I ENID
PIBID UEMA: I ENCONTRO DE INICIAÇÃO À DOCÊNCIA
Planejamento Experimental
“Um Curso Introdutório!”
Prof.Dr. Rubens Soeiro Gonçalves / DMM / IFMA
[email protected]
Objetivo do Curso Introdutório :
• Apresentar uma “ferramenta poderosa” - pesquisa;
• Aplicar o planejamento a exemplos práticos;
• Motivar os discentes para o estudo desta metodologia.
Metodologia do Curso:
• Aplicação do planejamento à exemplos práticos, estudando a
fundamentação e aplicando-a utilizando o Matlab; STATISTICA!
Planejamento Experimental
Um dos problemas mais comuns que um pesquisador pode
enfrentar é a determinação de influência de uma ou mais
variáveis sobre uma outra variável de interesse.
Planejamento Experimental
• O
planejamento
experimental,
também
denominado
delineamento
experimental,
representa um conjunto de ensaios estabelecido
com critérios científicos e estatísticos, com o
objetivo de determinar a influência de diversas
variáveis nos resultados de um dado sistema ou
processo (Button, 2005). Com isso, objetiva a
determinação do número ideal de experimentos
que leve à obtenção de resultados com um dado
grau de confiabilidade.
Outros objetivos:
• determinar quais variáveis são mais influentes nos
resultados;
• atribuir valores às variáveis influentes de modo a otimizar
os resultados;
• Determinar pontos críticos do processo;
• atribuir valores às variáveis influentes de modo a
minimizar a variabilidade dos resultados ;
• atribuir valores às variáveis influentes de modo a
minimizar a influência de variáveis incontroláveis ;
A utilização das técnicas estatísticas de planejamento
experimental possibilita:
• a redução do número de ensaios sem prejuízo da qualidade da
informação;
• o estudo simultâneo de diversas variáveis, separando seus efeitos ;
• a determinação da confiabilidade dos resultados ;
• a realização da pesquisa em etapas, num processo iterativo de
acréscimo de novos ensaios;
• a seleção das variáveis que influem num processo com número
reduzido de ensaios;
• a representação do processo estudado através de expressões
matemáticas ;
• a elaboração de conclusões a partir de resultados qualitativos .
“Ferramentas”:
• Conceitos Básicos de Estatística;
• Distribuições Características de Amostragens;
Distribuição Normal
• Estimadores ;
•
•
•
•
•
Intervalo de Confiança;
Testes de Hipóteses ;
Regressão linear multivariável;
ANOVA ;
Planejamento Fatorial!
Distribuição Chi-quadrado χ2
Distribuição t de Student
Distribuição F de Snedcor
Conceitos Básicos:
Ao realizar-se uma série de ensaios sob condições preestabelecidas, normalmente observa-se
uma variação de resultados de ensaio para ensaio. Essa variação denomina-se erro
experimental.
A existência deste erro caracteriza a variável de resposta como sendo uma variável aleatória
(V.A.), que pode ser discreta se apresentar um número finito de valores possíveis, ou contínua,
se estiver dentro de um intervalo de valores.
A probabilidade de uma variável aleatória x é dada pela sua distribuição de probabilidade.
Caso a variável seja discreta, essa distribuição é uma função probabilidade p(x), caso seja
contínua, passa a ser denominada função densidade de probabilidade f(x) (f.d.p).
No caso do planejamento experimental, os resultados obtidos referem-se a uma amostragem,
que se espera possam reproduzir o comportamento da população que representam.
Os métodos estatísticos só podem ser utilizados se as amostras forem escolhidas
aleatoriamente, ou seja, com a mesma probabilidade de serem retiradas da população que
outras amostras.
Distribuições
distribuição normal
Distribuições t de student com 5 e 30 graus de
liberdade e distribuição normal padronizada.
