Microeconomia A III
Prof. Edson Domingues
Aula 10
Teoria dos Jogos –
Estratégias Mistas
Referências

VARIAN, H. Microeconomia: princípios básicos. Rio de
Janeiro: Elsevier, 2003. (tradução da sexta edição americana)
– cap 28 e 29.

PINDYCK, R. S., RUBINFELD, D.L. Microeconomia. São
Paulo: Prentice Hall, 2002. (quinta edição). cap. 13

FIANI, R. Teoria dos Jogos: para cursos de administração e
economia. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004.

BERNI, D. A. Teoria dos Jogos: jogos de estratégia, estratégia
decisória, teoria da decisão. Rio de Janeiro: Reichmann e
Affonso Ed., 2004.
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
Existe algum equilíbrio de Nash em
estratégia pura?
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash?
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(U,R) é um equilíbrio de Nash?
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(U,R) é um equilíbrio de Nash? Não.
(D,L) é um equilíbrio de Nash?
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(U,R) é um equilíbrio de Nash? Não.
(D,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(D,R) é um equilíbrio de Nash?
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
(U,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(U,R) é um equilíbrio de Nash? Não.
(D,L) é um equilíbrio de Nash? Não.
(D,R) é um equilíbrio de Nash? Não.
Estratégias Puras
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
Jogo não possui equilíbrio de Nash de
Estratégia pura. Apesar disso, o jogo possui
um equilíbrio de Nash, mas de estratégias
mistas.
Estratégias Mistas



Ao invés de jogar puramente U ou D, Jogador
A seleciona uma distribuição de probabilidade
(pU,1-pU), significando que com probabilidade
pU o Jogador A jogará U e com probabilidade
1-pU jogará D.
Jogador A está misturando suas estratégias
puras U e D.
A distribuição de probabilidade (pU,1-pU) é a
estratégia mista do Jogador A.
Estratégias Mistas



Similarmente, Jogador B seleciona uma
distribuição de probabilidade (pL,1-pL),
significando que com probabilidade pL o
Jogador B jogará L e com probabilidade 1-pL
jogará R.
Jogador B está misturando suas estratégias
puras L e R.
A distribuição de probabilidade (pL,1-pL) é a
estratégia mista do Jogador B.
Estratégias Mistas
B
L
R
U
(1,2)
(0,4)
D
(0,5)
(3,2)
A
Este jogo não possui um equilíbrio de Nash
de estratégia pura mas tem um equilíbrio de
Nash em estratégias mistas. Como se
calcula?
Estratégias Mistas
B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
A
Estratégias Mistas
B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
A
Se B joga L, seu retorno esperado é
2pU  5(1  pU )
Estratégias Mistas
B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
A
Se B joga L, seu retorno esperado é
2pU  5(1  pU ).
Se B joga R, seu retorno esperado é
4pU  2(1  pU ).
Estratégias Mistas
Player B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
Player A
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
Se 2pU  5(1  pU )  4 pU  2(1  p U ) então
B só jogaria L. Mas não existe equilíbrio de
Nash no qual B joga apenas L.
Estratégias Mistas
B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
A
Se 2pU  5(1  pU )  4 pU  2(1  p U ) então
B só jogaria R. Mas não existe equilíbrio de
Nash no qual B joga apenas R.
Estratégias Mistas
B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
A
Então, para que exista eq. de Nash , B
deve estar indiferente entre jogar L ou
R; i.e. 2pU  5(1  pU )  4pU  2(1  p U )
Estratégias Mistas
B
L,pL
R,1-pL
U,pU
(1,2)
(0,4)
D,1-pU
(0,5)
(3,2)
A
Então, para que exista eq. de Nash , B
deve estar indiferenta entre jogar L ou
R; i.e.
2p U  5(1  p U )  4 p U  2(1  p U )
 p U  3 / 5.
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Então, para que exista eq. de Nash , B
deve estar indiferenta entre jogar L ou
R; i.e.
2p U  5(1  p U )  4 p U  2(1  p U )
 p U  3 / 5.
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Se A joga U seu retorno esperado é
1  pL  0  (1  pL )  pL .
Estratégias Mistas
A
3
U,
5
2
D,
5
B
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Se A joga U seu retorno esperado é
1  pL  0  (1  pL )  pL .
Se A joga D seu retorno esperado é
0  pL  3  (1  pL )  3(1  pL ).
Estratégias Mistas
B
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Se p L  3(1  p L ) então A jogaria apenas U.
Mas não existe equilíbrio de
Nash no qual A joga apenas U.
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Se p L  3(1  p L ) então A jogaria apenas D.
Mas não existe equilíbrio de
Nash no qual A joga apenas D.
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Então, para que exista eq. de Nash , A
deve estar indiferente entre jogar U ou
D; i.e.
p L  3(1  p L )
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
L,pL
R,1-pL
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Então, para que exista eq. de Nash , A
deve estar indiferente entre jogar U ou
D; i.e.
p  3(1  p )  p  3 / 4.
L
L
L
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Então, para que exista eq. de Nash , A
deve estar indiferente entre jogar U ou
D; i.e.
p L  3(1  p L )  p L  3 / 4.
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Então o único equilíbrio de Nash é o
jogador A jogando a estratégia mista (3/5, 2/5)
e o jogador B com a estratégia mista (3/4, 1/4).
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
9/20
(0,4)
(0,5)
(3,2)
Os retornos serão (1, 2) com probabilidade
3 3 9
 
