Introdução à Programação Linear
Aplicações
Elementos de
Economia Matemática 2
Prof. Alexandre Stamford
Estudo de Caso: Plan. Oper.
 A Companhia ALT-M produz 3 modelos de móveis.
 Alfa, Beta e Gama
 É de porte médio, a demanda aumentou de forma que foi
detectado alguns estragulamentos na produção que não se
consegue identificar facilmente.
 A gerência encomendou um estudo para detectar os
estragulamentos e analisar algumas alternativas de
correção.
 Foi determinado que apenas a mão-de-obra e a madeira
poderiam limitar a produção.
Estudo de Caso: Plan. Oper.
A disponibilidade total é:
Mão-de-obra: 3.520 H.h
Estoque de madeira: 10.000 m² por mês.
O processo requer 5 fases:
Corte
704 H.h
Preparação
1232 H.h
Montagem
Pintura
Embalagem
704 H.h
528 H.h
352 H.h
Estudo de Caso: Plan. Oper.
 As capacidades correspondem a alocação anterior de mãode-obra.
 Os trabalhadores podem ser alocados para as várias
seções sem perda de qualidade ou eficácia.
 Além disso, cada trabalhador trabalha 44 H.h por semana,
número o que será usado em caso de transferência interseções.
 Como critério utilizou a margem contribuição de cada
produto para o lucro total.
 Devido às diferenças de design dos modelos a utilização
dos recursos é diferente para cada um, essas diferenças
foram medidas in loco, e os coeficientes de utilização
unitária foram levantados.
Utilização Unitária de Recursos
Conjunto
Alfa
Conjunto
Beta
0,4
0,3
0,3
704 H.h
Preparação
0,8
0,4
0,6
1.232 H.h
Montagem
0,25
0,4
0,4
704 H.h
Pintura
0,2
0,2
0,2
528 H.h
Embalagem
0,06
0,1
0,05
352 H.h
3
4,5
6
10.000 m²
Recurso
Corte
Madeira
Conjunto Alocação
Gama
por Seção
Custo Unitário dos Recursos
Recurso
Corte
Custo
Unitário
2,40
Preparação
3,50
Montagem
2,20
Pintura
2,50
Embalagem
2,00
Madeira
6,50
Contribuições Marginais
Conjunto
Alfa
Contribuição
Unitária
21,00
Beta
19,50
Gama
22,00
Preço de Venda menos custos variáveis de produção
O modelo do problema
Max L  21x1  19,5x2  22 x3
x1 , x2 , x3
Corte 0,4 x1  0,3x2  0,3x3  704
Prepa 0,8 x1  0,4 x2  0,6 x3  1.232
Mont 0,25 x1  0,4 x2  0,4 x3  704
Pintu 0,2 x1  0,2 x2  0,2 x3  528
Emba 0,06 x1  0,1x2  0,05 x3  352
Made 3x1  4,5 x2  6 x3  10.000
O modelo do problema
Max L  21x1  19,5x2  22 x3
x1 , x2 , x3
 0,4
 0,8