Distribuições Qui-Quadrado com 1, 5 e
10 graus de liberdade
Distribuições t de student com 5 e 30 gr
Distribuição F, com 10 graus de liberdade para o
numerador e 20 para o denominador aus de
liberdade e distribuição normal padronizada
Estimadores – LINEAR REGRESSION MODELS
Estimadores – LINEAR REGRESSION MODELS
Estimadores – LINEAR REGRESSION MODELS
Parâmetros a Estimar
Qualidade do ajuste:
Suposições válidas - ANOVA : Segundo Box, Hunter, Hunter
1 - A variância do erro experimental é a mesma em todos os tratamentos. A
dispersão não deve depender dos níveis dos fatores, ou seja. As faixas de
dispersão dos resíduos para os dois níveis de cada fator devem ser
aproximadamente iguais;
2 - Os erros experimentais são independentes: ou seja, o gráfico dos resíduos
deve estar distribuídos aleatoriamente em torno do eixo horizontal;
3 - Erro experimental tem distribuição normal,i.e: erro = N(o,σ) : a suposição
de normalidade será satisfeita se os pontos do gráfico: resíduos vs
probabilidade estiverem numa reta;
Falha comum na probabilidade normal são resíduos fora da
reta,
“outlier” estes resíduos iram causar sérias distorções ANOVA. Dentre vários
procedimentos estatísticos para checar “outliers”, veja Barnett and Lewis
(1994), podemos utilizar o resíduo padronizado, i.e, se erro = N(o,σ) então
-3 <= o resíduo_ padronizado <=3
Análise dos Resultados:
• Superfície de Resposta (SR): Consiste em estimar coeficientes da regressão
polinomial para a geração de um modelo empírico; então, é possível aproximar
um modelo empírico a uma relação (inicialmente desconhecida ou conhecida)
entre os fatores e as respostas do processo (Saramago, 2006).
•Gráfico dos resíduos;
•Coeficiente de determinação;
• ANOVA
• etc.....
EXEMPLO_1: Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação
da força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio.
;
Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da
força F, o sistema de peso W se move até a posição de equilíbrio.
•
•
Variáveis de entrada : Força, Ângulo
Variável de saída: Ep
•
Níveis do fatores: Força: 80 (baixo), 100 (alto) e 90 (centro)
Ângulo 5 (baixo), 85 (alto) e 45 (centro)
•
Matriz de planejamento experimental (real e codificada):
Realização dos experimentos. k=2 ; 2^2 = 4 + 1 = 5
Variáveis de Entrada (real)
Saída
Ep(N.m)
Variáveis de entrada
codificada
Força (N)
Ângulo (graus)
Saída
Saída
Ep(N.m)
Ep(N.m)
Força (N)
Ângulo (graus)
80
5
-1
-1
-13,63
80
85
-1
+1
100
5
+1
-1
100
85
+1
+1
713,60
-17,98
663,79
90
45
0
0
Codificação:
N=2*(var-mean(var) / (max(var) - min(var);
133,79
Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema
de peso W se move até a posição de equilíbrio.
Utilizando o Statisfica
Fitted Surface; Variable: Var3
Fitted Surface; Variable: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=16775,7
2**(2-0) design; MS Residual=16775,7
DV: Var3
DV: Var3
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Var2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
600
400
200
0
-1,2
-1,2
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
Var1
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
z=296;52-12;7975*x+352;9925*y+0;
z=296;52-12;7975*x+352;9925*y+0;
Modelo linear - sem Interação
Yr = bo + b1*x1 + b2*x2
Regr. Coefficients; Var.:Var3; R-sqr=,93785; Adj:,75141
(Spreadsheet1) 2**(2-0) design; MS Residual=33101,32 DV:
Var3
1,2
700
500
300
100
-100
Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema
de peso W se move até a posição de equilíbrio.
Utilizando o Statisfica
Observed vs. Predicted Values
2**(2-0) design; MS Residual=16775,7
Predicted vs. Residual Values
DV: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=16775,7
DV: Var3
800
100
700
50
600
500
0
400
-50
300
Predicted Values
Raw Residuals
200
100
0
-100
-150
-100
-200
-100
-200
-200
0
100
200
300
400
Observed Values
500
600
700
800
-100
0
100
200
300
400
Predicted Values
500
600
700
800
Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema
de peso W se move até a posição de equilíbrio.
