CAPÍTULO 5
OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
03 DE SETEMBRO DE 2008
REVISÃO DE CAPÍTULOS ANTERIORES
ENGENHARIA DE PROCESSOS
Área da Engenharia Química dedicada ao
Projeto de Processos Químicos
1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUÍMICOS
O conjunto de ações desenvolvidas
Desde
A decisão de se
produzir um
determinado produto
químico

Até
Um plano bem definido
para a construção e a
operação da instalação
industrial.

É um conjunto numeroso e diversificado de ações !!!
Investigar mercado
para o produto
Investigar reagentes
plausíveis
Calcular o consumo
de utilidades
Estabelecer o número
e o tipo dos reatores
Calcular a vazão das
correntes
Definir o número e o
intermediárias
tipo dos separadores
Calcular as dimensões
Definir o número e o dos equipamentos
tipo de trocadores de
Investigar
calor
Calcular o consumo
disponibilidade
dos insumos
das matérias primas
Estabelecer malhas
Calcular o consumo
de controle
de matéria prima
Definir as condições
das reações e identificar
Definir o fluxograma
os sub-produtos gerados
Avaliar a lucratividade
do processo
do processo
SELEÇÃO DE
SÍNTESE
ANÁLISE
ROTAS QUÍMICAS
1.3 SISTEMAS
1.3.3 Projeto
Denominação genérica atribuída ao conjunto numeroso e
diversificado de atividades associadas à criação de um sistema.
Esse conjunto compreende dois sub-conjuntos que interagem:
SÍNTESE
(a) escolha de um elemento para cada tarefa.
(b) definição da estrutura do sistema.
ANÁLISE
(a) previsão do desempenho do sistema.
(b) avaliação do desempenho do sistema.
PROJETO = SÍNTESE  ANÁLISE
MULTIPLICIDADE NA SÍNTESE
Equipamentos disponíveis para a geração do fluxograma do
Processo Ilustrativo
RM
Reator de
mistura
RT
Reator
tubular
DS
DE
A
R
Aquecedor
Resfriador
Coluna de destilação Coluna de destilação
extrativa
simples
T
Trocador
de
Integração
A Síntese consiste em combinar esses equipamentos formando
todos os fluxogramas plausíveis em busca do melhor.
Um problema com multiplicidade de soluções!
A,B
A,B
A
A
(12)
A
A
A
(7)
(9)
RT
A,P
T
DS
A,B
RM
RM
A
P,A
P,A
R
P
R
DE
DS
T
DS
P
P
A
P
RM
A,B
A,B
A
A
RT
(8)
R
A,P
DS
(11)
P,A
P
A,B
T
(14)
DE
P
A,B
A
RT
RM
(10)
P ,A
A
A
R
A,P
DE
RT
T
A,P
DE
(13)
P
P
EXPLOSÃO COMBINATÓRIA !!!
MULTIPLICIDADE NA ANÁLISE
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,020
0,018
0,016
0,005
0,014
0,010
0,012
0,015
0,010
0,020
1
x
x
0,008
0,025
2
Lucro
Cada par (x1,x2) é uma solução viável
0,006
0,004
0,030
0,035
0,002
Problema: determinar o melhor par de valores
Dificuldade: infinidade de soluções viáveis!
1.3 SISTEMAS
1.3.6 Otimização
A multiplicidade de soluções, tanto na Síntese como na Análise,
conduz ao conceito de Otimização.
através da
Exige a busca da
Multiplicidade
de Soluções

Solução
Ótima

Otimização
O Projeto de Processos é um problema complexo de otimização.
Nível Tecnológico: determinar a melhor rota química.
Nível Estrutural (Síntese): determinar a estrutura ótima.
Nível Paramétrico (Análise): determinar as dimensões ótimas de
equipamentos e correntes.
Decomposição, Representação e Resolução do Problema de
Projeto por Busca Orientada por Árvore de Estados
Raiz
?
P
??
A,B
A+B
P,C
P+C
Rota Química ?
Fluxograma ?
Dimensões ?
D,E
D+E
1
P
C
x
T
??
2
A
B
D
T
?
x
P
C
6
x
D
E
D
M
E
Nível Estrutural
Síntese de um
Fluxograma
Dimensões ? Lucro?
Nível Paramétrico
L
10
x
x
P
F
?
L
x* x o = 4
4
P
F
?
8
x
3
M
A
L
x* x o = 3
D
E
?
L
Seleção de uma Rota
Fluxograma ?
Dimensões ?
P+F
??
A
B
Nível Tecnológico
P,F
7
x* x o = 6
x
x* x o = 5
x
Análise do Fluxograma
Dimensionamento
dos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4
Solução do Problema de Projeto por Busca Orientada
Raiz
?
Rota Química ?
Fluxograma ?
Dimensões ?
P
??
Vantagem
D,E
D+E
Varre todas as
soluções sem
repetições
sem omitir a ótima
D
E
3
x
P
F
?
Desvantagem
Explosão
Combinatória
(outros métodos)
P+F
??
P,F
Nível Tecnológico
Seleção de uma Rota
Fluxograma ?
Dimensões ?
Nível Estrutural
Síntese de um
Fluxograma
Dimensões ? Lucro?
Nível Paramétrico
L
10
4
x
Análise do Fluxograma
Dimensionamento
dos Equipamentos
e das Correntes. Lucro.
Solução Ótima: Reagentes = D,E; Fluxograma = 3; x = 4  demais
dimensões.
INÍCIO DO CAPÍTULO 5
ORGANIZAÇÃO DA DISCIPLINA
1
INTRODUÇÃO GERAL
ANÁLISE
SÍNTESE
2
6
INTRODUÇÃO À
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
3
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
PRELIMINAR
SÍNTESE DE PROCESSOS
5
OTIMIZAÇÃO
PARAMÉTRICA
7
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE SEPARAÇÃO
8
SÍNTESE DE
SISTEMAS DE
INTEGRAÇÃO ENERGÉTICA
FINALIDADE DO CAPÍTULO
Apresentar alguns conceitos básicos de Otimização, o método
analítico e métodos numéricos simples com aplicações em
processos químicos.
Relembrando o Processo Ilustrativo
MISTURADOR
14
RESFRIADOR
W14
T*14
W12
T*12
12
9
13
Benzeno
W13
T13
W15
T15
CONDENSADOR
10
W10
T10
Ar
W11 11
T*11 Água
15
BOMBA
1
Vd
Alimentação
W 8 8 Ac
T*8 Água
Benzeno
W5
T*5
W3
x1,3
EXTRATOR
W*1
x*1,1
T*1
f1,1
f3,1
W9
T*9
*
W2
x12
r*
5
T3
f1,3
f2,3
3
Ae
EVAPORADOR
Extrato
7
2
T*2
f12
f32 Rafinado
W7
T7
Condensado
6
4
W4
x*1,4
T4
Produto f1,4
f2,4
W6
T*6
Vapor
Dimensionamento com G = 0 (solução única)
W1
x1,1,x1,4
T1,T2,T5,T6,T8,T9,T11,T12,T14, r, 
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
MODELO
PARÂMETROS MATEMÁTICO
W4,W6,W8,W11,W14
Vd,Ae,Ac,Ar
AVALIAÇÃO
INCÓGNITAS
ECONÔMICA
L
Dimensionamento com G > 0 (otimização)
W1
x11,x14
T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14, 
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
MODELO
MATEMÁTICO
Ausência de r, T9 e T12 na lista de
Metas de Projeto
W4,W6,W8,W11,W14
Vd,Ae,Ac,Ar
AVALIAÇÃO
INCÓGNITAS
ECONÔMICA
r,T9,T12
L
OTIMIZAÇÃO
VARIÁVEIS DE PROJETO
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis
de projeto até encontrar o valor máximo do Lucro.
Resumo da Análise de Processos
Correspondência dos Capítulos com os Módulos Computacionais
2
INTRODUÇÃO À
ANÁLISE DE PROCESSOS
3
ESTRATÉGIAS
DE CÁLCULO
4
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA


