UNIVERSIDADE DE ENSINO E
APRENDIZAGEM DE VIÇOSA
Introdução a Estatística
Profº. Ms. Antônio Marcos da Silva
Belo Horizonte, 18 de janeiro de 2014
Principais objetivos:
• Entender os princípios básicos da estatística:
conjunto
amostral,
unidade
amostral,
porcentagem, média, desvio padrão, coeficiente
de variação e probabilidade.
• Saber manusear o aplicativo Excel, aprendendo a
programá-lo para realizar as operações básicas da
matemática/estatística para processamento dos
dados estatísticos e apresentação dos resultados.
Preliminares
• POPULAÇÃO: é o conjunto de indivíduos (ou
objetos), que tem pelo menos uma variável
comum observável.
• AMOSTRA: é qualquer sub-conjunto da
população extraída para se realizar estudos
estatísticos.
• A estatística indutiva é a ciência que busca tirar
conclusões probabilísticas sobre a população,
com base em resultados verificados em amostras
retiradas dessa população.
• Dois aspectos nas amostras são fundamentais:
- Qualitativos: Amostras que representem todas as
sub-populações, quando for o caso.
- Quantitativos: Que possua quantidade de dados
suficientes para representar a população.
• Amostragem é o ato de retirar amostra, isto é, a
ação.
• Amostra é a quantidade de dados especificado
para representar a população.
• Amostragem aleatória permite estimar o valor
do erro possível, isto é, dizer “quão próxima”
está à amostra da população, em termos de
representatividade.
• Amostragem não aleatória não apresenta esta
característica.
Elementos Básicos
• Parâmetro: Medida numérica que descreve uma característica de uma
população. São valores fixos, geralmente desconhecidos e usualmente
representados por caracteres gregos. Por exemplo, μ (média
populacional e σ (desvio-padrão populacional).
• Estatística: Medida numérica que descreve uma característica de uma
amostra. Representada por caracteres latinos. Por exemplo, X (média
amostral), p (proporção amostral), s (desvio-padrão amostral).
• Frequência: É o número de vezes que o elemento aparece na amostra,
ou o número de elementos pertencentes a uma classe.
Medidas de Posição (ou de Tendência
Central)
• A moda (ou modas) de um conjunto de
valores é definida como o valor (ou valores) de
máxima frequência.
• Exemplo 1: Se as 5 observações de uma
determinada variável forem 7, 3, 4, 8 e 8, a
moda é o valor 8.
• Exemplo 2: Suponha que o gráfico abaixo
represente a quantidade de filhos dos
empregados casados de uma determinada
empresa (variável Z).
Percebe-se que a moda nesse caso é 2.
• A média simples é a soma das observações
dividida pelo número delas.
Exemplo 1: A média aritmética das observações
3, 4, 7, 8 e 8, é dada por
(3 + 4 + 7 + 8 + 8)/5 = 6.
Exemplo 2: Qual a média de filhos dos
funcionários casados da empresa representados
pelo gráfico anterior?
• A mediana é a realização que ocupa a posição
central da série observada, quando estão
ordenadas em ordem crescente.
Exemplo 1: Se as 5 observações de uma
determinada variável forem 7, 3, 4, 8 e 8, a
mediana é o valor 7.
Observação: Caso o número de observações
seja par, a mediana é dada pela média
aritmética dos valos centrais.
• Exemplo 2: Se as 4 observações de uma
determinada variável forem 7, 4, 3 e 8, a
mediana é a média
(4 + 7)/2 = 5,5.
• Exemplo 2: Suponha que o gráfico abaixo
represente a quantidade de filhos dos
empregados casados de uma determinada
empresa (variável Z).
Encontre a mediana da variável Z.
Exercício: A tabela abaixo mostra a faixa salarial
dos funcionários de uma empresa. Determine,
se possível, a porcentagem, a moda, a média e a
mediana desses dados.
Medidas de Dispersão
• Suponhamos que cinco grupos de alunos
submeteram-se a um teste, obtendo-se as
seguintes notas:
Percebemos então que as médias das notas nas
provas são
• A identificação de cada série por sua média
(no caso, 5) não nos fornece informações
sobre suas diferentes variabilidades.
• O Desvio Padrão mede a dispersão dos dados
em torno de sua média.
Desvio Padrão
• Desvio Padrão: “fuga do valor potencial da
média (x)”.
• O cálculo do desvio padrão utiliza em sua
fórmula o valor estimado da média, obtido em
sua formula restrita (μ).
• Exemplo 1: Voltando ao problema das notas
dos alunos. No grupo A o desvio padrão é de
1, 41.