5 4 20
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
9/20
(0,4)
3/20
(0,5)
(3,2)
Os retornos serão (0, 4) com probabilidade
3 1 3
 
5 4 20
Estratégias Mistas
Player B
3
U,
5
Player A
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
9/20
(0,5)
6/20
(0,4)
3/20
(3,2)
Os retornos serão (0, 5) com probabilidade
2 3 6
 
5 4 20
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
9/20
(0,5)
6/20
(0,4)
3/20
(3,2)
2/20
Os retornos serão (3, 2) com probabilidade
2 1 2
 
5 4 20
Estratégias Mistas
B
A
3
U,
5
2
D,
5
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
9/20
(0,5)
6/20
(0,4)
3/20
(3,2)
2/20
Estratégias Mistas
B
3
L, 4
1
R, 4
(1,2)
(0,4)
9/20
3/20
A
(0,5)
(3,2)
6/20
2/20
O retorno esperado de eq de Nash para A é
3
U,
5
2
D,
5
9
1
20

3
0
20

6
0
20

2
3
20

3
.
4
Estratégias Mistas
B
3
1
L,
R,
4
4
3 (1,2)
(0,4)
U,
3/20
5 9/20
A
2 (0,5)
(3,2)
D,
2/20
5 6/20
O retorno esperado de eq de Nash para A é
9
3
6
2
3
1
 0
 0
 3
 .
20
20
20
20
4
O retorno esperado de eq de Nash para B é
9
3
6
2
16
2
 4
 5
 2

.
20
20
20
20
5
Quantos equilíbrios de Nash?