Variáveis Especificadas
Parâmetros
Físicos
5
OTIMIZAÇÃO

Parâmetros Econômicos
MODELO
Dimensões Calculadas MODELO
MATEMÁTICO
ECONÔMICO
Variáveis de Projeto
Lucro
OTIMIZAÇÃO
Simular
Extrator
Dimensionar
Extrator
Simular
Evaporador
Dimensionar
Evaporador
Dimensionar
Condensador
Simular
Condensador
Resolver
Problema
Dimensionar
Resfriador
Dimensionar
Misturador
Dimensionar
Processo
Calcular Lucro
Simular
Resfriador
Simular
Misturador
Simular
Processo
Otimizar
Processo
OTIMIZAÇÃO
Palavra com dois significados:
Ação de buscar a solução ótima de um problema
Campo da Matemática dedicado ao desenvolvimento de
métodos de busca da solução ótima de um problema
Comentário
Todo problema de Otimização encerra um conflito
A solução ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes.
W kg B/h ?
Exemplo
B: benzeno (solvente)
Q = 10.000 kgA/h
A : água
x kgB/kgA
EXTRATOR
xo= 0,02 kg AB/kg A
AB: ácido benzóico
(soluto)
rafinado
No extrator, a vazão de solvente afeta o
Lucro de forma conflitante.
y kg AB/kg B
(extrato)
Com o aumento da vazão:
60
- aumenta a recuperação de soluto.
Logo, aumenta a Receita.
50
R
40
- aumenta o consumo de solvente.
Logo, aumenta o Custo operacional.
C
L,R,C30
$/a
20
L=R-C
Vazão ótima  Lucro máximo
Lo=15,6
10
0
0
1000 2000 3000
Wo = 1.973,6
4000
5000
6000
W kg/h
Até à vazão ótima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta.
Após a vazão ótima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui.
A vazão ótima é o ponto de equilíbrio entre os fatores conflitantes
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.3 Localização da Solução Ótima
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.1 CONCEITO DE OTIMIZAÇÃO
Do Capítulo 2: na resolução de qualquer problema:
Graus de Liberdade G = V - N - E
V : número de variáveis
N : número de equações
E: número de variáveis especificadas (E = C + M)
C = condições conhecidas
M = metas de projeto
Em problemas de dimensionamento, ocorre uma das três situações:
- metas estritamente
suficientes  G = 0
solução única
- metas inconsistentes
ou em excesso  G  0
solução impossível
y
y
y
paralelas
x
- metas insuficientes  G > 0
infinidade de soluções viáveis
coincidentes
x
x
Exemplo simples: dimensionamento de um extrator
(a) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA como meta
W kg B/h ?
B: benzeno (solvente)
Modelo Matemático:
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
Q = 10.000 kgA/h
A : água
EXTRATOR
x = 0,01 kgAB/kgA Balanço de Informação:
rafinado
xo= 0,02 kg AB/kg A
AB: ácido benzóico
(soluto)
y kg AB/kg B
extrato
V = 5, N = 2, C = 2, M = 1
G=0
(solução única)
y = 0,04; W = 2.500 kg/h
(b) Dimensionamento com x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03
kgAB/kgB como metas.
W kg B/h ?
B: benzeno (solvente)
Q = 10.000 kgA/h
A : água
EXTRATOR
x = 0,01 kgAB/kgA
Modelo Matemático:
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0 Identidade!
rafinado
xo= 0,02 kg AB/kg A
AB: ácido benzóico
(soluto)
y = 0,03 kg AB/kg B
extrato
Balanço de Informação:
V = 5, N = 2, C = 2, M = 2
G = - 1 (metas em excesso)
Metas incompatíveis na (Eq.2): o valor de y compatível com x = 0,01 é
0,04.
solução impossível!
(c) Dimensionamento sem especificação de metas
W kg B/h ?
B: benzeno (solvente)
Q = 10.000 kgA/h
A : água
EXTRATOR
x kgB/kgA
rafinado
xo= 0,02 kg AB/kg A
AB: ácido benzóico
(soluto)
Modelo Matemático:
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
y kg AB/kg B
extrato
Balanço de Informação:
V = 5, N = 2, C = 2, M = 0
G = 1 (infinidade de soluções)
Neste caso (G > 0) é imperioso buscar a melhor de todas as soluções:
Otimização  Solução Ótima
Insuficiência de metas gera graus de liberdade
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.3 Localização da Solução Ótima
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
Todo problema de otimização exibe os seguintes elementos, qualquer
que seja a sua área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
São as variáveis manipuladas pelo método de otimização durante a
busca da solução ótima.
Na Engenharia de Processos são chamadas de Variáveis de Projeto.
W1
x11,x14
T1,T2,T5,T6,T8,T11,T14, 
VARIÁVEIS ESPECIFICADAS
MODELO
MATEMÁTICO
W4,W6,W8,W11,W14
Vd,Ae,Ac,Ar
INCÓGNITAS
AVALIAÇÃO
ECONÔMICA
L
r,T9,T12
OTIMIZAÇÃO
VARIÁVEIS DE PROJETO
Resultam da liberdade conferida ao projetista pela insuficiência de
metas de projeto
O módulo de Otimização arbitra sucessivos valores das variáveis de
projeto até o Lucro alcançar o seu valor máximo.
Exemplo
x4c
C=2
x5c
E=3
M=1
x6
m
x1
1
2
3
V=7
y
x2
x3
N=3
coincidentes
x7
G=V–E–N=7-3-3=1
Metas insuficientes, incógnitas em excesso
Sistema consistente indeterminado
(infinidade de soluções)
x
G=V–E–N=7-3-3=1
x4c
x1
1
x5c
x6
m
2
x3
3
x7
x4c
x5
c
x2
x1
1
Para se obter uma das soluções, é preciso
especificar uma das 4 incógnitas.
Não havendo imposições, o projetista tem a
liberdade de escolher essa incógnita.
Por exemplo: x7.
A variável escolhida é denominada
variável de projeto.
x2
x6m
2
x7p
3
x3
O critério de escolha se baseia na minimização do
esforço computacional, abordado no Capítulo 3
(Algoritmo de Ordenação de Equações).
Sem imposições, o projetista também tem a
liberdade de escolher o valor da variável de projeto.
A cada valor corresponde uma solução viável e um
valor para o Lucro.
x4
c
x5
c
x1
Se a variável for contínua, haverá uma
infinidade de soluções viáveis (indeterminado)
x2
Ele deve escolher o valor que corresponde ao
Lucro Máximo (solução ótima).
1
x6m
2
x7p
3
500
x3
400
L
Qualquer outro valor
atribuído como meta
produziria uma solução
pior do que a ótima.
300
200
100
0
0,0
0,2
xm
7
0,4
xp
7
0,6
0,8
1,0
As variáveis de projeto são escolhidas dentre as nãoespecificadas.
Exemplo: otimização do extrator
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
x kgB/kgA
rafinado
xo= 0,02 kg AB/kg A
y kg AB/kg B
extrato
Modelo Matemático
Balanço de Informação
1. Q (xo - x) - W y = 0
V = 5, N = 2, C = 2, G = 1
2. y - k x = 0
(candidatas: x, y, W)
Qualquer escolha resulta na solução ótima
Variável de Projeto: W
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y * - k x = 0
Variável de Projeto: x
1. Q (xo - x) - W y = 0
xo*
2. y - k x = 0
xo
y
W
1
2
Wo = 1.972,3
xo = 0,01118
yo = 0,04472
Lo = 15,6 $/h
60
xo = 0,01118
yo = 0,04472
Wo = 1.972,3
Lo = 15,6 $/h
x
2
x
50
60
R
40
50
R
C
L,R,C30
$/a
20
Lo
L=R-C
C
L,R,C 30
$/a
40
0
0
1
Q*
Q*
20
Lo=15,6
10
y
W
= 15,6
10
L
xo = 0, 01118
0
0,006 0,008 0,010 0,012 0,014 0,016 0,018 0,020 0,022
x kgAB/kg A
1000 2000 3000 4000 5000 6000
Wo = 1.973,6
W kg/h
Qualquer escolha resulta na solução ótima
Mas a escolha afeta o esforço computacional envolvido na otimização
Variável de Projeto: W
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
Variável de Projeto: x
1. Q (xo - x) - W y = 0
2. y - k x = 0
xo*
xo*
y
y
W
W
1
2
1
2
x
Q*
Escolha infeliz !
Sequência de cálculo cíclica
Otimização com cálculo iterativo
Q*
x
Escolha feliz !
Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)
Sequência de cálculo acíclica:
2. y = k x
1. W = Q (xo - x)/y
O Algoritmo de Ordenação de Equações conduz à escolha acertada
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,
independentemente da área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.2 Função Objetivo
5.2.3 Restrições
5.2.4 Região Viável
Devem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resolução do
problema
5.2.2 Critério
A busca da solução ótima tem que ser norteada por um critério.
O critério mais comum é econômico:
500
500
R
400
L
400
300
L
300
200
200
100
100
0
0,0
0,2
0,4
x7o
0,6
0,8
Maximização do Lucro
1,0
C
0
L
0,0
0,2
0,4
x7o
0,6
0,8
1,0
Minimização do Custo
(produção fixa  Receita constante)
5.2.2 Critério
500
400
L
300
200
100
0
0,0
0,2
xm
7
0,4
xp
7
0,6
0,8
1,0
Outros critérios adotados: segurança e controlabilidade.
A solução ótima segundo um critério pode não ser a ótima segundo um
outro critério. Por exemplo: a solução mais econômica pode não ser a
mais segura. E vice-versa.
Dois ou mais critérios podem ser utilizados simultaneamente com pesos
diferentes (otimização com objetivos múltiplos)
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,
independentemente da área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.5 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2.3 Função Objetivo
É a expressão matemática do critério de otimização descrita em
termos das variáveis físicas do problema.
Pode assumir formas das mais simples às mais complexas.
A sua caracterização é fundamental para a resolução do problema de
otimização.
Pode ser classificada quanto à:
(a) Continuidade: contínua, contínua com descontinuidade na derivada,
descontínua ou discreta.
(b) Modalidade: unimodal, multimodal.
(c ) Convexidade: côncava ou convexa.
5.2.3 Função Objetivo
(a) Continuidade
0,6
0,5
0,5
0,4
0,4
0,3
y 0,3
y
0,2
0,2
0,1
0,0
0,0
0,1
0,2
0,4
x
0,6
0,8
0,0
0,0
1,0
Função Contínua
1,0
10
0,8
8
0,6
6
0,2
0,4
x
0,6
0,8
1,0
Função Contínua com
descontinuidade na derivada
y
y
0,4
4
0,2
2
0,0
0,0
0,2
0,4
x
0,6
0,8
1,0
Função Descontínua
0
0
2
4
6
x
8
Função Discreta
10
5.2.3 Função Objetivo
(b) Modalidade
2,0
1,8
1,6
1,4
0,5
1,2
1,0
0,8
0,4
0,6
f
0,3
y
0,2
0,1
0,0
0,0
0,2
0,4
x
0,6
0,8
1,0
Função Unimodal em 1 Dimensão
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,0
-0,8 -0,6
-0,4 -0,2
0,0 0,2
0,4 0,6
0,8
X1
1,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
X2
-0,8
-1,0
Função Unimodal em 2 Dimensões
5.2.3 Função Objetivo
(b) Modalidade
220
A
215
4
E
3
C
C
y 210
f
D
B
205
A
B
2
1
1
0
-1
2
3,0
2,5
3
2,0
x
2
1,5
4
1,0
0,5
F
200
0
0,0
5
-0,5
x
1
1
2
3
x
4
5
6
Função Bimodal em 1 Dimensão
-1,0
6
-1,5
-2,0
Função Bimodal em 2 Dimensões
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade (funções univariáveis)
y
y[(1-a) x1 + a x2]0,5
0,4
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0,3
0,2
0,1
0a1
0,0
0,0
0,2
x1
0,4
0,6
(1-a)x1+ ax2x2
0,8
1,0
x
Função côncava: o valor dado pela função é superior ao dado pela
reta.
y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade (funções univariáveis)
y
0,5
0,4
0,3
(1-a) y(x1) + a y(x2)
0,2
0,1
y[(1-a) x1 + a x2]
0a1
0,0
0,0
0,2
x1
0,4
(1-a)x1+ ax2
0,6
x2 0,8
x
1,0
Função convexa: o valor dado pela função é inferior ao dado pela reta.
y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)
Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funções
univariáveis podem ser determinadas pela segunda derivada da
função no ponto extremo.
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
Para funções multivariáveis, a convexidade encontra-se relacionada aos
seus Valores Característicos, que são as raízes da sua Equação
Característica.
Exemplo: para uma função qualquer de duas variáveis, existem:
f
11
f
12
H(x) =
Matriz Hessiana:
f
21
f
22
2f
fij 
xix j
Equação Característica:
f
11
- 
f
det
f
21
f
2 – (f11 + f22)  + (f11f22 – f12f22) = 0
12
22
- 
=0
Os Valores Característicos são
as raízes desta equação.
5.2.3 Função Objetivo
(c ) Convexidade (funções multivariáveis)
Ilustração: Funções Quadráticas
f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x22 + b12 x1 x2