0,25

 0,2
0,06

 3
0,3
0,4
0,4
0,2
0,1
4,5
0,3 
 704 



0,6 
1
.
232

 x1  
0,4     7.4 
  x2   

0,2 
528 

 x3 
 352 
0,05



6 
10.000
Solução do Problema
Modelo Fábrica de Móveis
Alfa
828,24
Beta
880,00
Gama
362,35
21
19,5
22
0,4
0,8
0,25
0,2
0,06
3
0,3
0,4
0,4
0,2
0,1
4,5
0,3
0,6
0,4
0,2
0,05
6
Objetivo
42524,71
<=
<=
<=
<=
<=
<=
Utilização
704 Corte
704,00
1232 Preparação
1232,00
704 Montagem
704,00
528 Pintura
414,12
352 Embalagem
155,81
10000 Madeira
8618,82
Preço
Sombra
9,117647
12,5
29,41176
0
0
0
Estudo de Caso: Plan. Oper.
Pela solução observa-se que existem alguns
recursos ociosos e outro em plena utilização.
Pode-se então deslocar capacidade ociosa de uma
seção para outra.
Como a montagem é o maior gargalo, a primeira
proposta é aumentar a disponibilidade em 4
módulos de 44 H.h = 880 H.h disponíveis.
A nova solução é:
Solução do Problema
Modelo Fábrica de Móveis
Alfa
552,00
Beta
880,00
Gama
730,67
21
19,5
22
0,4
0,8
0,25
0,2
0,06
3
0,3
0,4
0,4
0,2
0,1
4,5
0,3
0,6
0,4
0,2
0,05
6
Objetivo
44826,67
<=
<=
<=
<=
<=
<=
704
1232
880
528
352
10000
Corte
Preparação
Montagem
Pintura
Embalagem
Madeira
Utilização
704,00
1232,00
782,27
432,53
157,65
10000,00
Preço
Sombra
40,00
0,00
0,00
0,00
0,00
1,67
Estudo de Caso: Plan. Oper.
 Nota-se que as 176 H.h que foram acrescidas podem ser
retiradas da fase de embalagem sem prejuízo algum.
 Assim o limite da restrição de embalagem cai de 352 para
176H.h.
 A solução é a mesma apenas o valor da restrição de
embalagem é que mudará. Sobrará então apenas 18,35 ao
invés de 194,35.
 Note que sobraram algumas horas na montagem agora.
 Note que a fase de corte representa o gargalo agora (40).
 Note também que a margem de lucro total aumentou de
42.524,71 para 44.826,67 = 2.301,92.
Estudo de Caso: Plan. Oper.
Uma segunda proposta foi feita pela gerência:
Trocar as máquinas da seção de corte por outras
mais eficientes, o que poderia ser a solução para
resolver o estrangulamento na seção de corte.
Os novos coeficientes são:
Conjunto
Alfa
Beta
Gama
Máquinas Máquinas
Atuais
Novas
0,4
0,35
0,3
0,27
0,3
0,28
Redução
Unitária
0,05
0,03
0,02
Acréscimo nas MC dos produtos
Redução
Unitária
Custo
Unitário
0,05
2,4
0,12
21,12
Beta – x2
0,03
2,4
0,072
19,572
Gama –
0,02
2,4
0,048
22,048
Conjunto
Alfa – x1
3
Acréscimo Novos
na MC
Coef. F.O.
Max L  21,12 x1  19,572 x2  22,048x3
x1 , x2 , x3
Corte
0,35 x1  0,27 x2  0,28 x3  704
Solução do Problema
Modelo Fábrica de Móveis
Alfa
579,80
Beta
1157,98
Gama
508,28
21,12
19,572
22,048
0,35
0,8
0,25
0,2
0,06
3
0,27
0,4
0,4
0,2
0,1
4,5
0,28
0,6
0,4
0,2
0,05
6
Objetivo
46.115,93
<=
<=
<=
<=
<=
<=
704
1232
880
528
176
10000
Corte
Preparação
Montagem
Pintura
Embalagem
Madeira
Utilização
657,90
1232,00
811,45
449,21
176,00
10000
Preço
Sombra
0,00
15,90
0,00
0,00
61,30
1,57
Estudo de Caso: Plan. Oper.
Note que existem folgas significativas na pintura e
na montagem e que a fase de embalagem tornouse o gargalo.
Pode-se então deslocar 44 H.h da fase pintura
para a fase embalagem como último ajuste.
A nova solução é:
Solução do Problema
Modelo Fábrica de Móveis
Alfa
628,15
Beta
1757,04
Gama
34,81
21,12
19,572
22,048
0,35
0,8
0,25
0,2
0,06
3
0,27
0,4
0,4
0,2
0,1
4,5
0,28
0,6
0,4
0,2
0,05
6
Objetivo
48.422,81
<=
<=
<=
<=
<=
<=
Utilização
704 Corte
704,00
1232 Preparação
1226,22
880 Montagem
873,78
484 Pintura
484,00
220 Embalagem
215,13
10000 Madeira
10000
Preço
Sombra
44,71
0,00
0,00
7,07
0,00
1,35
Estudo de Caso: Plan. Oper.
 A partir deste ponto pode-se começar uma
análise de atratividade econômica das máquinas.
Note que poucos recursos estão ociosos agora:
Recurso
Disponibilidade
Folga
Utilização
704
0
704
Preparação
1.232
5,78
1.226,22
Montagem
880
6,22
873,78
Pintura
484
0
484
Embalagem
220
4,86
215,14
10.000
0
10.000
Corte
Madeira
Estudo de Caso: Plan. Oper.
 Evolução e comparação dos problemas.
Note que muitos outros estudos e propostas
podem ser sugeridos:
ALTERNATIVA
FOLGA TOTAL
UTILIZAÇÃO
TOTAL
MARGEM DE
CONTRIBUIÇÀO
Inicial
310,06
3.209,94
42.524,71
Ajuste na Montagem
211,54
3.308,46
44.826,67
Troca de Máquinas
193,42
3.326,58
46.115,93
Ajuste na Embalagem
16,86
3.503,14
48.422,82