Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
INTRODUÇÃO AO CONTROLO
1º semestre – 2011/2012
Transparências de apoio às aulas teóricas
Cap 6 – Efeitos da Realimentação e Erros em
Regime Permanente
Maria Isabel Ribeiro
António Pascoal
Todos os direitos reservados
Estas notas não podem ser usadas para fins distintos daqueles para que foram
elaboradas (leccionação no Instituto Superior Técnico) sem autorização dos autores
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivo e Sumário
 Enunciar os requisitos de um sistema de controlo
 Apresentar e discutir os principais efeitos da realimentação
 Especificações no projecto de controladores
 Erros em regime estacionário
•
Com retroacção unitária
•
Sem retroacção unitária
 Referências
o Cap.4 (Secções 4.1 e 4.2) da referência principal
o Notas de Eduardo Morgado
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sistemas de Controlo
Um sistema moderno de controlo
• avalia as condições de operação do sistema
• compara-as com o comportamento desejado
• calcula acções correctivas com base num modelo do sistema
• actua no sistema para implementar essas acções correctivas
Sistema
Sensoriamento /
Percepção
Computação
Actuação
Sistema de controlo implementado em computador
Perturbações externas
Ruído
Actuadores
Sistema
Ruído
Saída
Sensores
Processo
Controlador
Relógio
D/A
Computador
A/D
Entrada de referência
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sistemas de Controlo: Nomenclatura
Perturbação
Entrada de
Referência
Perturbação
+
Transdutor
de entrada
Erro
+
Controlador
_
Actuador
+
+
+
+
Variável
Controlada
Processo
Transdutor
de saída ou
sensor
+
Ruído nos
sensores
Sinal de comando
Controlador
r +
e
_
K(s)
Sistema a controlar
u
Cadeia de retroacção
d
+
G(s)
+
y
+
n
+
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
REQUISITOS USUAIS
•
Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto
possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja, o erro deve ser
pequeno
•
Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
•
Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
•
Estabilidade
•
Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
•
Robustez de estabilidade
–
Relativamente à variação de parâmetros
–
Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de
controlador
•
E. Morgado
Controlo, 1998
Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um
modelo mais simples de 2ª ordem
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sistemas de Controlo: Efeitos da realimentação
Quando bem projectados
os sistemas de controlo em cadeia fechada reduzem o efeito
o de perturbações externas ao sistema, incluindo ruído nos
sensores
o de variações dos parâmetros do sistema devidas ao
envelhecimento, tolerâncias de fabrico ou efeitos de carga
A resposta transitória é modificada com a introdução de
realimentação, mas as condições de estabilidade podem ser
afectadas
Os sistemas em cadeia fechada são estáveis
Especificações de controlo
Resposta transitória
Estabilidade
Erros em Regime Estacionário
....
modos de expressar os requisitos
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
REQUISITOS USUAIS
•
Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto
possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser
pequeno
•
Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
•
Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
•
Estabilidade
•
Pequena sensibilidade à variação• Mais
de parâmetros
à frente será quantificada a
•
Robustez de estabilidade
–
–
estabilidade relativa.
• Para sistemas estáveis, importa saber
Relativamente à variação de parâmetros
quão estável é?
Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de
controlador
•
E. Morgado
Controlo, 1998
Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um
modelo mais simples de 2ª ordem
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
REQUISITOS USUAIS
•
Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto
possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser
pequeno
•
Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
•
Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
•
Estabilidade
•
Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
•
Robustez de estabilidade
–
Relativamente à variação de parâmetros
–
Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de
controlador
•
E. Morgado
Controlo, 1998
Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um
modelo mais simples de 2ª ordem
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações
– Perturbações externas na cadeia de acção
cadeia aberta
+
R(s)
W(s)
+
K
sistema linear
princípio da sobreposição
G(s)
Não há possibilidade de atenuar o efeito de
W sobre Y
cadeia fechada
+
R(s) +
Y(s)  KG(s)R(s)  G(s)W(s)
Y(s)
K
+
W(s)
Y(s)
G(s)
_
Y(s)  Y(s) W ( s )0  Y(s) R( s )0
KG(s)
G(s)
Y(s) 
R(s) 
W ( s)
1  KG(s)
1  KG(s)
princípio da sobreposição
A saída é tanto menos afectada por W quanto maior for o ganho K
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações
– Perturbações externas na cadeia de acção
W(s)
+
R(s) +
cadeia fechada
K=2
K
Y(s)
a
s(s  a)
+
_
K=8
perturbação
K=15
K=30
Saída y(t) do
sistema em
cadeia fechada
sem perturbação
Saída y(t) do
sistema em
cadeia fechada
quando existe a
perturbação
indicada
a análise da rejeição de perturbações pode fazer-se também no domínio da frequência
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
• Rejeição de perturbações
– Perturbações externas na cadeia de acção
d
+
cadeia fechada
referência
R(s) +
r(t )  20 u(t )
temperatura desejada
_
K
1
(s  1)
+
Y(s)
K4
K 1
20
K
1 K
d( t )  5 u( t  5)
perturbação
Um aumento do ganho do controlador diminui o efeito da perturbação
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
•
Rejeição de perturbações
– Perturbações externas na cadeia de acção +
– Ruído nos sensores
cadeia fechada
W(s)
+
R(s) +
E(s)
K
+
Y(s)
G(s)
+
_
+
N(s)
Y(s) 
ruído nos
sensores
KG(s)
G(s)
KG(s)
R(s) 
W ( s) 
N(s)
1  KG(s)
1  KG(s)
1  KG(s)
Como é a rejeição das
perturbações para uma frequência
s=jw?