convexa
positiva semi-definida
estritamente côncava
negativa definida
côncava
negativa semi-definida
ponto de sela
indefinida
2,0
1,8
1,6
1,4
1,2
2,0
1,0
1,8
0,8
0,6
1,6
f
1,4
1,2
1,0
f
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-1,0 -0,8
-0,6 -0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,0
0
1,0 0,8
-0,8 -0,6
-0,4 -0,2
0,0 0,2
0,4 0,6
0,8
X1
1,0
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
X2
-0,8
-1,0
0,6 0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,0
X1
1,0
-1,1 -0,80
-1,4
0,8
-0,50
1,0
1,0
0,6
-0,20
0,40
0,4
0,8
0,8
0,70
0,2
0,6
0,6
x2

estritamente convexa
f
f
0,4
0,10
0,0
0,10
-0,4
0,2
0,2
0,0
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
X1
0,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
0,4
0,6
0,8
1,0
0,0
-1,0
-0,8
0,70
-0,2
0,4
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
X1
0,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
X2

f ( x)
positiva definida
X2

H ( x)
X2

, 
1
2
>0,  >0
1
2
>0,  =0
1
2
< 0,  < 0
1
2
< 0,  = 0
1
2
>0,  <0
1
2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,40
-0,20
-0,6
-0,8
-1,0
-1,0
-0,50 -0,80
-1,1 -1,4
-0,8
-0,6
-1,7
-0,4
-0,2
0,0
X1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
3.7 Dimensionamento
Desprezada a solubilidade do benzeno em água.
Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).
W2 kg B/h ?
W1 kg B/h ?
Q* = 10.000 kgA/h
xo*= 0,02 kg AB/kg A
alimentaçã
o
Q = 10.000 kgA/h
x1 * = 0,015 kgAB/kgA
1
rafinado
W1 kg B/h
y1 kg AB/kg B ?
extrato
Modelo Físico
1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 * = 0
3. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 0
4. y2 - k x2 * = 0
Q = 10.000 kgA/h
x2 * = 0,008 kgAB/kg A
2
rafinado
W2 kg B/h
y2 kg AB/kg B ?
extrato
Balanço de Informação
V = 8, N = 4, C = 2, M = 2
G = 0 (solução única)
5.6 Dimensionamento/Otimização
Desprezada a solubilidade do benzeno em água.
Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).
Q* = 10.000 kgA/h
xo*= 0,02 kg AB/kg A
alimentaç
ão
W1 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
x1 kgAB/kg A ?
W2 kg B/h ?
Q = 10.000 kgA/h
x2 kgAB/kgA ?
2
1
rafinado
W1 kg B/h ?
y1 kg AB/kg B ?
extrato
Modelo Físico:
1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 = 0
3. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 0
4. y2 - k x2 = 0
rafinado
W2 kg B/h ?
y2 kg AB/kg B ?
extrato
Balanço de Informação:
V = 8, N = 4, C = 2, M = 0
G = 2 (otimização)
Exemplo de Função Não-Quadrática
(Lucro de 2 extratores em série)
L = a-
x
b
- cx 2 - d 1
x1
x2
0,020
20
0,018
18
0,016
0
4,0 2,0
6,0
8,0
16
10
0,014
14
16
L
14
0,012
12
X2
10
18
0,010
8
0,008
6
4
0,006
2
0
0,005
0,010
0,015
0,020
x1
0,025
0,030
0,035
0,020
0,018
0,016
0,014
0,012
0,010
0,008
0,006
0,004
X2
0,002
12
0,004
0,002
0,005
0,010
0,015
Aplica-se a mesma classificação
0,020
X1
0,025
0,030
0,035
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,
independentemente da área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2.3 Restrições
São os limites impostos pelas leis naturais ou estabelecidos às
variáveis do processo.
Há dois tipos de restrições:
(a) restrições de igualdade : h(x) = 0
São as equações do próprio modelo matemático.
(b) restrições de desigualdade: g (x)  0
São os limites impostos às Variáveis de Projeto
Enunciado Formal de um Problema
de Otimização
Min f(x)
x
Função Objetivo
Variável de Projeto
s.a.: g(x)  0 Restrições de desigualdade
h(x) = 0 Restrições de Igualdade
W kg B/h
Exemplo: otimização do extrator
Max L(x) = R – C
{x}
s.a.:
g(x) = x - xo  0
h1 (x) = Q (xo - x) - W y = 0
h2 (x) = y - k x = 0
Q = 10.000 kgA/h
x kgB/kgA
rafinado
xo= 0,02 kg AB/kg A
y kg AB/kg B
extrato
A presença de restrições pode alterar a solução de um problema
5.2.3 Restrições
(a) Restrições de Igualdade (solução sobre a curva)
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
1.0
A
x 1,0
2
0,5
B
0,0
0,0
h(x) = 0
0,5
1,0
x
1,5
2,0
1
f ( x )  1  ( x 1  1) 2  ( x 1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
h ( x )  x 12  x 22  0 , 25  0
g2(x) = x1  0
g3(x) = x2  0
Solução Irrestrita: A
Solução Restrita : B
2,0
0,4
h(x) = 0
0,6
0,8
1,5
x
2
0,5
0,0
0,0
C
A
1,0
1,0
B
0,5
1,0
x1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x 1  1) 2  ( x 1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
h ( x )  x 2  2 , 1( x1  1) 2  0 , 1  0
g2(x) = x1  0
g3(x) = x2  0
Solução Irrestrita: A
Solução Restrita : B
Máximo Local: C
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
1.0
A
x 1,0
2
h2(x) = 0
0,5
0,0
0,0
B
h1(x)=0
0,5
1,0
x
1,5
2,0
1
f ( x )  1  ( x 1  1) 2  ( x 1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
h 1 ( x )  x 12  x 22  0 , 25  0
h 2 ( x )  x 12  x 22  0 , 25  0
g2(x) = x1  0
g3(x) = x2  0
Solução Irrestrita: A
Solução Restrita : B
(restrições compatíveis)
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
1.0
A
x2 1,0
0,5
0,0
0,0
B
h1(x)=0
0,5
h2(x) = 0
1,0
x
1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x 1  1) 2  ( x 1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
h 1 ( x )  x 12  x 22  0 , 25  0
h 2 ( x )  x1  x 2  1  0
g2(x) = x1  0
g3(x) = x2  0
Solução irrestrita: A
Solução restrita: impossível
( restrições incompatíveis)
5.2.3 Restrições
(b) Restrições de Desigualdade (fronteira e interior de regiões)
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
1.0
A
x2 1,0
0,5
B
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
x1
f ( x )  1  ( x1  1) 2  ( x1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
g ( x ) = x 2 + x 2 - 0 , 25  0
1
1
2
g2(x) = x1  0
g3(x) = x2  0
Solução irrestrita: A
Solução restrita : B
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
1.0
A
x2 1,0
0,5
0,0
0,0
B
0,5
1,0
x1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x1  1) 2  ( x1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
g ( x ) = x 2 + x 2 - 0 , 25  0
1
1
2
g2(x) = x1  0
g3(x) = x2  0
Solução irrestrita: A
Solução restrita : A
2,0
0,4
0,6
B
1,5
0,8
A
1,0
x2 1,0
g2(x)
0,5
g1(x)
0,0
0,0
0,5
1,0
x1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x1  1) 2  ( x1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
g1 ( x)  x12  x 22  1  0
g 2 ( x )  x12  x 22  4  0
g3(x) = x1  0
g4(x) = x2  0
Solução irrestrita: A
Solução restrita : B
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
A
1,0
x2 1,0
g2(x)
C
0,5
g1(x)
0,0
0,0