Utilizando o Statisfica
Yr = bo + b1*x1 + b2*x2 + b3*x1*x2
Fitted Surface; Variable: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=33101,32
Fitted Surface; Variable: Var3
DV: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=33101,32
DV: Var3
1,2
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
Var2
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
600
400
-1,0
200
0 -1,2
-1,2
z=296;52-12;7975*x+352;9925*y-10;6075*x*y+0;
-1,0
-0,8
-0,6
-0,4
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
700
500
300
100
-100
Var1z=296;52-12;7975*x+352;9925*y-10;6075*x*y+0;
Modelo com Interação
Yr = bo + b1*x1 + b2*x2 + b3*x1*x2
Regr. Coefficients; Var.:Var3; R-sqr=,93785; Adj:,75141
(Spreadsheet1) 2**(2-0) design; MS Residual=33101,32 DV:
Var3
Ex-1 : Vamos analisar a Ep do sistema abaixo, em que sob ação da força F, o sistema
de peso W se move até a posição de equilíbrio.
Utilizando o Statisfica
Observed vs. Predicted Values
2**(2-0) design; MS Residual=33101,32
DV: Var3
Observed vs. Residual Values
800
2**(2-0) design; MS Residual=33101,32
700
DV: Var3
100
600
50
500
400
0
300
-50
200
Raw Residuals
Predicted Values
100
0
-100
-200
-100
0
100
200
300
400
Observed Values
500
600
700
800
-100
-150
-200
-100
0
100
200
300
400
Observed Values
500
600
700
800
Resultados e Discussão - Matlab!
Superfície de Resposta (SR): Modelo de Regressão yr1
Gráfico de Contorno: Cada reta associada com um valor de y
1
615.9723
0.8
800
570.2485
524.5248
0.6
478.801
433.0772
0.4
387.3535
400
Nível de B
Variável Resposta
600
200
0
-200
1
0.2
341.6298
295.906
0
250.1823
-0.2
204.4585
-0.4
158.7347
-0.6
67.28725
-0.8
21.5635
113.011
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
Nível de B
-0.5
-1
-1
Nível de A
yr1 = 295,906 - 13,530*x1 + 352,260*x2
r^2 =0,9370920;
r_adjust^2 =0,8741
-24.16025
-1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Nível de A
0.4
0.6
0.8
1
Resultados e Discussão - Matlab!
Residuos em função dos níveis do fator B
100
50
50
0
0
Residuo
Residuo
Residuos em função dos níveis do fator A
100
-50
-100
-100
-150
-200
-1
-50
-150
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
níveis do fator A
0.4
0.6
0.8
1
-200
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
níveis do fator B
0.4
0.6
0.8
1
Resultados e Discussão - Matlab!
Predito vs observado
Residuos
700
100
600
50
500
400
Residuo
Residuo
0
-50
300
200
-100
100
0
-150
-200
-100
-100
1
1.5
2
2.5
3
3.5
ordem de coleta
4
4.5
5
0
100
200
300
400
observado
500
600
700
800
Resultados e Discussão - Matlab!
Gráfico de Contorno: Cada reta associada com um valor de yr2
1
Superfície de Resposta (SR): Modelo de Regressão yr2
609.1472
0.8
563.4235
517.6997
0.6
800
471.976
426.2523
0.4
380.5285
Nível de B
Variável Resposta
600
400
200
0.2
334.8048
289.081
0
243.3573
-0.2
197.6335
-0.4
151.9097
0
106.186
-200
1
-0.6
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
Nível de B
-0.5
-1
-1
60.46225
14.7385
-0.8
-30.98525
-1
-1
-0.8
Nível de A
coef_det_2 = 0.938067711622286
coef_det_2_ajust = 0.752270846489143
yr1 = 295,906 - 13,530*x1 + 352,260*x2 – 11,37*x1*x2
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
Nível de A
0.4
0.6
0.8
1
ANÁLISE DO MODELO:
Melhor modelo ?
• O modelo representa o sistema?
•O modelo satisfaz os requisitos da ANOVA - Suposições válidas ?
- Etc....
•
Superfície de Resposta (SR): Modelo de Regressão yr2
800
Variável Resposta
600
400
200
0
-200
1
0.5
1
0.5
0
0
-0.5
Nível de B
-0.5
-1
-1
Nível de A
O modelo representa o sistema?
