Matemática e suas
Tecnologias - Matemática
Ensino Médio, 1º Ano
Função exponencial e sua relação
com a Progressão Geométrica
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Objetivos
• Entender a definição de função exponencial;
• Compreender a definição de progressão geométrica
(PG);
• Identificar a relação existente entre a função
exponencial e a progressão geométrica, e
• Utilizar conhecimentos algébricos/geométricos como
recursos para construção de argumentação.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Definição de uma função exponencial
As bactérias são seres vivos que possuem a
capacidade de se duplicar. Nas colônias de
bactérias, quando o número de componentes
dobra, a nova colônia mantém as mesmas
características da anterior, duplicando em número
no mesmo período de tempo que o anterior.
Sabendo que determinada colônia, iniciada
por uma única bactéria, dobra seu número a cada
10 minutos, quantas bactérias existirão após 1 hora
e 20 minutos?
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Após um período de 10 minutos, teremos 2 (2¹)
bactérias. Após dois períodos de 10 minutos, ou seja,
20 minutos, teremos 4 (2²) bactérias. Após 1 hora e 20
minutos, ou seja, 8 períodos de 10 minutos, teremos
256 (28) bactérias.
Da mesma forma, após x períodos de 10
minutos, o número n de bactérias será dado por n = 2x.
Esse é um exemplo de função com variável no
expoente.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Uma função f:ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial
quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1,
tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ.
Quando a > 1, f é crescente. Quando 0 < a < 1, f é
decrescente.
Exemplos:
g é decrescente
h é decrescente
i é crescente
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Definição de uma progressão geométrica
Segundo dados do Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), a população brasileira no
ano de 2004 era de, aproximadamente, 180 milhões de
pessoas.
Considerando um crescimento populacional de
2% ao ano, qual foi a estimativa da população, feita
naquele ano, para 2008?
Para calcular esse valor, partimos do número de
brasileiros em 2004.
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Ano
Número de habitantes
2004
180.000.000
2005
180.000.000 ∙ 1,02 = 183.600.000
2006
183.600.000 ∙ 1,02 = 187.272.000
2007
187.272.000 ∙ 1,02 = 191.017.440
2008
191.017.440 ∙ 1,02 = 194.837.788
Observe que, com exceção de 2004, a estimativa
do número de brasileiros de um ano, foi obtida
multiplicando-se o número de brasileiros no ano
anterior pela constante 1,02. Em 2004, estimava-se que
o país teria 194.837.788 brasileiros em 2008
A sequência (180.000.000; 183.600.000;
187.272.000; 191.017.440; 194.837.788) é um exemplo
de progressão geométrica.
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
obtido multiplicando-se o anterior por uma constante
q chamada razão da PG.
•Uma PG é constante quando q = 1 ou quando a1 = 0 e
q é um valor constante
•Uma PG é estacionária quando a1 ≠ 0 e q = 0
•Uma PG é oscilante quando a1 ≠ 0 e q < 0
•Uma PG é crescente quando a1 > 0 e q > 1 ou quando
a1 < 0 e 0 < q < 1
•Uma PG é decrescente quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou
quando a1 < 0 e q > 1
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Dada uma PG (a1, a2, a3, a4, ..., an, ...) de razão q,
podemos escrever qualquer termo em função do primeiro. Para
isso, basta considerar a definição de PG:
a2 = a1 ∙ q
a3 = a1 ∙ q²
a4 = a1 ∙ q³
Dessa maneira, encontramos o termo geral, que ocupa a
enésima posição na PG:
an = a1 ∙ qn - 1, com n ∈ ℕ*
Observe que essa fórmula é a lei de formação de uma
função, e que n é o número de termos da PG até o termo an.
Observação: quando em uma PG, o primeiro termo é
representado por a0 , o termo geral é dado por an = a0 ∙ qn, com
n ∈ ℕ.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Comparando as definições
Uma função f:ℝ→ℝ*+ chama-se função exponencial
quando existe um número real a, com a > 0 e a ≠ 1,
tal que f(x) = ax, para todo x ∈ ℝ.
Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência
numérica em que cada termo, a partir do segundo, é
obtido multiplicando-se o anterior por uma
constante q chamada razão da PG. Conforme termo
geral: an = a0 ∙ qn, com n ∈ ℕ. (com o primeiro termo
sendo a0)
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
As funções exponenciais do tipo f(x) = b ∙ ax
assemelham-se a uma progressão geométrica. Note
que:
f(x) = b ∙ ax
e
an = a0 ∙ qn , onde
f(x) = an
b = a0
a= q
x=n
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Entretanto, deve-se atentar para o domínio das
relações com que trabalhamos.
• Na função exponencial, o termo geral vale para todo
x∈ℝ
• Na progressão geométrica, o termo geral vale para
todo n ∈ ℕ, uma vez que estamos considerando uma
PG cujo primeiro termo é a0.
Ou seja, quando o problema apresentado
envolver o domínio ℕ, pode-se utilizar qualquer uma
das relações. Quando a situação envolver o domínio
ℝ , não se pode utilizar a progressão geométrica.
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Comparando os gráficos
O valor de um automóvel daqui a t anos é
dados pela lei V = 20.000 ∙ (0,9)t (em dólares).
Calcule o valor desse automóvel daqui a 4 anos.