0,5
1,0
x1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x1  1) 2  ( x1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
g 1 ( x )  x 12  x 22  1  0
g 2 ( x )  x12  x 22  4  0
g3(x) = x1  0
g4(x) = x2  0
Solução irrestrita: A
Solução restrita : C
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
A
1,0
x2 1,0
g2(x)
0,5
g1(x)
0,0
0,0
0,5
1,0
x1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x1  1) 2  ( x1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
g1 ( x)  x12  x 22  1  0
g 2 ( x )  x12  x 22  4  0
g3(x) = x1  0
g4(x) = x2  0
Solução irrestrita: A
Solução restrita : A
2,0
0,4
0,6
1,5
0,8
A
1,0
x2 1,0
g2(x)
0,5
g1(x)
0,0
0,0
0,5
1,0
x1
1,5
2,0
f ( x )  1  ( x1  1) 2  ( x1  1)( x 2  1)  ( x 2  1) 2
g 1 ( x )  x 12  x 22  1  0
g 2 ( x )  x12  x 22  4  0
g3(x) = x1  0
g4(x) = x2  0
Solução impossível
Restrições incompatíveis
5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAÇÃO
São os elementos presentes em qualquer problema de otimização,
independentemente da área de aplicação.
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.2.4 Região Viável
Região do espaço delimitada pelas restrições de igualdade e de
desigualdade à qual se restringe a busca da solução ótima.
x3
Max f(x)
{x}
h(x) = 0
g(x)  0
s.a.: h(x) = 0
g(x)  0
x1
x2
Busca restrita ao interior da elipse (restrição de desigualdade g(x)  0)
que se encontra sobre o plano (restrição de igualdade h(x) = 0)
5.2.4 Região Viável
Convexidade
2,0
g1 ( x)  ( x12  2) 2  ( x2  2) 2  4  0
1,5
g2 ( x)  x12  x22  4  0
g 3 (x)  (x1  2) 2  x 2  4  0
g (x)
3
g (x)
2
x 1,0
2
A
0,5
B
g (x)
1
0,0
0,0
0,5
1,0
x
1
1,5
2,0
Região Convexa
Qualquer par de pontos pode
ser unido por uma reta
totalmente contida na região.
A convexidade garante a convergência dos métodos de otimização
5.2.4 Região Viável
Convexidade
g1 (x)  x12  x22  4  0
2,0
g (x) = x 2 + (x - 2) 2 - 4  0
2
1
2
g 3 ( x)  x12  ( x 2  1) 2  1  0
g (x)
A
1
1,5
x 1,0
2
g (x)
3
0,5
Região Não - Convexa
A reta que une A e B não
permanece contida na região
g (x)
2
B
0,0
0,0
0,5
1,0
x
1
1,5
2,0
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,020
0,018
0,016
0,005
0,014
0,010
0,012
0,015
0,010
0,020
1
0,025
0,006
0,004
0,030
0,035
0,002
2
x
0,008
x
L
Restrições podem ser lineares:
x1 – 0,02  0
x2 – x1  0
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.3 Localização da Solução Ótima
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.3 Localização da Solução Ótima
Localização de valores extremos na faixa x1  x  x2
M
5
M
4
f(x) 3
M
2
1
0
m
m
x1
5
10
x
15
x20
2
Pontos estacionários, descontinuidades das derivadas e fronteiras do
intervalo.
Máximos (M) e Mínimos (m) locais e globais
5.3 Localização da Solução Ótima
Condição para a otimalidade SEM restrição:
• Condição necessária de primeira ordem:
Para que x* seja um mínimo (ou máximo) local da função
f(x), diferenciável em x*, é necessário que:
f(x*) = 0
• Condição necessária de segunda ordem:
Para que x* seja um mínimo local da função f(x), duas
vezes diferenciável em x*, é necessário que a condição de
primeira ordem seja satisfeita e que a matriz Hessiana
H(x*) = 2f(x*) seja positiva semi-definida (ou negativa
semi-definida para máximo).
Condição para a otimalidade SEM restrição:
• Condição suficiente de segunda ordem:
Seja f(x) duas vezes diferenciável em x* tal que:
f(x*) = 0 e
H(x*) seja positiva definida
então x* é um mínimo local estrito de f (ou máximo se
negativa definida).
Condição para a otimalidade COM restrição:
• Condição necessária de primeira ordem de Karush-KuhnTucker (KKT):
Para que x* seja um ótimo local do problema com restrições,
com f(x), g(x), e h(x) diferenciáveis em x*, é necessário que:
os gradientes das restrições de desigualdade ativas, g(x*), e
das restrições de igualdade, h(x*), sejam linearmente
independentes, e que as seguintes condições sejam
satisfeitas:
xL(x*, λ*, μ*) = S(x*) + (λ*)T h(x*) + (μ*)T g(x*) = 0
h(x*) = 0
g(x*) ≤ 0
μj* gj(x*) = 0 , j = 1, 2, ..., p (condições de complementaridade)
μ* ≥ 0
Condição para a otimalidade COM restrição:
• Condição necessária de segunda ordem de KKT:
Para que x* seja um mínimo local do problema com
restrições, com f(x), g(x), e h(x) duas vezes diferenciáveis em
x*, é necessário que a condição de primeira ordem de KKT
seja satisfeita e, que a matriz Hessiana da
função de Lagrange, x2L(x*, λ*, μ*), seja positiva semidefinida para todo vetor não nulo d tal que:
dT hi(x*) = 0 , i = 1, 2, ..., m
dT gj(x*) = 0 para as gj(x*) ativas
isto é, dT x2L(x*, λ*, μ*) d ≥ 0.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.3 Localização da Solução Ótima
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
À luz dos conceitos apresentados os problemas de otimização podem
ser classificados:
(a) Quanto ao número de variáveis:
- Univariáveis ou Multivariáveis
(b) Quanto à presença de restrições:
- Irrestritos ou Restritos
Os métodos de resolução podem ser classificados:
(a) Quanto à natureza:
- Analítico: localiza os pontos estacionários pelo cálculo das
derivadas da função objetivo.
- Numéricos: buscam os pontos estacionários por tentativas.
(b) Quanto ao tipo de informação utilizada:
- Diretos: utilizam apenas o valor da função objetivo.
- Indiretos: utilizam, também, os valores das suas derivadas.
5.4 PROBLEMAS E MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO
Problemas:
(a) Quanto ao número de variáveis: univariáveis ou multivariáveis
(b) Quanto à presença de restrições: restritos ou irrestritos.
Métodos:
(a) Quanto à natureza: analíticos ou numéricos
(b) Quanto ao tipo de informação utilizada: diretos ou indiretos.
Com base nessa informação, pode-se formular diversos planos
para um estudo sistemático de Otimização.
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.3 Localização da Solução Ótima
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5.5 MÉTODO ANALÍTICO
5.5.1 Problemas univariáveis
Exemplo:
dimensionamento do extrator
W kg B/h
Q = 10.000 kgA/h
x kgB/kgA
rafinado
xo= 0,02 kg AB/kg A
y kg AB/kg B
extrato
Modelo Matemático:
Balanço de Informação:
1. Q (xo - x) - W y = 0
V = 5, N = 2, C = 2, M = 0
2. y - k x = 0 (k = 4)
G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica:
L=R-C
R = pAB W y
C = pB W
pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Seqüência de Cálculo
x y W
1 * * *
2 * *
x y W