• Exemplo 2: Tomemos, como exemplo, o
conjunto de valores da variável x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
O desvio padrão é de aproximadamente 9, 49.
• Exercício: Encontre o desvio padrão de Z,
onde a variável Z é a quantidade de filhos dos
empregados casados de uma empresa.
Como saber se o desvio padrão
é grande ou pequeno?
Coeficiente de Variação
• O coeficiente de variação (CV) expressa a
relação percentual do desvio padrão em
relação a média.
• Desvio Padrão: dispersão absoluta.
• coeficiente de variação: dispersão relativa.
• Fórmula:
• O Coeficiente de Variação
interpretado da seguinte forma:
• CV
pode
ser
20 % = trata-se de amostra homogênea.
• CV > 20% = trata-se de amostra heterogênea.
• Exemplo 1: Imagine dois grupos de pessoas.
No primeiro grupo, as pessoas tem idades 3, 1
e 5 anos e no segundo grupo as pessoas tem
idades 55, 57 e 53 anos. Encontre o
coeficiente de variação de cada grupo.
• Exemplo 2: Analise a variabilidade das idades
indicadas na tabela abaixo.
Classe
Idade
Indivíduos
xi
xifi
(xi - x )2.fi
Fi
1
13 17
8
15
120
368,83
8
2
17 21
14
19
266
108,98
22
3
21 25
8
23
184
11,71
30
4
25 29
9
27
243
244,30
39
5
29 33
4
31
124
339,30
43
Noções de Probabilidade
• Espaço amostral ( ou S): Conjunto de
resultados possíveis de um experimento.
• Os elementos de
amostrais.
• Todo subconjunto A de
são chamados de pontos
é dito evento.
• Probabilidade
: Dado um espaço amostral
com n( ) elementos
e um evento A de com n(A) elementos, a
probabilidade de ocorrer o evento A é dada por:
= n(A) / n(
).
• O quadro abaixo ilustra o espaço amostral. Os
círculos os eventos A e B. Os pontos os pontos
amostrais.
Exemplos:
1. Lançamos uma moeda duas vezes. Se C indicar
coroa e K cara, o espaço a amostral pode ser
representado por
S = {(C,C), (C, K), (K, C), (K, K)}.
Seja A = {duas faces iguais}.
A probabilidade de que ocorra o evento A é
P(A) = 2/4 = 1/2.
2. Uma fábrica produz determinado artigo. Da
linha de produção são retirados aleatoriamente
três artigos, e cada um é classificado como bom
(B) ou defeituoso (D). Qual a probabilidade de se
obter dois artigos defeituosos?
3. Dois dados são lançados e observa-se a soma
de suas faces. Qual a probabilidade de que a
soma seja maior do que 4?
Algumas Propriedades
• Dado um espaço amostral S e um evento A de
S, temos que
0 < P(A) < 1.
• Quando A = { } então dizemos que o evento é
impossível, logo, P(A) = 0.
• Quando A = S, então dizemos que o evento é
certo, P(A) = 1.
Exemplo
• Na tabela abaixo temos dados referentes a
alunos matriculados em quatro cursos de uma
universidade em um determinado ano.
Considere os eventos M, A, E, C, H e F, listados na
tabela. Qual a probabilidade de que, escolhendo-se
ao acaso um aluno do conjunto desses quatro
cursos, ele seja do curso de Estatística? E de que ele
seja do sexo masculino? E de que ele seja do curso
de letras (L)?
Vemos que
P(E) = 30/200,
P(H) = 115/200
e
P(L) = 0.
• Observação 1: Dados os eventos A e H, podem
ocorrer dois novos eventos:
 A e H ocorrem simultaneamente, isto é,
ocorre A e ocorre H. Notação:
.
Exemplo: P(
) = 15/200.
Pelo menos um dos eventos ocorre, isto é, ou
ocorre A ou ocorre H. Notação:
..
Como calcular
?
• Considere os eventos A e H. Vemos que:
P(A) = 30/200 e P(H) = 115/200.
Então, se fizéssemos
P(
) = P(A) + P(H) = 145/200.
• Se assim o fizéssemos estaríamos contando duas vezes
os alunos que são homens e estão matriculados no
curso de Matemática aplicada!
Diagrama 1:
• Portanto, temos a seguinte fórmula:
P(
) = P(A) + P(H) – P(
).
• Voltando ao exemplo anterior, obtemos que:
P(
) = 30/200 + 115/200 – 15/200
= 130/200.
• Observação 2: Note que se considerarmos os eventos
A e C, então,
P(
) = P(A) + P(C).
