Aula 14
Escoamento Potencial (irrotacional):
regime permanente,
2D e incompressível
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Escoamento incompressível, fluido
Newtoniano com  constante
 A equação
 de transporte de quantidade de movimento:



V
2

   VV  P   V  g
t
 
 aplicando as identidades:

 
2
  VV   V 2  V  

 

0






2
 V     V        


 Vamos encontrar que:

 
 V2


V



 

 gz  p   V      


t grad 2



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Escoamento incompressível, fluido
Newtoniano com  constante
 O lado direito da equação só depende da vorticidade,

 
 V2


V



 

 gz  p   V      


t grad 2



 se o escoamento for irrotacional, a equação de
quantidade de movimento reduz para:

 V2

V


 
 gz  p   0


t grad 2

 O fato do escoamento ser irrotacional faz com que
div(T) seja nulo apesar do fluido possuir viscosidade,
isto é, T = 2S0.
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Potencial f de Velocidades
 O fato do escoamento ser irrotacional permite que ele seja
expresso por meio de uma função escalar f tal que o
gradiente de f é proporcional ao campo de velocidades:

V  f
 O sentido positivo de V ocorre para valores de f
crescentes , i.e., se f cresce v > 0

V

V
f  f 
i;
j
x
y
f  f 
r;

r
r
(cartesiano)
(polar)
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Quais são as conseqüências de V= gradf
 Note que se o campo de velocidades vier da
função potencial f então
1. Ele satisfaz a condição de irrotacionalidade
   V       0
2. Para conservar a massa é necessário que

2
.V  .f   f  0
 Ou seja, se a função potencial for uma
solução da equação de Laplace ela também
satisfaz a massa!
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Quais são as conseqüências de d2f = 0?
 Se f vier de uma solução que satisfaz 2f = 0,
então o campo de velocidades é definido por,
V = f e satisfaz simultaneamente a condição
de irrotacional e a equação da massa .
2
 f
2
 f
2

2
 f
2
0
x
y
2
1   f  1  f
2
 f
r   2 2  0
r r  r  r 
(cartesiano)
(polar)
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Equação Bernoulli
 Se o escoamento é irrotacional, incompressível e  cte,

 V2

V


 
 gz  p   0


t grad 2

 Expressando o campo de velocidades em função do
potencial
2
 f
f

 

 t
2


 gz  p   0


 e integrando no espaço vamos ter:
2
f
f


 gz  p  C
t
2
 onde C é uma constante.
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Consequências do Escoamento Irrotacional
 O campo de velocidades vem da função potencial que
satisfaz a equação da massa e está desacoplado da Eq.
Cons. Q. Movimento!

2
.V  .f   f  0
 O campo de pressão vem da Eq. Cons. Q. Movimento, que
neste caso reduziu para Bernoulli (eq. Escalar)
2
f
f


 gz  p  C
t
2
 As Eqs. Massa e Q. Mov. são satisfeitas porém estão
desacopladas. Primeiro resolve f depois encontra-se P.
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Ver introdução ao Escoamento Viscoso
Potencial (Viscous Potential Flow, D.D.
Joseph) apresentada no Apêndice.
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Laplaciano de f
 Se f vier de uma solução que satisfaz 2f = 0,
então o campo de velocidades é definido por,
V = f e satisfaz simultaneamente a condição
de irrotacional e a equação da massa .
2
 f
2
 f
2

2
 f
2
0
x
y
2
1   f  1  f
2
 f
r   2 2  0
r r  r  r 
(cartesiano)
(polar)
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A função corrente e Laplaciano de y
 Para escoamentos 2D a vorticidade se reduz a
apenas uma componente:

u v   y    y 
   
  z 

 

y x y  y  x  x 
z   2y
 Então para um escoamento 2D e irrotacional a
função corrente é determinada satisfazendo a
equação de Laplace:
 2y  0
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‘The Nice Pair’: d2f = 0 e d2y = 0
 Note que tanto f quanto y são soluções de
Laplace que representam um escoamento
incompressível, 2D, irrotacional e que
satisfazem a massa!
 O campo de velocidades em coordenadas
cartesiana ou polar é definido por:
f y
u

x y
f
y
v

y
x
f y
Vr 

r r
f
y
V 

r
r
 Porém as linhas de f e y constante tem uma
relação em comum e um significado especial!
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Ângulo entre as linhas de f e y constante
 As variações de f e y podem ser expressas por:

f
f
dx  dy  f  d r
x
y

y
y
dy 
dx 
dy  y  d r
x
y
df 
 O ângulo que as linhas de f e y
constante fazem entre sí é
determinado pelo ângulo que os
vetores normais a estas curvas (os
gradientes) fazem entre sí:
 
 
f  y  u i  vj   v i  uj  0



 Como o produto escalar é nulo
então as curvas f e y constante
são ORTOGONAIS entre sí
df  0
dy
df
dy  0
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1. As linhas de f e y
constante formam uma
grade ortogonal.
2. Se f for encontrado
primeiro y pode ser
determinado ou viceversa!
3. Os conjuntos de linhas f e
y são soluções da
equação de Laplace
• Nas linhas de y constante não há velocidade normal a
elas pela própria definição de função corrente, (sempre
tangente ao vetor velocidade)
• Portanto y constante pode representar a fronteira de
uma superfície sólida pois nela não há velocidade
normal.
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Equações de Cauchy-Riemann (2D)
 A função potencial e função corrente estão
relacionadas por:
f y
u

x y
f
y
v

y
x
 Este conjunto de equações é reconhecido
como equações de Cauchy-Riemann para as
funções f(x,y) e y(x,y).
 Ela permite definir um potencial complexo
F(z)=f(x,y)+iy(x,y) e estender a capacidade de
análise no escoamento potencial.
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Potencial Complexo
 Como as funções f(x,y) e y(x,y) satisfazem as
condições de Cauchy-Riemann, pode-se
definir um potencial complexo:
F  z   f  x,y   iy  x,y 
 onde
iy
z = x+iy
i  1
z  x  iy
reiθ  rcosθ   i sinθ 
|r|

x
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Função Analítica
 A função F(z) é analítica pq f(x,y) e y(x,y)
satisfazem Cauchy-Riemann. Além disto, se F
é analítico, sua derivada existe:
dF
Fz  dz   Fz 
w z  
 Lim
dz dz 0
dz
 e independe da direção
que dz se aproxima de z0.
iy
z0
x
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A Velocidade Complexa, w(z)
 Calculo da derivada fazendo dz=dx e y cte.
dF
fx  dx, y   iyx  dx, y   fx, y   iyx, y  df
dy
 Lim

i
dz dx0
dx
dx
dx
 Reconhecendo que df/dx = u e dy/dx = -v, então:
w z  


1.
2.
dF
 u  iv
dz
Verifique que dz=idy (e x cte)o resultado é o mesmo!
Conclusões:
A derivada do potencial complexo resulta no complexo
conjugado da velocidade.
O conhecimento do potencial complexo F fornece o
campo de velocidade por meio de uma simples derivada!
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Potencial Complexo Conjugado
F  z     x,y   iy  x,y 
O produto:
dF
w z  
 u  iv
dz

w z   w z   w z   u  v  q
2
2
2
2
é o quadrado da velocidade resultante.
 Se |w|2 é conhecido pode-se determinar o
campo de pressão utilizando Bernoulli.
 Os pontos de estagnação (u=v=0) são
determinados pelas raízes de |w|2 =0
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A velocidade complexa em coordenadas Polar
 A velocidade em Z0 é V
com componentes u e
v em coordenadas
cartesianas e u e ur em
coordenadas polar
u  u r cos   u  sin 
v  u r sin   u  cos 
u
iy
Vv
z0
ur
u