1 x x o
2 x o
2. y = k x
1. W = Q (xo - x)/y
Restrições de Igualdade !!!
Função Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB W
Incorporando a L às Restrições de Igualdade ordenadas :
2. y = k x
1. W = Q (xo - x)/y
L = a - b x - c/x
a = Q ( p AB x o +
pB
k
) = 105
b = p AB Q = 4000
c =
p B Qx o
= 0 ,5
k
L = a - b x - c/x
60
Busca do ponto estacionário:
dL
50
= - b+
dx
R
40
c
b
Solução completa do problema:
o
d2L
dx 2
L = 15,6
L
10
= 0 , 01118
yo = 0,04472 kg AB/kg B;
Wo = 1.972,3 kgB/h;
Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h;
Lo = 15,6 $/h
C
L,R,C 30
$/a
20
c
= 0 || x o =
x2
= -2
xo
c
<0
o 3
(x )
Máximo!
o
x =0, 01118
0
0,006
0,008
0,010
0,012
0,014
0,016
x kgAB/kg A
0,018
0,020
0,022
5.5 MÉTODO ANALÍTICO
5.5.2 Problemas multivariáveis
Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em série
W kgB/h
1
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
x kgAB/kgA
1
1
x kgAB/kgA
2
2
y
Modelo Matemático
1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 = 0
3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0
4. y2 - k x2 = 0
W kgB/h
2
1
kgAB/kgB
y
2
kgAB/kgB
Avaliação Econômica
L=R-C
R = pAB (W1 y1 + W2 y2 )
C = pB (W1 + W2)
pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB
Balanço de Informação: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimização)
5.5 MÉTODO ANALÍTICO
5.5.2 Problemas multivariáveis
Modelo Matemático
1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 = 0
3. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 0
4. y2 - k x2 = 0
Modelo Matemático
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
1
2
3
4
W1 x1 y1 W2 x2 y2
* * *
* *
*
* * *
* *
1
2
3
4
W1 x1 y1 W2 x2 y2
o x x
x o
x
o x x
x o
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo L
L=R–C
R = pAB (W1 y1 + W2 y2 )
C = pB (W1 + W2)
2. y1 = k x1
4. y2 = k x2
3. W2 = Q (x1 – x2)/ y2
1. W1 = Q (xo - x1)/ y1
L = a – b/x1– cx2 – d x1/x2
a = pAB Q xo + 2 pB Q / k = 130; b = pB Q xo/ k = 0,5; c = pAB Q = 4000; d = pB Q / k = 25
Buscando o ponto estacionário:
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x2o = (d/b) x12 = 0,00921
Solução completa:
y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/h
y2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = 1.184 kgB/h
Co = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/h
Analisando o ponto estacionário:
L/x1 = b/x12 – d/x2 = 0
x1o = (b2/cd)1/3 = 0,01357
L/x2 = - c + dx1/x22 = 0
x2o = (d/b) x12 = 0,00921
  2L

2

x
1
H(x1o ,x o2 )   2
 L

 x1x 2
det(H - I) = 0
b

 2L 

2

 (x o )3
x 2x1 
1

=
 d
 2L 

o 2
2 
x 2  xo  (x 2 )