Por quê???
Nesse caso, dizemos que A e C são disjuntos ou
mutuamente exclusivos.
• Observação 2: Suponhamos agora que
estejamos interessados em saber se o
estudante escolhido está matriculados em M,
A, E ou C, não interessando saber se é homem
ou mulher. Então, temos que:
• P(
) = 1, e , P(
Neste caso, dizemos que os conjuntos
AeB=
,
são complementares.
) = 0.
• Notação: Se A é um evento, denotamos seu
complementar por
.
• P(A) + P(
) = 1. (Voltar no diagrama 1)
Exemplos:
Consideremos um experimento aleatório e dois
eventos A e B associados, tais que
Calcule:
Probabilidade condicional e
Independência
• Consideremos novamente a tabela abaixo:
• Dado que um estudante, escolhido ao acaso
esteja matriculado em Estatística, a
probabilidade de que seja mulher é de
P(mulher|Estatística) = 2/3.
Isto é, dado que o estudante seja do
curso de Estatística, qual a probabilidade
de escolhermos ao acaso uma mulher?
Definição:
• Para dois eventos quaisquer A e B, P(B) > 0,
definimos a probabilidade condicional de A
dado B, como sendo:
P(A|B) =
.
Exemplos:
1. Uma urna contém duas bolas brancas (B) e
três vermelhas (V). Suponha que são
sorteadas duas bolas ao acaso, sem
repetição.
Veja o diagrama em árvore para a extração de
duas bolas de uma urna, sem repetição:
• Se A indicar o evento “bola branca na segunda
extração”, então:
2. Imagine agora, que as duas extrações são
feitas da mesma urna do exemplo anterior, mas
a primeira bola é reposta na urna antes da
extração da segunda. (Extrações independentes)
Veja o diagrama em árvore para a extração de duas
bolas de uma urna, com repetição:
Observe que
P(branca na 2ª|branca na 1ª) = 2/5 = P(branca na 2ª)
Nesse caso, dizemos que o evento A (bola
branca na 2ª extração) independe do evento B
(bola branca na 1ª extração). E como vimos
P(A|B) = P(A).
Logo, temos que,
independentes,
quando
A
e
B
(1)
são
Exemplos:
1. Considere o experimento “jogar um dado
honesto e observar o número da face
superior” e o evento A = “observa-se um
número par”. O complementar do evento A é
independente de A?
Não, pois não satisfaz a fórmula (1).
2. Uma região de 100 km² tem um aquífero
subterrâneo com área igual a 2 km² cuja
localização é desconhecida. Para determinar a
posição do aquífero são feitas perfurações ao
acaso.
Considere o evento H: Encontrar água, cuja
probabilidade é
P(H) = 2/100 = 0,02.
Após alguns anos de pesquisa, uma área de 20
km² foi perfurada sem encontrar água e pode
ser descartada
Pergunta-se: Qual é a probabilidade de um furo,
feito ao acaso, atingir o aquífero?
Resolução: Considere o novo evento B: a nova
região de procura.
Temos que P(B) = 80/100.
O evento
: encontrar água em um furo
feito na região B.
Desse modo, a probabilidade de encontrar água
dado que a região é 80 km² é:
P(H|B) = 0,02/0,8 = 0,025.
Principais Referências
• AZEVEDO, Ana Luísa Vieira de; RICCIO, Vicente and
RUEDIGER, Marco Aurélio. A utilização das
estatísticas criminais no planejamento da ação
policial: cultura e contexto organizacional como
elementos centrais à sua compreensão. Revista
Ciência da Informação, Brasília, DF, v. 40 n. 1, p.9-21,
jan./abr., 2011.
• ARBETTA, P. A. Estatística Aplicada às Ciências
Sociais. 3 ed. Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1999.
• BUSSAB, W., MORETTIN, P. A. Estatística Básica. 4.ed.
São Paulo: Atual, 1987.
• LEVINE, D. M., BERENSON, M. L. e STEPHAN, D. –
Estatística: Teoria e Aplicações usando o Excel.
Rio de Janeiro: LTC, 2000
• REVISTA BAIANA DE SAÚDE PÚBLICA, Órgão
Oficial da Secretaria da Saúde do Estado da Bahia;
v.32, n.2, maio/ago. 2008. Acesso on line:
http://inseer.ibict.br/rbsp/index.php/rbsp
• SAMPAIO, I.B.M. Estatística aplicada à
experimentação Animal. 2ed. Fundação de
Ensino e Pesquisa em Medicina Veterinária e
Zootecnia – UFMG. Belo Horizonte. 2002. 265p.