x
ei  cos  i sen
wz   u r cos  u  sin  iu r sin  u  cos 
wz   u r  iu   e i
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PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
 A equação de Laplace é uma equação elíptica
e requer informação em todo contorno do
domínio.
V=df/dy=0
df/dn=0
Uin=df/dx
Uout=df/dx
y
x
V=df/dy=0
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PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
 A equação de Laplace é uma equação elíptica e requer
informação em todo contorno do domínio.
V=-df/dy=0 p/ y->∞
df/dn=0
Uout=-df/dx
Uin=-df/dx
df/dn=0
V=-df/dy=0 p/ y->∞
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PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
 O tempo não entra na equação de Laplace. Isto
significa que qualquer variação em t que surge
no contorno também aparece no interior do
campo no mesmo instante, por exemplo:
f r, t   K  Ln  r   f  t 
 Note que ela satisfaz d2f=0 nas f varia
instantaneamente em todo campo (velocidade
infinita pq fluido é incompressível)
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PROPRIEDADES DA EQUAÇÃO DE LAPLACE
 A equação de laplace é linear e o princípio da
superposição é válido, i.e., a soma linear de soluções
individuais de laplace também é solução.
 f e y satisfazem as equações 2f=0 e 2y=0 em todo
o campo exceto nas singularidades.
 A seguir será visto:
1. Soluções simples que satisfazem 2f=0 e 2y=0 e
2. Será associado a estas soluções um significado físico
3. Será explorado o princípio da superposição para se
obter soluções de casos complexos.
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Escoamentos Elementares
+
+
-
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Escoamentos Elementares
+
+
eixo
Fonte + Sorvedouro dist. -> 0
Sentido eixo: F -> S
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Função Corrente e Potencial para o Dipolo
Eixo do dipolo (doublet)
O eixo do dipolo indica a posição relativa da Fonte e do
Sorvedouro, na figura acima a Fonte está a esquerda do
Sorvedouro, ambos posicionados ao longo do eixo x
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Comentários sobre os escoamentos elementares
 Escoamento uniforme, fonte/sorvedouro,
vórtice são soluções da equação de Laplace
(verifique). A exceção ocorre nos pontos
singulares.
2
 f
2
 f
2

2
 f
2
0
x
y
2
1   f  1  f
2
 f
r   2 2  0
r r  r  r 
(cartesiano)
(polar)
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Potencial Complexo
F z   fz   iy z 
Escoamento
F(z)
f
y
Uniforme
Fz   U  iVz
xU yV
yU xV
q
Fz   
Log z  z 0 
2
q

Log r  r0 
2
Fonte (+) ou
Sorvedouro (-)
em z0
Vórtice
Anti-horário em
z0
Doublet em z0
(eixo x>0)
Doublet em z0
(eixo y>0)
Fz   i

Log z  z 0 
2
F z  

2  z  z 0 
F z  
i
2  z  z 0 


Log r  r0 
2

  0 
2
 cos    0 

2  r  r0 
 sin    0 
2  r  r0 
q
  0 
2

 sin    0 
2  r  r0 
 cos    0 
2  r  r0 
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Expansão ao redor do eixo de
simetria, =/n, veja figs. a-a, b-b
e c-c
‘Corner Flows’
Fz   Azn  Arnein
f  A  r n  cosn 
y  A  r n  sinn 

ân gu lo 
n
0    2
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MÉTODO DAS SUPERPOSIÇÕES
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Superposição de uma Fonte+Escoamento Uniforme
filme
• Este escoamento também é conhecido como semicorpo de Rankine. Ele pode ser formado também por um
sorvedouro.
• A linha de corrente em ‘azul’ é uma linha que divide o
escoamento interno e externo. Por esta razão ela
também pode representar uma superfície (carenagem ou
‘fairings’).
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Semi Corpo de Rankine (filme)
 Considere um escoamento uniforme e uma fonte na
origem:
y
linha de corrente
ponto de
divisória
estagnação
U0
r
V=0
Yq/2
a

a
x
q
y  y U  y F  U 0  r  sen  

2
 Quando considera-se a presença de um corpo (parede) é
mais conveniente trabalhar com y pq y = cte pode
representar uma parede!
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Semi Corpo de Rankine I
q
 O campo de velocidades de : y  U 0  r  sen   
2
y
q
 U 0  cos  
r
2r
y
v  
  U 0  sen  
r
vr 
 no ponto de estagnação,  = - e vr=v=0,
então a distância a do ponto de estagnação a
origem é:
q
q
0  U 0  cos 
a 
2r
2  U 0
 e o valor de y que passa pelo ponto de
estagnação (r,) = (a,) é, y = q/2
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Semi Corpo de Rankine II (filme)
q
 Sendo y definido por:
y  U 0  r  sen   
2
 A forma do corpo de Rankine, ( r, ), é determinada
pela linha de corrente divisória, i.e.   y = q/2:
(q 2)×[1- q p ]
q
q
= U 0 ×r ×sen (q)+
q ® r (q) =
2
2p
U 0 ×sen (q)
y
linha de corrente
ponto de
divisória
estagnação
ö
q æ
p - q÷
U0
ç
r (q) º
V=0
r
÷
ççè
Yq/2
ø
2U 0p senq ÷
a
a