d 
(xo2 )2   4  105

o
d x1  2,95  105
2 o 3 
(x 2 ) 
1 = -0,258106
Máximo!
e
2,95  105 

8,69  105 
2 = -1,011106
0,020
0,018
0,016
0,005
0,014
0,010
0,012
0,015
0,010
0,020
1
0,025
0,006
0,004
0,030
0,035
0,002
2
x
0,008
x
L
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
0,020
0,018
0,016
0,005
0,014
0,010
0,012
0,015
0,010
0,020
1
0,025
0,006
0,004
0,030
0,035
0,002
2
x
0,008
x
L
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
0
W1 = 1.184
kgB/h
x1 = 0,01357
kgAB/kgA
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W2 = 1.184
kgB/h
1
2
y1 =
0,05428
kgAB/kgA
Estágio
Soluto Recup. kg/h
Solv. Consum. kg/h
Lucro $/a
x2 =
0,00921
kgAB/kgA
y2 =
0,03824
kgAB/kgA
1
2
64,28
1.184
13,87
43,62
1.184
5,61
Total
107,90
2.368
19,48
0,020
0,018
8,0
0,016
10
0,014
16
0,012
X2 0,010
0
4,0 2,0
6,0
19,5
0,00921
14
18
0,008
0,006
12
0,004
0,01357
0,002
0,005
0,010
0,015
0,020
X1
0,025
0,030
0,035
3.7 Dimensionamento
Desprezada a solubilidade do benzeno em água.
Sistema isotérmico (To = Ts = T = 25 oC; k = 4).
W2 kg B/h ?
W1 kg B/h ?
Q* = 10.000 kgA/h
xo*= 0,02 kg AB/kg A
alimentação
Q = 10.000 kgA/h
x1 * = 0,015 kgAB/kgA
1
rafinado
W1 kg B/h
y1 kg AB/kg B ?
extrato
Modelo Físico
1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 0
2. y1 - k x1 * = 0
3. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 0
4. y2 - k x2 * = 0
Q = 10.000 kgA/h
x2 * = 0,008 kgAB/kg A
2
rafinado
W2 kg B/h
y2 kg AB/kg B ?
extrato
Balanço de Informação
V = 8, N = 4, C = 2, M = 2
G = 0 (solução única)
Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2* = 0,008
0,020
0,018
8,0
0,016
0
4,0 2,0
6,0
10
0,014
16
0,012
X2 0,010
19,5
14
18
17,8
0,008
0,006
12
0,004
0,002
0,005
0,010
0,015
0,020
X1
0,025
0,030
0,035
OTIMIZAÇÃO SIMULTÂNEA x SEQUENCIAL
O Método Analítico foi aplicado às duas variáveis de projeto
simultaneamente, surgindo um sistema de duas equações que foi
resolvido.
Alternativamente, poder-se-ia pensar em decompor o problema em dois
sub-problemas univariáveis: otimizar o primeiro estágio e utilizar o valor
ótimo x1o na alimentação e otimização do segundo.
Neste caso, a solução obtida não é a solução ótima do problema!
W
W
2
1
*
Q
*
x
o
*
Q
1
x
1
W1
y
1
(
)
L1  pabQ* x*o  x1
2
*
x
1
(
)
pbQ* x*o  x1
kx1
x
2
W
2
y
2
(
L2  pabQ* x1*  x2
)
(
pbQ* x1*  x2
kx2
c
L1  a1  b1x1  1
x1
c
L2  a2  b2x2  2
x2
p
a1  Q*(pabx*o  b )  105
k
b1  pabQ*  4..000
p
a2  Q*(pabx1*  b )  6972
,
k
b2  pabQ*  4000
.
pbQ*x*o
 05
c1 
,
k
c
x1o  1  00111803
,
b1
pbQ*x1*
 02795
c2 
,
k
c
xo2  2  0008359
,
b2
Lo1  1556
, $/ a
Lo2  284
, $/ a
)
W1 = 1.972
kgB/h
x1 = 0,01118
kgAB/kgA
Q = 10.000 kgA/h
xo = 0,02 kgAB/kgA
W2 = 843 kgB/h
1
x2 = 0,008359
kgAB/kgA
2
y1 =
0,04472
kgAB/kgA
Estágio
Soluto Recup. kg/h
Solv. Consum. kg/h
Lucro $/a
y2 =
0,03344
kgAB/kgA
1
2
64,28
1.972
15,56
28,21
843
2,84
Total
116,41
2.815
18,40
Solução Simultânea
Estágio
Soluto Rec. kg/h
Solv. Cons. kg/h
Lucro $/a
1
2
64,28
1.184
13,87
43,62
1.184
5,61
Total
107,90
2.368
19,48
Solução Seqüencial
Estágio
Soluto Rec. kg/h
Solv. Cons. kg/h
Lucro $/a
1
2
88,20
1.972
15,56
28,21
843
2,84
Total
116,41
2.815
18,40
Na solução seqüencial, o primeiro estágio ignora o segundo: solução
irrestrita. O segundo estágio é otimizado sob a restrição imposta pelo
primeiro: solução restrita.
A solução ótima é aquela obtida pela otimização simultânea
Restrição de Igualdade: x1 – 0,01118 = 0
0,020
0,018
8,0
0,016
10
0,014
16
14
0,012
X2
0
4,0 2,0
6,0
18
0,010
0,008
0,006
12
0,004
0,002
0,005
0,010
0,015
0,020
X1
0,025
0,030
0,035
Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]
Método dos Multiplicadores de Lagrange
1. Formar o Lagrangeano do problema:
L(x, , , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) + j2]
i , j : multiplicadores de Lagrange (ou de Kuhn-Tucker)
i : variável de folga (distância de um ponto interior à fronteira da
restrição; transforma desigualdade em igualdade)
2. Localizar os pontos estacionários do Lagrangeano.
3. Analisar as soluções obtidas à luz das restrições.
Exemplo:
Min f(x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  0
g2 (x) = x1  0
g3 (x) = x2  0
x2
curvas de nível da função objetivo
1
0,5
0,5
x1
1
restrição
Exemplo:
Min f (x) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2
s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 0,25  0
g2 (x) = x1  0
g3 (x) = x2  0
Formar o Lagrangeano:
Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2
L (x, , ) = f(x) +  i hi (x) +  j [gj(x) + j2]
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 + 2]
L (x, , ) = (x1 – 1)2 + (x2 – 1)2 +  [x12 + x22 – 0,25 +  2]
L / x1 = 2 x1 – 2 + 2  x1 = 0  x1 = 1/(1 + )
L / x2 = 2 x2 – 2 + 2  x2 = 0  x2 = 1/(1 + )
L /  = x12 + x22 – 0,25 +  2 = 0
L /   = 2   = 0
(1)
(2)
(3)
(4)
A Eq. (4) é satisfeita para:
 = 0 (solução irrestrita): (1)  x1 = 1 ; (2)  x2 = 1 (viola a restrição!)
 = 0 (folga zero, fronteira da região): (1) e (2) em (3)  x1 = x2 = 0,35
x2
curvas de nível da função objetivo
1
0,5
0,5
x1
1
restrição
 = 0,74
Exercício:
Min f (x) = x1 x2
s.a.: g1 (x) = x12 + x22 – 25  0
Encontrar os pontos estacionários deste problema,
pelo método da relaxação Lagrangeana, e analisálos segundo os critérios de KKT
5. OTIMIZAÇÃO PARAMÉTRICA
5.1 Conceito de Otimização
5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimização
5.2.1 Variáveis de Decisão (Manipuladas)
5.2.2 Critério
5.2.3 Função Objetivo
5.2.4 Restrições
5.2.5 Região Viável
5.3 Localização da Solução Ótima
5.4 Problemas e Métodos de Otimização
5.5 Método Analítico: problemas univariáveis e multivariáveis.
5.6 Métodos Numéricos: problemas univariáveis e multivariáveis
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
São métodos de busca por tentativas.
Os métodos podem ser:
- Diretos: utilizam apenas o valor da Função Objetivo.
- Indiretos: utilizam também o valor da(s) derivada(s) da Função Objetivo
(menor números de tentativas mas o esforço computacional é maior).
Os pesquisadores buscam desenvolver métodos que atendam às
seguintes propriedades:
- Eficiência: resolver o mesmo problema com menor esforço.
- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
5.6.1 Problemas Univariáveis
Exemplo: Dimensionamento de um trocador de calor
FLUXOGRAMA
T4 oF
W
T
1
1
= 1.000 lb/h
A?
= 200 oF
T = 100 oF
2
W3 lb/h ?
T3 = 60 oF
Modelo Matemático
1. Q  W1Cp1 (T1  T2 )  0
2. Q  W3 Cp 3 (T4  T3 )  0
3. Q  UA  0
(T1  T4 )  (T2  T3 )
4.  
0
T  T4
ln 1
T2  T3
Balanço de Informação: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimização)
Avaliação Econômica
C T  0,50 C  0,10 I
C  p A W3  0,02 I
 A
I  I b 
 Ab




m
Ordenando as equações resulta T4 como Variável de Projeto.
Incorporando as Restrições de Igualdade à Função Objetivo CT e
definindo x = T4 - T3:
 140  x
ln

a 
40

CT
b
x
 100  x

 0 , 48




Tentando o Método Analítico:
 (T *  T *  x )



x
2
 ln
 1

*  *
*  *


x
(
T
T
)
T
T3 
dC T
a
1
3
2

 mb 

2
*
*
dx
x
T1  T 2  x






*
T1
*
T3
Impossível explicitar x  Método Numérico de Otimização !!!
m 1
Métodos de Estreitamento do Intervalo Viável
Suposição básica: unimodalidade da Função Objetivo
(a) a Função Objetivo é calculada em determinados pontos do intervalo
viável.
(b) a partir dos valores calculados e da suposição de unimodalidade,
elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo não pode estar
(reduzido o intervalo viável, de incerteza).
(c) o intervalo viável vai sendo estreitado sucessivamente a cada
iteração até se tornar menor do que uma tolerância pré-estabelecida
Os métodos diferem quanto ao número e ao critério de colocação dos
pontos.
Exemplos para Problemas de Máximo
o
o
o
0
1/3
o
2/3
1
0
1/3
2/3
1
Dois experimentos por ciclo
o
o
o
o
o
o
o
0
1/4
2/4
3/4
o
1
0
1/4
2/4
3/4
o
1
Três experimentos por ciclo
0
1/4
2/4
3/4
1
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
o
0 1/4 2/4 3/4 1
0 1/4 2/4 3/4 1
Eliminação de 50% do intervalo
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
o
0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
0 1/4 2/4 3/4 1
o
o
0 1/4 2/4 3/4 1
Eliminação de 75% do intervalo
Método da Seção Áurea
Utiliza dois pontos posicionados de forma a manter:
(a) simetria em relação aos limites do intervalo
(b) fração eliminada constante
Método da Seção Áurea
Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
e
1
Método da Seção Áurea
Base: Retângulo Áureo (esteticamente perfeito, segundo os gregos)
Propriedade: removendo um quadrado de lado igual ao lado menor,
1- e
e
1
resulta um outro retângulo com as mesmas proporções do retângulo
original