Resolução:
Aplicando-se o valor dado t = 4 na fórmula,
obtemos:
V = 20.000 ∙ (0,9)4
V = 20.000 ∙ 0,6561
V = 13.122
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Montando-se o gráfico dessa função:
y
20.000
18.000
16.200
14.580
13.122
1
2
3
4
x
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Agora, digamos que o valor inicial do automóvel fosse
30.000 dólares. Entretanto, vamos analisar a situação
usando um método diferente, a progressão geométrica.
Tempo (anos)
0
1
2
3
Valor (US$)
30.000
27.000
24300
21870
O valor do automóvel, em função do tempo em
anos após sua compra, forma uma PG decrescente
(30.000, 27.000, 24.300, 21870, ...), em que a0 =
30.0000 e q = 0,9.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Como o termo geral de uma PG é an = a0 ∙ qn, com n
∈ ℕ, na PG temos: a4 = 30.000 ∙ (0,9)4 → a4 = 19.683.
Considerando a fórmula an = a0 ∙ qn de uma PG cujo
primeiro termo é a0 e cuja razão é q, percebemos que uma
PG se assemelha a uma função exponencial f(x) = a0 ∙ qx,
com q ≠ 1, só que com uma restrição do domínio ao
conjunto dos números naturais.
Dessa maneira, podemos construir o gráfico de uma
PG.
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
y
30.000
27.000
24.300
21.870
19.683
x
1
2
3
4
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Comparando os gráficos feitos, fica evidente que ambos podem ser
obtidos tanto pela função exponencial quanto pela progressão
aritmética.
y
20.000
18.000
16.200
14.580
13.122
1
2
3
4
x
y
30.000
27.000
24.300
21.870
19.683
1
2
3
4
x
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Sugestão de atividade
ATIVIDADE: apresentação de uma situação-problema para ser resolvida tanto
por PG como por função exponencial.
OBJETIVO: validar o que foi apresentado ao longo da aula.
MATERIAL NECESSÁRIO: malha quadriculada, régua, lápis grafite e
borracha.
PROCEDIMENTOS: através de uma situação-problema (propomos uma no
slide seguinte), os alunos da turma serão divididos em dois grupos. Um
grupo apresentará a solução do problema por PG e o outro grupo utilizará a
função exponencial. No final, serão comparados e analisados os resultados
encontrados.
Atenção: explorar os resultados dos alunos e ficar atento para as divergências
no tocante à escala utilizada na construção do gráficos.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Analise a situação
Uma obra de arte foi comprada por um investidor, por
R$ 8.000,00. O investidor espera uma valorização de
10% ao ano.
a) Determine a lei de formação da função (ou o
termo geral da PG).
b) Seis anos após a compra, qual será o valor da
obra?
c) Em quanto tempo a obra dobrará de valor?
(arredonde para o inteiro mais próximo).
d) Construa os gráficos com os valores obtidos.
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Resolução:
Como há duas maneiras de se resolver a situaçãoproblema, respondemos todos os itens de pergunta
comparando os dois métodos de resolução, como o
quadro abaixo demonstra:
a)
Função Exponencial
V(t) = 8000 ∙ (1,1)t
PG
an = a0 ∙ (1,1)n
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
b)
Função Exponencial
Vamos tirar os dados da
questão:
•O tempo t, em anos, é de 6
anos. Portanto, t = 6.
PG
Vamos tirar os dados da
questão:
•O valor inicial da obra é R$
8000,00. Então a0 = 8000
•O tempo n, em anos, é 6
anos. Portanto n = 6.
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Função Exponencial
Calculando:
V(t) = 8000 ∙ (1,1)t
V(6) = 8000 ∙ (1,1)6
V(6) ≈ 8000 ∙ 1,771
V(6) ≈ 14.168
Pode-se utilizar o logaritmo
para responder a questão.
Mas, também, é possível
encontrar a resposta por
meio de aproximações.
PG
Calculando:
an = a0 ∙ (1,1)n
a6 = 8000 ∙ (1,1)6
a6 ≈ 8000 ∙ 1,771
a6 ≈ 14.168
Pode-se utilizar o logaritmo
para responder a questão.
Mas, também, é possível
encontrar a resposta por
meio de aproximações.
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
c)
Função Exponencial
Vamos tirar os dados da
questão:
•Se o valor deve dobrar
então V(t) = 16000.
Calculando:
V(t) = 8000 ∙ (1,1)t
16000 = 8000 ∙ (1,1)t
(1,1)t = 16000 : 8000
(1,1)t = 2
t≈7
PG
Vamos tirar os dados da
questão:
•Se o valor deve dobrar
então an = 16000.
Calculando:
an = a0 ∙ (1,1)n
16000 = 8000 ∙ (1,1)t
(1,1)t = 16000 : 8000
(1,1)t = 2
t≈7
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
d)
Função Exponencial
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
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Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
PG
16000
14000
12000
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
MATEMÁTICA, 1º Ano do Ensino Médio
Função exponencial e sua relação com a
Progressão Geométrica
Referências Bibliográficas
• BARROSO, Juliane Matsubara. Matemática :
construção e significados . Vol. 1. 1. ed. São
Paulo Moderna: 2008
• RIBEIRO, Jackson. Matemática: ciência,
linguagem e tecnologia, 1 ensino médio. 1.
ed. São Paulo Scipione: 2010
• GIOVANNI, José Ruy & BONJORNO, José
Roberto. Matemática completa. 2. ed. renov.
FTD: 2005