a
No pto stag.  = 
x
e r() é:
æp - q ÷
ö
ç
r (p ) º a Lim q® p çç
º a
÷
÷
è senq ø
1
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Semi Corpo de Rankine III
 O corpo não cresce indefinidamente na direção radial,
sua largura máxima é ymax = a. Esta distância é
determinada fazendo o limite para x→∞ ou  →0
     a
r  0   aLim  0 


 sen  
Entretanto para  →0 então x→∞
r    a  ymax  a
e r →x e  →y/x, logo
y
ponto de
U0 estagnação
V=0
linha de corrente
divisória
r
a

a
Yq/2
x
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Semi Corpo de Rankine IV
 A velocidade resultante no campo é:
2
q 
2
2
2 


V  v r  v   U0  cos  
   U0  sen
2

 Mas, a = q/2U0
‘a’ passa a ser:
2r 
e q =2aU0 e V2 em função da distância
  a 2
 a 
V  U  1     2  cos    
 r
 r  

2
2
0
2

V2
a
a

1


2

cos

 
 
U02
r
r
 Distribuição pressão no campo determinada por
Bernoulli
2
 V 

p  p0 
1
1
2
2

p  V  p0  U 0 
 1  
2
2
2
1 2U0
 U0 
 ou em termos do Cp:
Cp  a r 2  2  cos  a r 
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Oval Rankine I
A oval de Rankine é obtida
pela superposição de um
escoamento uniforme,
uma fonte e um
sorvedouro de mesma
intensidade e espaçados
de 2a.
y  y U  y F  yS
q
q
 U 0  r  sen 
1  2
2
2
y  y U  y F  yS

q
2ay
1

 U 0  r  sen 
tan
 x 2  y2  a 2 
2


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Oval Rankine II
Mas a função corrente de uma fonte e de um sorvedouro já são
conhecidas portanto;

q
2ay
1

y  y U  y F  yS   U 0  r  sen 
tan
 x 2  y2  a 2 
2


Os semi-eixos maior e menor, L e h, da oval são determinados de
forma similar ao semi-corpo de Rankine.
 Ponto estagnação (L,0) u = v = 0 e encontra-se L/a ) e
determina-se que o valor de y(L,0) = 0;
 No ponto (0,h) y(0,h) = 0 pq pertence a oval, desta eq. tira-se
h/a);
12
L 
2q 
 1 

a  U 0a 
 ha 
h
 cot 

a
2q

U
a
0 

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Corpos Fechados
 Pode-se formar corpos fechados com formas
variadas colocando-se fontes e sorvedouros
distribuídos.
 Veja exemplo:
fonte localizada
sorvedouros
distribuídos
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Escoamento ao redor de um Cilindro
• O escoamento externo ao
um cilindro é obtido da
superposição de um dipolo
com escoamento uniforme.
• A linha de corrente que
divide o escoamento
externo do interno é um
círculo, portanto associa-se
as linhas e y constante
àquelas que ocorrem no
escoamento externo a um
cilindro.
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Escoamento ao redor de um Cilindro I
• Superpondo um dipolo na origem e um escoamento uniforme:
sen 
y  y U  y D  U 0  r  sen   
r
• note que o eixo do dipolo aponta para x>0, i.e., a fonte
está a esquerda do sorvedouro. O campo de velocidades:
y
cos


vr 
 U 0  cos  
 cos U 0  
2
r
r
r2 

y
sen


v  
  U 0  sen  
 sen U 0  
2
r
r
r2 

• vr é nulo quando r = (/U0)1/2 que define o raio ‘a’ do
cilindro.
• A intensidade do dipolo em termos de a:  = a2U0
• v é nulo quando  = 0 e .
• Os pontos de estagnação ocorrem em (a,0) e (a,)
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Escoamento ao redor de um Cilindro II
• As componentes de velocidade vr e v e a
velocidade resultante V na superfície do cilindro de
raio ‘a’ :
v r  0 & v   2  sen  U 0
V 2  v 2r  v 2  4  U 02  sen 2 
• a distribuição de pressão no cilindro (r = a)
 V 
p  p atm 