Razão Áurea
1
e

 e 2  e  1  0  e  0,618
e 1 e
Algoritmo da Seção Áurea
ÁUREA
Iniciar
Repetir
Eliminar Região
Atualizar Delta
Se Convergiu Então Finalizar
Colocar Novo Ponto
Convergiu
Delta  Tolerância
Iniciar
Repetir
Eliminar Região
Atualizar Delta
Se Convergiu Então Finalizar
Colocar Novo Ponto
Eliminação de Região
Problema de Mínimo
Fs
Eliminação de Região
Problema de Máximo
Fi
Li
xs
xi
Li
Ls
xs
Fs
Atualiza 
Tolerância ?
Novo Ponto
xi
Atualiza 
Tolerância ?
Novo Ponto
Fi
Fi
Fi
Li
Fs
Li
xs
0,618 
xs
xi
Ls
Fs
Inicialização
xi
Ls
 = L - L
s
i
xi = Li + 0,618
xs = Ls - 0,618
Li
xs
xi
0,618 
Ls
Ls
FLUXOGRAMA
T4 oF
W
T
1
1
= 1.000 lb/h
A?
= 200 oF
T = 100 oF
2
W3 lb/h ?
T3 = 60 oF
 140  x
 ln
a
40
 b
CT 
x
 100  x

x = T4 - 60





0 , 48
Minimização do Custo do Trocador de Calor
Tolerância: 1,4 oF (1% do intervalo inicial)
N
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Li
0
0
33,05
33,05
45,67
53,48
53,48
53,48
55,32
55,32
56,02
xs
53,48
33,05
53,48
45,67
53,48
58,29
56,46
55,32
56,46
56,02
56,46
Fs
247,5467
260,7956
247,5476
249,6361
247,5476
247,4314
247,3838
247,4099
247,3638
247,3836
247,3638
xi
86,52
53,48
66,09
53,48
58,29
61,27
58,29
56,46
57,16
56,46
Fi
259,8506
247,5467
248,7572
247,5476
247,4314
247,7315
247,4314
247,3838
247,3892
247,3638
Ls
140
86,52
86,52
66,09
66,09
66,09
61,27
58,29
58,29
57,16
57,16
xo = 56,46  T4o = 116,46  Ao = 17 ft2  W3o = 1.770 lb/h
D
140
86,52
53,47
33,04
20,42
12,61
7,79
4,81
2,97
1,84
1,14
xo = 56,46  T4o = 116,46  Ao = 17 ft2  W3o = 1.770 lb/h.
FLUXOGRAMA
T4 = 116,5 oF
W
T
1
1
= 1.000 lb/h
A = 17 ft2
= 200 oF
T = 100 oF
2
W3 = 1.770 lb/h
T3 = 60 oF
5.6. MÉTODOS NUMÉRICOS
5.6.2 Problemas Multivariáveis
Alguns métodos diretos:
- Busca Aleatória
- Busca por Malhas
- Busca Secionada
- Simplex (Poliedros Flexíveis)
- Hooke & Jeeves
Procedimento Geral:
(a) seleção de um ponto inicial (base).
(b) exploração da vizinhança da base para inferir uma direção de busca.
(c) progressão na direção de busca até decisão em contrário.
(d) finalização
Os métodos diferem quanto à forma de executar a exploração e a
progressão.
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão (proximidade do ótimo):
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Senão: reduzir os incrementos
Exploração
Testar a Função Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de
cada direção (xi) ao redor da Base.
Do resultado, depreender
a direção provável do
?
ótimo
+ 2
?
- 1
Base
+ 1
?
- 2
?
A Exploração não pode ser interrompida sem que todas as direções
tenham sido testadas.
Exploração
Funções unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.
S: Sucesso
I: Insucesso
S
+ 2
0,5
0,4
Sucesso
S
0,3
y
Base
desnecessário
0,2
- 2
buscando máximo
0,1
0,0
0,0
- 1
0,2
0,4
x
0,6
0,8
1,0
I
Exploração
O Sucesso numa tentativa justifica a mudança da Base para a nova
posição. A Exploração continua a partir desta melhor posição.
S
+ 2
S
- 2
I
- 1
Base
Seguem-se todos os resultados possíveis da Exploração em 2 dimensões
x2
Direção x1
Unimodalidade: dispensa + 1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
Sucesso: deslocar a Base
- 1
15
10
Base
- 2
18 Sucesso: deslocar a Base
Direção provável do ótimo
x1
x2
Direção provável do ótimo
Direção x1
Unimodalidade: dispensa + 1
18 Sucesso:
deslocar a Base Direção x2
+ 2
Sucesso: deslocar a Base
- 1
15
10
Base
- 2
12 Insucesso:
permanece na Base
x1
x2
Direção x1
Unimodalidade: dispensa + 1
Direção x2
13 Insucesso:
permanecer na Base
Direção + 
2
provável
Sucesso: deslocar a Base
do ótimo
- 1
15
10
Base
- 2
12 Insucesso:
permanecer na Base
x1
x2
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
Sucesso: deslocar a Base
7
- 1
Insucesso:
permanecer na Base
10
Base
+1
15
- 2
18 Sucesso:
deslocar a Base
Direção provável do ótimo
x1
Direção provável do ótimo
x2
Direção x1
18
Direção x2
Sucesso:
deslocar a Base
+ 2
7
- 1
Insucesso:
permanecer na Base
10
Base
+1
15
Sucesso:
deslocar a Base
- 2
12
Insucesso:
permanecer na Base
x1
x2
Direção x1
Insucesso:
11 permanecer na Base
Direção x2
+ 2
7
- 1
Insucesso:
permanecer na Base
10
Base
+1
- 2
Sucesso:
deslocar a Base
15
Direção provável
do ótimo
Insucesso:
12 permanecer na Base
x1
x2
Direção x1
Direção x2
Unimodalidade: dispensa + 2
7
- 1
Base
10
Insucesso:
permanecer na Base - 
+1
8
Insucesso:
permanecer na Base
2
15
Direção provável
do ótimo
Sucesso:
deslocar a Base
x1
x2
Direção provável
do ótimo
Direção x1
15
Direção x2
Sucesso:
deslocar a Base
+ 2
- 1
Insucesso: 7
permanecer na Base
10
+1
Base
8
Insucesso:
permanecer na Base
- 2
9
Insucesso:
permanecer na Base
x1
x2
Direção x1
5
Direção x2
Insucesso:
permanecer na Base
+ 2
- 1
Insucesso: 7
permanecer na Base
10
+1
Base
8
Insucesso:
permanecer na Base
- 2
9
Insucesso:
permanecer na Base
A Base deve estar próxima do ótimo !
x1
Método de Hooke & Jeeves : Fase de Progressão
22
Progredir com duplo incremento
até ocorrer um Insucesso
x2
Insucesso!
Permanecer na
Base (25)
+ 2 2
Sucesso!
Mover a Base.
Continuar a Progressão
25
+ 2 1
+ 2 2
Exploração a partir da
Base (25) com 1 e 2 .
18
+ 2 1
+ 2
+1
10
Base
15
Resultado da Exploração
x1
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Senão: reduzir os incrementos
A Base estará suficientemente próxima para ser declarada como o
ótimo?
Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerâncias,
SIM!: Finalizar
Se algum deles estiver maior, então este deve ser reduzido à metade.
Inicia-se uma nova Exploração à volta da Base com os novos
incrementos
x2
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Senão: reduzir os incrementos
5
- e1
+ e1
+ 2
+ e2
- 1
+1
7
- e2
10
8
Base
- 2
9
1 > e1 e 2 > e2 : ainda não chegou ao ótimo : 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2
x1
x2
- e2
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
+ e1
5
+ e2
+ 2
7
- 1
10
+1
8
Base
- e2
- 2
9
1 < e1 e 2 < e2 : a Base pode ser considerada o Ponto Ótimo
x1
Método de Hooke & Jeeves
ALGORITMO
Estabelecer um incremento e uma tolerância para cada variável
Escolher uma Base
Repetir
Explorar a vizinhança da Base (em busca da direção provável do ótimo)
Se houve Sucesso em alguma direção
Então: Progredir (na direção provável) até haver um Insucesso
Senão: (proximidade do ótimo)
Se Chegou ao Ótimo
Então: Finalizar
Senão: reduzir os incrementos
Funções Unimodais
O método converge sempre para o único extremo independentemente da
base inicial.
Os incrementos iniciais afetam apenas o número de tentativas.
Funções Multimodais
O método pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e
dos incrementos iniciais selecionados.
(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcançar extremos locais diferentes
com os mesmos incrementos iniciais.
(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcançar extremos locais diferentes
com incrementos iniciais diferentes
f (x) = (x12 + x2 – 11)2 + (x22 + x1 – 7)2
Método dos poliedros flexíveis
É um método de busca multivariável (J.A. Nelder e R. Mead, 1964, também
chamado de Simplex), onde o pior vértice de um poliedro com n + 1 vértices
é substituído por um novo vértice colinear com o vértice antigo e o
centróide.
X2
10
9
7
8
5
12
11
13
6
1
3
4
2
X1
Centróide:
x 0, j