Fitted Surface; Variable: Var3
2 factors, 1 Blocks, 9 Runs; MS Residual=559,6605
DV: Var3
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
z=133;70633988415-15;614691206339*x+1;8126809686394*x^2
+338;34729570472*y+197;45676325826*y^2-11;39*x*y+0;
Superfície de Resposta Quadrática
Planejamento 22 em estrela
Gira 45 graus em relação origem
Planejamento 22 em estrela
X1
X1
-1
y
A
B
y
-1
80
5
-13,63
1
-1
100
5
-17,88
-1
1
80
85
713,60
1
1
100
85
663,79
0
0
90
45
133,79
-2^1/2
0
75,86
45
158,79
0
2^1/2
90
101,57
980,14
2^1/2
0
104,14
45
108,80
0
-2^1/2
90
-11,56
65,37
Variáveis codificadas
Variáveis reais
Vamos ajustar ao modelo_2:
yr2 =bo +b1*x1 + b2*x2 + b3*x1^2 +b4*x2^2+ b5*x1*x2
No Statistic – central composite non-factorial
Matlab
Resultados e Discussão:
Superfície de Resposta (SR): Modelo de Regressão yr2
Variável Resposta
1500
1000
500
0
-500
2
1
2
1
0
0
-1
Nível de B
-1
-2
-2
Nível de A
yr2 = 133,79 - 15,60*x1 - 337,84*x2 + 2,042*x1^2 + 196,52*x2^2 - 11,37*x1*x2
coef_det_2 = 0,9983
z=98;516998259962-15;635100878547*x+19;475109234023*x^2
+338;34729570472*y+215;09859823918*y^2-11;39*x*y+0;
Resutados e Discussão: O modelo_3
Superfície de Resposta (SR): Modelo- Níveis dos Fatores Naturais
SR real
15
10
y
5
0
-5
150
100
110
100
50
90
0
Angulo
80
-50
70
yr2 =193,04 - 3,95*A – 0,049*B + 0,02*A^2 + 0,122*B^2 – 0,0284*A*B
coef_det_2 = 0,9983
O modelo_3 representa melhor o sistema!
Ver SR para ver mínimo de Ep!
Força
Análise dos resíduos Modelo_3
1 - A variância do erro experimental é a mesma em todos os tratamentos ?
Residuos em função dos níveis do fator B
25
20
20
15
15
10
10
5
5
Residuo
Residuo
Residuos em função dos níveis do fator A
25
0
0
-5
-5
-10
-10
-15
-15
-20
-20
-25
-1.5
-1
-0.5
0
níveis do fator A
0.5
1
1.5
-25
-1.5
-1
-0.5
0
níveis do fator B
0.5
1
1.5
Análise dos resíduos Modelo_3
2 - Os erros experimentais são independentes ? 3 - Erro experimental tem distribuição normal?
probabilidade normal dos residuos
Residuos
20
90
15
80
probabilidade percentual dos residuos
25
100
10
Residuo
5
0
-5
-10
-15
60
50
40
30
20
10
-20
-25
70
1
2
3
4
5
6
ordem de coleta
7
8
9
0
-25
-20
-15
-10
-5
0
Resíduo
5
10
15
20
25
“VALIDADE ESTATÍSTICA DUM MODELO” ANOVA dos modelo proposto
.
Regressão Múltipla: teste sobre o modelo
E{Y} = 0 + 1X1 + 2X2 + ... + kXk
H0: 1 = 2 = ... = k = 0
2
n
SQE    yi  yˆ i 
i 1
SQR
f 
k
SQE
n  k 1
n
2
SQT    yi  y 
SQR  SQT  SQE
i 1
Sob H0 e considerando as suposições do
modelo, f tem distrib. F com g.l. k (no num.)
e (n-k-1) (no denom.)
Estatística do Teste:
Se a Razão (SQR/SQE) > f
Modelo é válido estatísticamente!
Rejeita Ho
VALIDADE ESTATÍSTICA DOS MODELOS:
Tabela ANOVA para Modelo_1: (p=3; k=2 e n=5). yr1 = 21,383 - 1,353*A + 8,8*B
Fonte de Variação
SQ
Número de graus de
Liberdade
MQ
Regressão
497080
2
248540
Resíduos
33369
5-3 = 2
16684
Total
530450
5-1 = 4
Razão (SQR/SQE)
14,89
F (0,95)
Razão (SQR/SQE) < F
Modelo inválido
estatísticamente!