 1  
2
1 2U 0
 U0 
2
 C p  1  4  sen 2 
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Distribuição de Velocidade no Cilindro
 A velocidade na superfície do cilindro é dada por: V/U0
= 2 sen() e mostrada na figura abaixo:
V/Uo
2
1
0
0
30
60
90
graus
120
150
180
 Note que o diâmetro do cilindro não aparece na
relação. Esta é uma característica do escoamento
potencial, ele é cinematicamente similar. Cilindros de
quaisquer diâmetros terão as mesmas velocidades
relativas nos pontos correspondentes!
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
q
Distribuição de Pressão
Em Cilindros para
escoamento Laminar,
Turbulento e Potencial
Para o escoamento
potencial:
1. Cp é max no ponto
de estagnação;
2. É igual a p externo
para  ~30 graus
3. Atinge um mínimo
para  90 graus e
4. Recupera a pressão
em  180 graus.
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 A Força de arrasto no cilindro é
determinada por:


a
q
1
D  2   C P U 02  a cosd  0
2
0
 O cilindro não possui força de arrasto,
paradoxo de D’Alembert!
 Distribuição de pressão simétrica.
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Força Resultante no Cilindro
•
No escoamento potencial só atua forças normais
(pressão). Como a distribuição de pressão no corpo
do cilindro é simétrica, não há força resultante no
cilindro. Isto é, seu arrasto é nulo.
•
•
Este é um dos pontos falhos da teoria potencial.
Ele foi reconhecido por D’Alembert e em sua
homenagem recebeu o nome de paradoxo de
D’Alembert.
•
Este paradoxo foi resolvido no início do sec. XX por
Prandtl. Ele verificou que os efeitos viscosos ficam
confinados na Camada Limite. Externo a Camada
limite a teoria potencial é válida.
•
Entretanto, quando a camada limite se separa do
corpo ela perturba o escoamento externo, muda a
distribuição de pressão no corpo e cria um arrasto
não previsto pela teoria potencial.
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Método das Imagens
• A colocação simétrica de
alguns escoamentos
elementares pode gerar
efeitos de uma parede (linha
de corrente com curvatura
zero).
• Uma fonte próxima de uma
parede pode ser aproximado
colocando-se outra fonte
simétrica (imagem
espelhada), o mesmo para um
vórtice livre (neste caso eles
se deslocam como anéis de
fumaça).
• Efeito de solo numa asa
pode ser analisado de forma
aproximada com esta técnica
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Aplicação Bernoulli Transiente
 Determine a distribuição de pressão num cilindro
que acelera num fluido estacionário (escoamento
ideal)
Cil. movendo
Cil. Estac.
Y
U0
X
 Note que o problema é transiente para o
referencial inercial XY mostrado.
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Condições de Contorno
 O escoamento deve satisfazer a equação de
Laplace: 2f=0, sujeito a:
Y
U0
lon ge do cili ndro
f
f

0
x r   y r  
X n a supe rfíciedo cili ndro

Vrel  n  0
 onde a velocidade relativa é definida por:



Vrel  Vfluido  Vcil
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A velocidade relativa
Y



Vrel  Vfluido  Vcil
U0
y
U0

X

f
f





Vrel     U 0 cos   e r  
  U 0 sin   e 
 r

 r


n  er
e


f
como Vrel  n  0 
  U 0 cos 
r cilindro
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 O potencial para o cilindro que acelera pode ser formado
a partir da superposição do potencial para um cilindro
estacionário com um escoamento uniforme de U0
variando no tempo.
y
y
x
Escoamento ao redor
de um cilindro
estacionário
+
U0

x
Escoamento uniforme
variando no tempo
O escoamento uniforme irá deslocar o cilindro no
espaço pq as velocidades se somam!
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 O potencial e condições de contorno: f  f1f2
y
y
+
x
U0

x
U 0 a 2 cos 
f1 
 U 0 r cos 
r
f 1 r r  a  0
f 2   U 0 r cos 
f 1 x x    U 0
f 2 x x     U 0
f 2 r r  a
  U 0 cos 
Somando f1 e f2 as condições de contorno para f são satisfeitas
f r
f x
r a
x
 f1 r
 f1 x
r a
x
 f 2 r r  a   U 0 cos 
 f 2 x x    0
portanto f1f2 é uma solução para 2f=0 do problema original
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O potencial do cilindro que acelera
y
y
+
x
U0

