática
 Um problema de programação matemática é um problema de
otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como
funções matemáticas e relações funcionais.
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Programação Linear
 Um problema de programação matemática é linear se a função
objetivo e cada uma das restrições forem lineares das respectivas
variáveis de entrada
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Modelagem matemática
Modelar o seguinte problema
Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua
região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranja a
R$20,00 de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a R$10,00
de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerinas a R$30,00 de
lucro por caixa. De que forma ele deverá carregar o caminhão para obter
o lucro máximo?
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