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação: Rejeição de Perturbações
•
Rejeição de perturbações
– Perturbações externas na cadeia de acção +
– Ruído nos sensores
Y(s) 
KG(s)
G(s)
KG(s)
R(s) 
W ( s) 
N(s)
1  KG(s)
1  KG(s)
1  KG(s)
Como é a rejeição das perturbações para uma frequência s=jw?
•
Para uma frequência w
•
•
•
Boa rejeição da perturbação W
Bom seguimento da referência r (erro pequeno)
Boa rejeição do ruído
aumentar |KG(jw)|
aumentar |KG(jw)|
diminuir |KG(jw)|
•
O ruído apresenta habitualmente componentes espectrais de mais alta
frequência do que as do sinal de referência
•
Estratégia de Controlo
•
Baixas Frequências
|KG(jw)| >> 1
•
Altas Frequências (banda do ruído)
|KG(jw) <<1
•
Frequências intermédias – as condições a impor ao ganho estão relacionadas com a
estabilidade em cadeia fechada.
Banda de frequência associada normalmente ao sinal de
referência e às perturbações exteriores que são sinais
relativamente lentos
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
REQUISITOS USUAIS
•
Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto
possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve ser
pequeno
•
Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
•
Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de perturbações
•
Estabilidade
•
Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
•
Robustez de estabilidade
–
Relativamente à variação de parâmetros
–
Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de
controlador
•
E. Morgado
Controlo, 1998
Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem por um
modelo mais simples de 2ª ordem
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Efeitos da Realimentação
•
Sensibilidade à variação de parâmetros
–
De que modo variações de parâmetros em G(s) afectam a função de
transferência em cadeia fechada ?
R(s) +
Y(s)
K
G(s)
_
dM
M
M  dM G
SG 
dG
dG M
G
SMG 
FT em
cadeia
fechada
Y(s)
KG(s)

R(s) 1  KG(s)
Sensibilidade de M(s) relativamente a G(s)
1 KG(s)K  KG(s)K . G 
1
1 KG(s)
2
M 1  KG(s)2
1 KG(s)
1
S 
1  KG(s)
M
G
M(s) 
Quanto maior for |KG(jw)| menos sensível se torna a
função de transferência em cadeia fechada a variações de
parâmetros no sistema a controlar, G(s)
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Objectivos Gerais de Um Sistema de Controlo
REQUISITOS USUAIS
•
Um bom seguimento do sinal de referência
– a variável que se pretende controlar deve tomar valores tão próximos quanto
possível dos valores desejados expressos pela referência, ou seja o erro deve
ser pequeno
•
Uma boa rejeição dos efeitos das perturbações, incluindo ruído
•
Rapidez da resposta, quer no seguimento, quer na rejeição de
perturbações
•
Estabilidade
•
Pequena sensibilidade à variação de parâmetros
•
Robustez de estabilidade
–
Relativamente à variação de parâmetros
–
Relativamente a incertezas no modelo do processo no qual se baseou o projecto de
controlador
•
E. Morgado
Controlo, 1998
Dinâmica não modelada, resultante, por exemplo, da aproximação de um sistema de 3ª ordem
por um modelo mais simples de 2ª ordem
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
f.t. do controlador
r
+
temperatura
desejada
_
e
erro
f.t. da sala
temperatura
Gc (s)
P(s)
c
Dynamical Systems and Automatic Control
J.L. Martins de Carvalho
sistema de controlo de
temperatura de uma sala
A - Controlador Proporcional
Gc (s)  K
r(t )  20 u(t )
P( s) 
1
s 1
temperatura desejada
e ss 
20
20
1 K
erro em regime estacionário
K
1 K
Sem perturbação
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Gc (s)  K
Exemplo motivador
controlador P ( proporcional )
o erro em regime estacionário diminui com o
aumento do ganho do controlador
e ss
K 5
K2
sistema de controlo de
temperatura de uma sala
e ss
e ss
K 1
Como levar o
erro para zero ?