x
U 0 a 2 cos 
f
 U 0 r cos    U 0 r cos 



r 



f1
ou
f2
U 0 a 2 cos 
f
 double t(fonte sorve douro)
r
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O potencial do cilindro que acelera
No cilindro que se move, as posições r e  variam com o tempo,
então a expressão para o potencial passa a depender do
tempo:
U 0 t   a 2 cost 
fx, y, t  
r t 
Como o cilindro desloca-se no espaço com velocidade U0, a
variação das coordenadas (r,) com o tempo será
dependente desta velocidade, assim:
Y
U0dt
r
d
dt
dt

dr
dt
dt
dr
  U 0 cos 
dt
d
r
 U 0 sin 
dt
r

X
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 Potencial & campo de velocidades
U 0a 2
f
vr 
  2 cos 
r
r
U 0 t   a 2 cost 
fx, y, t  
r t 
U 0a 2
f
v 
  2 sin 
r
r
V
2


v r2

v 2

2 a 
U0  
4
r
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 Potencial & variação com o tempo
U 0 t   a 2 cost 
fx, y, t  
r t 
U 0a 2
f dU 0 a 2
dr U 0a 2
d


 cos  
cos



sin


t
dt
r
dt
r
dt
r2
 Taxa de variação de r e 
dr
= - U 0 cos q &
dt
dq
r =
dt
U 0 sin q
 Variação do potencial com o tempo
2
f dU 0 a 2
a




 cos   U 02   cos 2
t
dt
r
r
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 A distribuição de pressão no cilindro é calculada a
partir de Bernoulli
2




  gz  p  C
t
2
 Note que para r , p/ qualquer tempo, V = 0 e p =
patm, portanto C = patm. Na superfície do cilindro, r = a,
p  patm
dU 0
 U 02
2
 
 a  cos    U 0 cos 2 
dt
2
f t
p  patm
U 02
dU 0


1

2
cos
2



 a  cos 


2
dt
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p  patm
U 02
dU 0


1

2
cos
2



 a  cos 


2
dt
 O ponto de estagnação (=180)
p  p atm
U 02
dU 0


a
2
dt
 Note que se dU0/dt = 0 a distribuição de pressão coincide(*)
com a distribuição de um cilindro estacionário:
p  p atm


U 02

1  4 sin2 
2
 Podemos concluir que se o cilindro acelera num fluido
estacionário é necessário a aplicação de uma força pq
surge um arrasto devido ao termo dU0/dt.
(*) utilize a identidade cos(2) = 1 - 2sen2
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 Força agindo no cilindro

D  2  p  p atm  a cos d
0

 U 02

dU 0
 2 
 a  cos   a cos d
1  2 cos 2  
2
dt

0


dU 0 2
2
 U a   1  2 cos 2  cos d  2
a
cos
d

dt 0
0
2
0
0

dU 0
D
a 2 L
dt Massa Virtual
 Em termos de energia, esta força realiza um trabalho para
aumentar a energia cinética do fluido ao redor do cilindro.
 Esta força é denominada por `massa virtual` e existe em
qualquer tipo de corpo que é acelerado em um fluido;
 Corolário: se dU0/dt = 0 então D = 0
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Força de Sustentação &
Teorema Kutta-Joukowski
• A força de sustentação L por unidade de largura
b do cilindro é:
1
L
2
L  U 0 ab  C L   U 0
2
b
• A força de sustentação num corpo cilíndrico genérico
para um escoamento 2D também é expressa pelo produto
L/b = U .
• Esta generalização é feita pelo teorema de KuttaJoukowski: ‘a sustentação de um corpo cilíndrico de
seção transversal qualquer é igual ao produto da
densidade, velocidade livre e circulação’ (sem circulação
não há sustentação!)
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Escoamento Irrotacional Potencial e
Escoamento Real
 No escoamento Irrotacional o perfil não apresenta
sustentação, é necessário introduzir uma circulação
(vorticidade) para que o escoamento apresente o
casamento no bordo de fuga!
 No escoamento real isto ocorre naturalmente devido a
existência da viscosidade, o fluido da parte de baixo da
asa não consegue fazer a curva