18,99
Aceita Ho
Tabela ANOVA para Modelo_2: (p=4; k=3 e n=5).
yr1 = 295,906 - 13,530*x1 + 352,260*x2 – 11,37*x1*x2
Fonte de Variação
SQ
Número de graus de
Liberdade
MQ
Regressão
497598
3
165866
Resíduos
32851
5-4 =1
32851
Total
530450
5-1 = 4
5,04
Razão (SQR/SQE)
F (0,95)
Razão (SQR/SQE) < F
Modelo inválido
estatísticamente!
215
Aceita Ho
VALIDADE ESTATÍSTICA DOS MODELOS:
Tabela ANOVA para Modelo_3: (p=6, k =5 e n=9).
yr2 = 133,79 - 15,60*A - 337,84*B + 2,042*A^2 + 196,52*B^2 - 11,37*A*B
Fonte de Variação
SQ
Número de graus de
Liberdade
MQ
Regressão
1101889
5
220377
Resíduos
1831
9-6 = 3
610
Total
1103720
9-1 = 8
Razão (SQR/SQE)
F (0,95)
Razão (SQR/SQE) > F
Modelo válido
estatísticamente!
Rejeita Ho
361,07
9,013
EXERCÍCIO PROPOSTO: Um Planejamento Fatorial 23
yr = bo +b1*x1 +b2*X2 + b3*X3
Matriz de Planejamento
Fatores
(-1)
(1)
(0)
1
Força (N)
80
100
90
2
Ângulo(graus)
5
85
45
3
Peso (N)
300
400
350
3
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
0
Ep
-14,58
-18,93
485,39
435,58
-13,62
-17,98
713,60
663,79
97,18
Experimentos
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
-1
1
-1
1
-1
1
-1
1
0
2
-1
-1
1
1
-1
-1
1
1
0
yr = 258,9 -13,5*X1 + 295,43*X2 + 57,2 *X3
Effect Estimates; Var.:Var5; R-sqr=,92804; Adj:,88486
(Spreadsheet1) 2**(3-0) design; MS Residual=11258,27 DV:
Var5
EXERCÍCIO PROPOSTO: Um Planejamento Fatorial 24
Matriz de Planejamento
1
2
Fatores
Força (N)
Ângulo(graus)
(-1)
80
5
(1)
100
85
(0)
90
45
3
Peso (N)
300
400
350
4
Comprimento
(m)
1
2
3
Experimentos
yr = bo
1
2
3
4
+b1*x156 +b2*X2
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1
+ b3*X3 +
2
3
4
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
b4*X4
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1
1
1
0
0
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
Ep
(Nm)
-5,83
-7,57
194,16
174,23
-5,45
-7,19
285,44
265,52
-17,49
-22,72
582,47
522,70
-16,35
-21,58
856,33
796,55
77,75
yr = bo +b1*x1 +b2*X2 + b3*X3 + b4*X4
yr = 214,76 -10,83 *x1 +236,34*X2 + 45,83*X3 + 111,66*X4
Regr. Coefficients; Var.:Var5; R-sqr=,79267; Adj:,72356
(Spreadsheet7) 2**(4-0) design; MS Residual=24603,25 DV:
Var5
EXEMPLO_2: Vamos analisar o efeito da
concentração e
catalisador no rendimento de uma reação.
Analisar o efeito da concentração de um reagente e a quantidade de catalisador
na conversão de uma reação?
X1 = [A] ; X2 = [cat]
Niveis de [A] = 15 e 25 % ; Niveis de [cat] = 1 porção e 2 porções
yr1 = bo + b1*x1 + b2*x2
Variáveis de entrada codificada
[A])
[cat]
-1
-1
-1
+1
+1
-1
+1
+1
Saída
Rend (%)
z=82;5+12;5*x-7;5*y+2;5*x*y+0;
Analisar o efeito da concentração de um reagente e a quantidade de catalisador
na conversão de uma reação?