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
B - Controlador Integral
Dynamical Systems and Automatic Control
J.L. Martins de Carvalho
+
r
e
_
r(t )  20 u(t )
Gc ( s ) 
KI
s
m
KI
s
c
1
P(s) 
s 1
temperatura
t
m( t )  K I  e()d
o
 (t )  KI e(t )
m
Em regime estacionário
mss  constan te
Se ess  0
 (t )  0
m
ess  0
 ()  0
m
m( t ) 
c() 
e  r c 
contradição
O erro em regime estacionário constante
sistema de controlo de
temperatura de uma sala
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
B - Controlador Integral
r
r(t )  20 u(t )
Gc ( s ) 
+
_
e
perturbação
KI
s
m
1
P(s) 
s 1
+
Dynamical Systems and Automatic Control
J.L. Martins de Carvalho
+
c
temperatura
KI
s
sem perturbação
com perturbação
sistema de controlo de
temperatura de uma sala
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
Controlador Proporcional e Controlador Integral
Dynamical Systems and Automatic Control
J.L. Martins de Carvalho
r
+
e
_
r(t )  20 u(t )
Gc (s)
m
c
P(s)
sistema de controlo de
temperatura de uma sala
P( s) 
Gc (s)  K
Gc ( s ) 
KI
s
1
s 1
controlador proporcional
controlador integral
contribuiu com um pólo na origem na cadeia de acção
K  KI  1
com controlador I
K  KI  3
com controlador I
Com o controlador
Integral
• O erro em regime
estacionário é nulo
com controlador P
com controlador P
• ... Mas o sistema
torna-se mais lento
• ... E o transitório é
mais oscilatório
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: exemplo
Exemplo motivador
Controlador Proporcional Integral (PI)
Dynamical Systems and Automatic Control
J.L. Martins de Carvalho
K2 / s
r
+
r(t )  20 u(t )
_
Gc ( s )  K 1 
Gc ( s ) 
K2
s
sK 1  K 2
s
e
K1
controlador
proporcional
+
+
sistema de controlo de
temperatura de uma sala
m
P(s)
c
P( s) 
com controlador I
K2  5
K1  3
com controlador PIK  5
2
integral (PI)
com controlador P
K1  3
1 pólo na origem e 1 zero
1
s 1
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro em Regime Estacionário: Definição
•
ERRO = diferença entre a entrada de referência, r(t), e a saída, c(t).
e( t )  r( t )  c( t )
•
ERRO em regime estacionário
e ss  lim e( t )
Análise vai ser feita apenas para
sistemas estáveis
t 
Retroacção unitária
R(s)
+
E(s)
C(s)
P(s)
Gc(s)
_
sinal de erro
R(s)
+
E(s)
_
G(s)
C(s)
E(s)  R(s)  C(s)  R(s)  G(s)E(s)
E(s) 
para retroacção unitária
1
R(s)
1  G(s)
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Sinais de Teste
Erro de POSIÇÃO
Erro de VELOCIDADE
Erro de ACELERAÇÃO
designação habitual do erro
correspondente
Erro em Regime Estacionário: Designação
Justificação para a designação
r(t)=rampa
variação
linear da
posição
pretende-se que o sistema
apresente uma
velocidade constante
sistema de controlo de posição
R(s)
r(t)=parábola
variação
linear da
velocidade
pretende-se que o sistema
apresente uma
aceleração constante
+
E(s)
_
G(s)
C(s)
posição
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de Posição
E(s) 
1
R(s)
1  G(s)
e ss  lime( t )  limsE (s)
t 
s 0
Valor para
retroacção unitária
Por aplicação do Teor. Valor Final
entrada escalão
r(t )  u(t )
erro estático de posição
1
R( s ) 
s
1
1
e ss  lim

s0 1  G( s)
1  limG(s)
s 0
ganho de baixa frequência da f.t. em cadeia aberta
coeficiente de erro
estático de posição
K p  limG( s)
s 0
ess 
1
1 Kp
G( s) finito, o erro não é nulo
• Se lim
s 0
• Para que o erro seja nulo lim
G(s)  
s 0
G(s) ( FT cadeia aberta) com pelo menos
um pólo na origem
O sistema em cadeia fechada deve ser, pelo menos, de tipo 1
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Tipo de um Sistema
R(s)
+
E(s)
C(s)
G(s)
_
G(s) 
K(s  z1 )(s  z2 )...(s  zm )
sN (s  p1 )(s  p2 )...(s  pnN )
•
•
•
FT em cadeia aberta
m zeros
n pólos
N pólos na origem
O sistema em cadeia fechada é de tipo N
O tipo de um sistema (em
cadeia fechada)
=
número de pólos na origem da
função de transferência em
cadeia aberta (ganho de malha)
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de Posição
Valor para
retroacção unitária
entrada escalão
erro estático de posição
e ss 
1
1 Kp
Sistema de tipo 0
Kp  const.