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FIM
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Introdução ao Escoamento Viscoso Potencial
(Viscous Potential Flow, D.D. Joseph)
apresentada no Apêndice.
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Equação Euler x Potencial
 A aproximação Euler é válida quando Re >>1.
Neste contexto as forças viscosas são muito
menores que as forças inerciais. Portanto é
frequente a associação de Euler com:
i. Ausência de viscosidade no escoamento.
ii. Somente forças normais podem causar movimento,
no caso a pressão.
 Euler reduz para esc. potencial se  = 0, mas não
se pode afirmar que a tensão de origem viscosa
seja desprezível a menos que Re >>1.
 O escoamento potencial requer  = 0. Neste
contexto o DivT=0 mas não necessariamente μ=0.
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Escoamento incompressível, fluido
Newtoniano com  constante
 Se , V = f e 2f=0 então o escoamento potencial é
uma solução de N-S onde a pressão é determinada
pela equação de Bernoulli:
2

f


 gz  p  C
t
2
 A solução não depende da viscosidade do fluido! O
divergente das tensões é nulo:  2V =  ( 2f ) 0 .
Aleternativamente:




  2 S    V  VT    2V     V       0


 0 incompressivel 

 Note que o divergente do tensor desvio das tensões é
nulo mas a viscosidade nem T são são nulos!
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Escoamento incompressível, fluido
Newtoniano com  constante
 Por outro lado, se o divergente das tensões é nulo,
 2V =0 , o valor da tensão não é:
T
T



T  2S   V  V      f     f     0


ou
 2f
Ti, j  
0
x i x j
 Note que a resultante da tensão viscosa irrotacional
não participa da eq. N-S.
 O escoamento irrotacional é determinado por: 2f=0 e
a pressão vem de Bernoulli substituindo V = f .
 Veja por exemplo LE#5, ex#2 (difusor radial) onde a
tensão Tr,r existia mas sua taxa é nula, esc.
Irrotacional!
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Escoamento incompressível, fluido
Newtoniano com  constante
 Os efeitos da tensão viscosa irrotacional estão
balanceados internamente ao domínio.
 Entretanto na fronteira (interface gás-líquido) eles estão
desbalanceados e devem ser corrigidos.
 Pontos internos ao domínio, onde a tensão pode ser
superior a tensão de ruptura ou colapso de cavidades
(cavitação), também devem ser considerados
 A teoria de escoamento viscoso irrotacional (Viscous
Potential Flow) foi resgatada por DD Joseph, Potential
flow of viscous fluids: historical notes, Int. J. Multiphase
Flow, 32 (2006) 285-310
 http://www.aem.umn.edu/people/faculty/joseph/ViscousPotentialFlow/
 Historical notes on viscous potential flow
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Escoamento incompressível, fluido
Newtoniano com  constante
 Porém esta tensão pode (e deve) participar do balanço
da energia mecânica como sendo o trabalho das
forças viscosas e do termo de dissipação na interface
gás-líquido:
 V2 P

  V 
  gz     V  T'  
 2 


onde
 V  T'    V T
i
j
j
´
j,i

 2f
, Ti, j  2
x ix j
  Vi Vj 
 2f
e   2(S : S)  

  

2  x j x i 
x ix j
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Slides Extras
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Escoamento num Cilindro com Circulação
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Escoamento num Cilindro com Circulação
 A circulação é introduzida superpondo-se ao campo
um escoamento de vórtice livre (sentido horário):
sen  K
y  y U  y D  y V  U 0  r  sen   

ln r
r
2
• O campo de velocidades:
  a 2 
y


vr 
 cos U 0  2   v r  U 0  cos1    
 r 
r
r 



2

y
 K
K

a
v  
 sen U 0  2  
 v    U 0  sen1     
  r   2r
r
r  2r



• vr é nulo quando r = (/U0)1/2 isto define o raio ‘a’ do
cilindro. A intensidade do dipolo em termos de a:  = a2U0
• v é nulo p/ r = a quando sen = -K/(4  aU0) .
• vr e v iguais a zero definem os pontos de estagnação
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Escoamento num Cilindro com Circulação
• as componentes de velocidade e a velocidade
resultante no cilindro de raio ‘a’ :
vr  0 & v  2  sen U0  K 2a