X1 = [A] ; X2 = [cat]
Niveis de [A] = 15 e 25 % ; Niveis de [cat] = 1 porção e 2 porções
Variáveis de entrada codificada
Saída
[A])
[cat]
Rend (%)
-1
-1
-1
+1
+1
+1
-1
+1
Variáveis de entrada - real
1 EXP / replica / treplica
28
25
27
26,26
36
32
32
33,33
18
19
23
20
31
30
29
30
codificada: z=27;3975+4;2675*x-2;3975*y+0;
Saída
Real z=17;52+ ;8535*x-4;795*y+0;
[A])
[cat]
Rend (%)
15
1
26,26
25
1
33,33
15
2
20
25
2
30
Regr. Coefficients; Var.:Var3; R-sqr=,9781;
Adj:,93429 (Spreadsheet15) 2**(2-0) design; MS
Residual=2,146225 DV: Var3
Fitted Surface; Variable: Var3
Fitted Surface; Variable: Var3
2**(2-0) design; MS Residual=2,146225
2**(2-0) design; MS Residual=2,146225
DV: Var3
DV: Var3
2,2
2,0
1,8
1,6
Var2
34
32
30
28
26
24
22
20
z=17;52+;8535*x-4;795*y+0;
1,4
1,2
1,0
0,8
14
16
18
20
Var1
22
24
26
34
32
30
28
26
24
22
20
z=17;52+;8535*x-4;795*y+0;
Importância do grafico de contorno:
Podemos ver que o rendimento aumenta com a concentração do reagente e diminui com a porção de catalizador
!
EXEMPLO_3: Vamos analisar o efeito da Temperatura, Pressão
e Concentração no rendimento de uma reação.
Exemplo _3: Regression Analysis of a 23 Factorrial Design
Resultados e Discussão:
Modelo: yr = bo + b1*x1 + b2*x2 + b3*x3
beta2 =
51.000000000000000
5.625000000000000
10.625000000000000
1.125000000000000
razao_f_2 =
34.703858670385870
SQR
f 
k
SQE
n  k 1
Modelo: yr = bo + b1*T + b2*P + b3*C
Fitted Surface; Variable: Var4
3 factors, 1 Blocks, 12 Runs; MS Residual=11,20313
DV: Var4
beta2 =
22.312500000000114
0.150000000000000
5.312499999999996
0.225000000000001
60
50
40
z=51;+5;625*x+10;625*y-1;125
MODELO 1
MOEDLO 2
70
70
65
65
60
60
AJUSTADO
55
50
45
50
40
45
35
40
30
30
35
40
45
50
55
OBSERVADO
60
65
35
70
MOEDLO 3
70
30
30
65
60
55
AJUSTADO
AJUSTADO
55
50
45
40
35
30
30
35
40
45
50
55
OBSERAVDO
60
65
70
35
40
45
50
55
OBSERAVDO
60
65
7
Propor
y = b0 + b1*N1 + b2*N2 + b3*N3 + b4*N1*N2*N3
razao_f_2 =
23.660404624277454
beta2 =
51.000000000000000
5.625000000000000
10.625000000000000
1.125000000000000
0.625000000000000
Propor
y = b0 + b1*N1 + b2*N2 + b3*N3 + b4*N1*N2 + b5*N1*N3 + b6*N2*N3
razao_f_2 =
beta2 =
11.892097264437691
51.000000000000000
5.625000000000000
10.625000000000000
1.125000000000000
-0.875000000000000
0.125000000000000
-0.375000000000000
Residuos
70
65
60
AJUSTADO
55
50
45
40
35
30
30
35
40
45
50
55
OBSERAVDO
60
65
70
Propor
y = b0 + b1*N1 + b2*N2 + b3*N3 + b4*N2*N2
y = b0 + b1*N1 + b2*N2 + b3*N3 + b4*N1*N2 + b5*N2*N3beta2 =
51.000000000000000
5.625000000000000
10.625000000000000
1.125000000000000
-0.875000000000000
-0.375000000000000
MOEDLO 4
70
65
60
AJUSTADO
55
50
45
40
35
30
30
35
40
45
50
55
OBSERAVDO
60
65
70