Sistema de tipo N1 Kp  
ep (  ) 
1
1 Kp
ep ()  0
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de velocidade
E(s) 
1
R(s)
1  G(s)
e ss  lime( t )  limsE (s)
t 
s 0
Valor para
retroacção unitária
Por aplicação do Teor.
Valor Final
erro estático de velocidade
entrada rampa
r( t )  tu( t )
R( s) 
1
s2
e v ( )  lims
s 0
1
1
1

1  G(s) s 2 limsG (s)
s 0
coeficiente de erro
estático de velocidade
K v  limsG (s)
Sistema de tipo 0
Sistema de tipo 1
Sistema de tipo N2
Kv  0
ev ()  
K v  const
1
e v ( ) 
Kv
Kv  
e v ( )  0
s 0
e v ( ) 
1
Kv
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro Estático de aceleração
E(s) 
1
R(s)
1  G(s)
e ss  lime( t )  limsE (s)
t 
s 0
Valor para
retroacção unitária
Por aplicação do Teor.
Valor Final
entrada parábola
r( t ) 
erro estático de aceleração
1 2
t u( t )
2
R( s) 
1
s3
e a ( )  lims
Sistema de tipo 0, 1
Sistema de tipo 2
Sistema de tipo N3
s 0
1
1
1

3
1  G(s) s
lims 2G(s)
coeficiente de erro
estático de aceleração
s 0
Ka  0
ea ()  
K a  const
ea ( ) 
Ka  
ea (  )  0
1
Ka
K a  lims 2G(s)
s 0
ea ( ) 
1
Ka
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erros em Regime Estacionário: resumo
R(s)
+
E(s)
G(s)
C(s)
_
G( s) 
1
s 1
G(s) 
1
s(s  1)
G(s) 
s  0.5
s2 (s  1)
Resposta do sistema em cadeia fechada
Tipo 0
Tipo 2
Tipo 1
e ss  lime( t )  limsE (s)
t 
s 0
entrada
escalão
rampa
0
1
1 Kp


1
0
1
Kv

0
1
Ka
tipo do
sistema
2
0
parábola
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Especificações
 O valor do erro em regime estacionário é usado,
correntemente, como especificação de controlo
exemplo
R(s)
+
E(s)
_
K( s  5 )
s(s  6)(s  7)(s  8)
C(s)
Requisito
Determinar o valor de K por forma a que o erro
estático de velocidade seja de 10%
e v ( ) 
1
 0.1
Kv
K v  10  limsG (s) 
s 0
K  672
5K
6 x7 x8
Usando o critério de Routh-Hurwitz pode
confirmar-se que, para este valor de K, o
sistema em cadeia fechada é estável
Capítulo 6- Efeitos Realimentaçãoe Erros
Erro com retroacção não unitária
R(s)
Retroacção não unitária
+
não é o sinal de
erro e(t)=r(t)-c(t)
Ea(s)
C(s)
G(s)
_
H(s)
E(s)  R(s)  C(s)  R(s) 
sinal de erro
E(s) 
R(s)
Ea(s)
+
+
_
G(s)
R(s)
1  G(s)H(s)
1  G(s)H(s)  G(s)
R(s)
1  G(s)H(s)
C(s)
G(s)
_
Ge (s)
H(s) -1
R(s)
+
E (s)
_
A análise do valor estacionário do erro para este
sistema (sem retroacção unitária)
G(s)
1  G(s)H(s)  G(s)
C(s)
pode ser feita, com a metodologia derivada antes,
para este outro que tem retroacção unitária