1 n 1
   xi , j  x h , j 
n  i 1

j  1,2, n
onde xh,j é o pior vértice.
Método dos poliedros flexíveis
O algoritmo envolve quatro operações de busca, que para o caso da
minimização da função objetivo têm as seguintes formas:
Expansão
Reflexão
k
k
k
k

 xR  x0   ( x0  xh ) ,   0

k
k
k
onde
f
(
x
)

max
f
(
x
),
,
f
(
x
h
1
n
1 )




 Se f ( xRk )  f ( x k )  min  f ( x1k ), , f ( xnk1 ) ,

então xEk  x0k   ( xRk  x0k ) ,   1

Se f ( xEk )  f ( xRk ), então xhk 1  xEk


k 1
k
sen
ão
x

x
h
R


k  k  1 (ir para 1)

onde
Contração
 Se f ( xRk )  f ( xik )  i  h, então xCk  x0k   ( xhk  x0k )

xhk 1  xCk , 0    1


k  k  1 (ir para 1)

x k
é o melhor vértice.
Redução
1 k

k
k
k 1
k
Se
f
(
x
)

f
(
x
),
então
x

x

( xi  x k )
R
h
i

2

i  1, 2, , n  1


k  k  1 (ir para 1)


Método dos poliedros flexíveis
O critério usado por Nelder e Mead para terminar a busca é o
seguinte:
1
2
2
 1
k
k


f ( xi )  f ( x0 )    e



 n  1 i 1

n 1
DIMENSIONAMENTO POR SIMULAÇÕES SUCESSIVAS
EMPREGADO POR “SOFTWARES” COMERCIAIS
Empregam, para dimensionamento, os módulos ordenados para
simulação.
Mas exige um procedimento de otimização:
- função objetivo (a ser minimizada): diferença, em valor absoluto,
entre os valores obtidos para as variáveis de saída e os valores
estipulados como metas
- variáveis de projeto: as dimensões dos equipamentos
Exemplo: Extrator
W = 3.750 kgB/h
Normal
Q* = 10.000 kgA/h
o
xo*= 0,02 kg AB/kg A Ts C
Q* = 10.000 kgA/h
solvente
x* = 0,008 kgAB/kg A
To oC
T oC
o
T C
rafinado
alimentação
extrato
T oC
W = 3.750 kgB/h
y = 0,032kg AB/kg B
r = 0,60
Simulações Sucessivas
W = ??? kgB/h
Q* = 10.000 kgA/h
oC
T
s
xo*= 0,02 kg AB/kg A
Q* = 10.000 kgA/h
solvente
x = ??? kgAB/kg A
To oC
T oC
o
T C
rafinado
alimentação
extrato
T oC
W = kgB/h
y = kg AB/kg B
FO = |x – 0,008|
Exemplo: Extrator
Simulações Sucessivas
W = ??? kgB/h
Q* = 10.000 kgA/h
oC
T
s
xo*= 0,02 kg AB/kg A
Q* = 10.000 kgA/h
solvente
x = ??? kgAB/kg A
To oC
T oC
o
T C
rafinado
alimentação
extrato
T oC
W = kgB/h
FO = |x – 0,008|
y = kg AB/kg B
1. Q(xo – x) – W y = 0
2. y – k x = 0
x = Q xo / (Q + k W )
Por Seção Áurea, 0 < W < 1.000  W = 3.750
Exemplo: Trocador de Calor
Normal
T4* = 30 oC
A = 265,6 T
m2
2
*
1. Q  W1Cp1 (T1  T2 )  0
= 25
oC
W1* = 30.000 kg/h
T1* = 80 oC
W3 = 44.000 kg/h
2. Q  W3 Cp 3 (T4  T3 )  0
3. Q  UA  0
(T  T4 )  (T2  T3 )
4.   1
0
T  T4
ln 1
T2  T3
T3* = 15 oC
Simulações Sucessivas
T4* = ???
A
T 2* ???
W1* = 30.000 kg/h
T1* = 80 oC
T2 = T1 – Q/W1Cp1
T4 = T3 + Q/W3Cp3
Por Hooke&Jeeves
W3
*
T3 = 15
oC
0 < A < 1.000
0 < W3 < 100.000
MATERIAL COMPLEMENTAR
Subsídio para o Problema 5.10: divisão de correntes
Q
T1* = 180 oC
WCpQ = 10 kW/oC
x?
1-x
F2
WCpF2 = 7 kW/oC
2
T8* = 170 oC
T7* = 100oC
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
1
T5* = 60oC
T6* = 117,2 oC
T2 ?
T3 ?
T4* = 102,4 oC
Modelo Matemático
Q
WCpQ = 10 kW/oC
x?
T1* = 180 oC
Q1 = WF1 (T6 - T5)
Q1 = WQ x (T1 – T2)
1 - x
Q2 = WF2 (T8 - T7)
F2
WCpF2 = 7 kW/oC
2
T8* = 170 oC
T7* = 100oC
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
T5* = 60oC
Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)
Balanço de Informação
G=1
1
T6* = 117,2 oC
Variável de Projeto: x
T2 ?
T3 ?
T4* = 102,4 oC
Função Objetivo
Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL
Modelo Matemático
Q
WCpQ = 10 kW/oC
x?
T1* = 180 oC
Q1 = WF1 (T6 - T5)
Q1 = WQ x (T1 – T2)
1 - x
Q2 = WF2 (T8 - T7)
F2
WCpF2 = 7 kW/oC
Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)
2
T8* = 170 oC
T7* = 100oC
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
*
T5 =
60oC
Balanço de Informação
G=1
1
T6* = 117,2 oC
T2 ?
Variável de Projeto: x
T3 ?
T4* = 102,4 oC
Função Objetivo
Max LE = aR – b(Cmp + Cutil) – c ISBL
Min C = A10,65 + A20,65
Modelo Matemático
Q
WCpQ = 10 kW/oC
x?
T1* = 180 oC
Q1 = WF1 (T6 - T5)
Q1 = WQ x (T1 – T2)
1 - x
Q2 = WF2 (T8 - T7)
F2
WCpF2 = 7 kW/oC
Q2 = WQ (1 – x) (T1 – T3)
2
T8* = 170 oC
T7* = 100oC
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
*
T5 =
60oC
Função Objetivo
Min C = A10,65 + A20,65
1
T6* = 117,2 oC
Resolução: Seção Áurea
T2 ?
T3 ?
*
T4 = 102,4
oC
Limites de x
T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5
 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)
T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7  xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)
Q
WCpQ = 10 kW/oC
T1* = 180 oC
x = 0,74
F2
WCpF2 = 7 kW/oC
2
T8* = 170 oC
T7* = 100oC
F1
WCpF1 = 5 kW/oC
*
T5 =
Solução
1
60oC
T6* = 117,2 oC
T2 = 70oC
T3 = 113,8 oC
Limites de x
*
T4 = 102,4
oC
T2 = T1 - Q1 / x WQ > T5
 xi = Q1 / WQ (T1 - T5)
T3 = T1 - Q2 / WQ (1 - x) > T7  xs = 1 - Q2 / WQ (T1 - T7)
Problema 5.12
Resfriar uma corrente com 3 fluidos refrigerantes que vaporizam a T constante.
Vazão de cada fluido refrigerante?
W1 lb/h ?
W2 lb/h ?
W3 lb/h ?
Wo* = 10.000 lb/h
T1* = 0 oF
to*= 50 oF
t1 = 15 oF
t3 = - 70 oF
t2 = - 22 oF
T2* = - 40 oF
T3* = - 80 oF
Modelo Matemático para cada Trocador i
Qi  WoC p ( t i 1  t i )  0
Qi  UA i i  0
Qi  Wi  0
i 
W1 lb/h ?
t i 1  t i
0
t T
ln i 1 i
t i  Ti
W2 lb/h ?
W3 lb/h ?
Wo* = 10.000 lb/h
T1* = 0 oF
t1 = 15 oF
t3 = - 70 oF
t2 = - 22 oF
T2* = - 40 oF
T3* = - 80 oF
to*= 50 oF
O custo de cada trocador é dado por
Ci  a i Ai  biWi ($/h)