2
2
2
V  vr  v  2  U0  sen  K 2a
2
• a circulação  no cilindro (r = a)
2
2
K
   v  a  d     2  sen()ad  
ad
a
0
0 2a
  K
• o valor da circulação  é a constante K do vórtice livre!
K>0 garante que v do vórtice livre está no sentido horário,
portanto <0 refere-se a uma circulação no sentido horário
(veja próximo slide).
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O número de pontos de estagnação no
cilindro pode ser: 2, 1 ou nenhum, depende
do valor da circulação
Flow around a circular cylinder with circulation.
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Escoamento num Cilindro com Circulação
• as componentes de velocidade e a velocidade
resultante no cilindro de raio ‘a’ :
vr  0 & v  2  sen U0  K 2a


2
2
2
V  vr  v  2  U0  sen  K 2a
2
• a distribuição de pressão no cilindro (r = a)
p  p0   1   V 
U 
1 2U02
 0
2
 Cp  1  2  sen  K U 0 2a 2
• separando o termo sem circulação dos outros temos:
4K  sen
Cp  1  4  sen  
 K U0 2a 2

 

U0 2a 
2
C p0 
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Distribuição de Pressão no Cilindro nos planos
horizontal e vertical.
(azul) cilindro sem circulação (vermelho) cilindro com circulação
10
+90
8
Cp
6
4
-90
2
0
-90
-60
-30
0
graus
30
60
90
90
graus
120
150
180
10
8
Cp
6
4
0
+180
2
 A figura superior indica
que a Cp não é simétrico
na direção vertical e
portanto deve aparecer
uma força de
sustentação no cilindro
com circulação
 A figura inferior mostra
que Cp é simétrico em
relação a direção x,
consequentemente não
há arrasto nesta direção.
0
0
30
60
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Força de Sustentação
• A força de sustentação L é sempre normal a
corrente livre; ela é determinada a partir da
distribuição de pressão no cilindro de raio a
 2
L  2  p  p 0   sen  a  b  d  C L 
 2
L
1
2    U 02  ab

q
 2
 2  Cp  sen  d
 2
• note que o termo (1-4sen2()) não produz sustentação, é
simétrico e vem do caso do cilindro sem circulação,
  2  4K  sen
2
C L  2  
 K U 0 2a    sen  d

  2  U 0 2a 
• a contribuição do 2o termo é nula (sen é anti-simétrico), e
o 1o termo: ∫sen2d/2sen(2)]/4, logo CL é:
2K
2
CL  

U0  a U0  a
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Força de Sustentação &
Teorema Kutta-Joukowsi
• A força de sustentação L por unidade de largura
b do cilindro é:
1
L
2
L  U 0 ab  C L   U 0
2
b
• a força de sustentação num corpo cilíndrico genérico
para um escoamento 2D também é expressa pelo produto
L/b = U .
• Esta generalização é feita pelo teorema de KuttaJoukowsi: ‘a sustentação de um corpo cilíndrico de seção
transversal qualquer é igual ao produto da densidade,
velocidade livre e circulação’ (sem circulação não há
sustentação!)
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Característica do Escoamento Euler (Potencial)
 Somente forças normais podem agir no
escoamento.
 Por forças normais entende-se tensões
normais (pressão).
 Note que sendo os termos viscosos muito
pequenos, o deslocamento tangencial de uma
superfície ao fluido não resultará em
deslocamento do fluido no domínio de Euler.
 Isto é, somente deslocamentos de fronteiras
normais ao fluido geram escoamentos!
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Velocidade imposta pelo escoamento uniforme
 Para um referencial estacionário, o escoamento
uniforme irá superpor ao campo de velocidades do
cilindro uma velocidade que irá deslocar todo seu
campo no espaço em função do tempo,
Y
U0dt
r
d
dt
dt

dr
dt
dt
dr
  U 0 cos 
dt
d
r
 U 0 sin 
dt
r

X
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 O potencial do cilindro com velocidade constante
y
y
+
x
U0

x
U 0 a 2 cos 
f
 U 0 r cos    U 0 r cos 



r 



f1
ou
f2
U 0 a 2 cos 
f
 double t(fonte sorve douro)
r
Para um cilindro que se desloca no meio com
velocidade constante o seu potencial é dado pelo
potencial do Dipolo (ou Doublet)
U 0  a 2 cos  
f  x, y  
r
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