Um jogo com número finito de jogadores,
cada um com um número finito de
estratégias puras, possui pelo menos um
equilíbrio de Nash.
Portanto se o jogo não possui equilíbrio de
Nash de estratégia pura, então ele deve ter
pelo menos um equilíbrio de Nash de
estratégia mista.
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Goleiro
E
E
(50,-50)
D
(80,-80)
Chutador
D
(90,-90)
(20,-20)
Competição: retornos opostos em cada combinação.
Retornos representam pontos do Chutador, e respectiva perda para o
Goleiro.
Chance de gol é melhor com escolhas opostas.
Chance de defesa é melhor com escolhas (E,E) ou (D,D).
Chutador é melhor com a esquerda, para escolhas (E,E) ou (D,D).
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Goleiro
E
E
(50,-50)
D
(80,-80)
Chutador
D
(90,-90)
(20,-20)
 Não há equilíbrio de Nash em estratégias puras.
 Há equilíbrio de Nash em estratégias mistas. Qual a razão para os
jogadores adotarem estas estratégias?
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Goleiro
E,pL
D,1-pL
E,pU
(50,-50)
(80,-80)
D,1-pU
(90,-90)
(20,-20)
Chutador
Para que exista eq. de Nash , Goleiro
deve estar indiferente entre E ou D; i.e.
 50p U  90(1  p U )  80p U  20(1  p U )
p U  0,7
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Goleiro
E,pL
D,1-pL
E,pU
(50,-50)
(80,-80)
D,1-pU
(90,-90)
(20,-20)
Chutador
Para que exista eq. de Nash , Chutador
deve estar indiferente entre E ou D; i.e.
50p L  80(1  p L )  90p L  20(1  p L )
p L  0,6
Estratégias Mistas – Jogos de Competição
Goleiro
E (0,6)
D (0,4)
E (0,7)
(50,-50)
(80,-80)
D (0,3)
(90,-90)
(20,-20)
Chutador
O retorno esperado de eq de Nash para Chutador é
0,42  50 0,28  800,18  900,12  20 62.
O retorno esperado de eq de Nash para Goleiro é
0,42  50 0,28  800,18  900,12  20 62.
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta (Varian (2003), Capítulo 29.2*)
Coluna
E (c)
D (1-c)
E (l)
(2, 1)
(0,0)
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Linha
O retorno esperado de Coluna é
l.c  2(1  c).(1  l )
A variação do retorno esperado de Coluna é:
lc  2lc  2c  (3l  2)c
*Tradução da 6a.
edição americana
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
Coluna
E (c)
D (1-c)
E (l)
(2, 1)
(0,0)
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Linha
A variação do retorno esperado
(3l  2)c
é positiva quando 3l>2 e negativa quando 3l<2.
Ganho de Coluna aumentará sempre que l>2/3 e reduzirá quando l<2/3.
Portanto, Coluna aumentará c quando l>2/3, e diminuirá c quando l<2/3.
Quando l=2/3, Coluna está indiferente.
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
Coluna
E (c)
D (1-c)
E (l)
(2, 1)
(0,0)
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Linha
A variação do retorno esperado
(3l  2)c
Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1.
Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0.
Quando l=2/3, Coluna está indiferente.
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
c
1
Melhor resposta
de Coluna
2/3
Coluna aumentará c quando l>2/3, logo faz c=1.
Diminuirá c quando l<2/3, logo faz c=0.
Quando l=2/3, Coluna está indiferente.
1
l
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
Coluna
E (c)
D (1-c)
E (l)
(2, 1)
(0,0)
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Linha
O retorno esperado de Linha é
2.l.c (1  l ).(1  c)  2.l.c  1  l  c  l.c
A variação do retorno esperado de linha é:
2.c.l  l  l.c  (3c  1)l
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
Coluna
E (c)
D (1-c)
E (l)
(2, 1)
(0,0)
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Linha
A variação do retorno esperado
2.c.l  l  l.c  (3c  1)l
é positiva quando 3c>1 e negativa quando 3c<1.
Ganho de linha aumentará sempre que c>1/3 e reduzirá quando c<1/3.
Portanto, linha aumentará l quando c>1/3, e diminuirá l quando c<1/3.
Quando c=1/3, linha está indiferente.
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
Coluna
E (c)
D (1-c)
E (l)
(2, 1)
(0,0)
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Linha
A variação do retorno esperado
2.c.l  l  l.c  (3c  1)l
Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1.
Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0.
Quando c=1/3, linha está indiferente.
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
c
1
Melhor resposta
de Linha
1/3
2/3
Linha aumentará l quando c>1/3, logo faz l=1.
Diminuirá l quando c<1/3. , logo faz l=0.
Quando c=1/3, linha está indiferente.
1
l
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
c
1
Melhor resposta
de Linha
1/3
Melhor resposta
de Coluna
2/3
Quantos equilíbrios de Nash?
1
l
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
c
1
Melhor resposta
de Linha
1/3
Melhor resposta
de Coluna
2/3
1
l
Intersecções são equilíbrios de Nash.
Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras e
um com estratégias mistas.
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
c
N2
1
Melhor resposta
de Linha
1/3
M
Melhor resposta
de Coluna
N1
2/3
1
l
Intersecções são equilíbrios de Nash.
Neste caso: dois equilíbrios de estratégias puras
(N1 e N2) e um com estratégias mistas (M).
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
N2
c
Coluna
E (l)
E (c)
D (1-c)
(2, 1)
(0,0)
1
Melhor resposta
de Linha
M
1/3
Linha
D (1-l)
(0,0)
Melhor resposta
de Coluna
(1,2)
N1
2/3
O retorno esperado de Coluna é
RECOL  l.c  2(1  c).(1  l )
O retorno esperado de Linha é
RE LINHA  2.l.c  1  l  c  l.c
No equilíbrio de estratégia mista (M):
1 2
1
2
2
RE COL  .  2(1  ).(1  ) 
3 3
3
3
3
2 1
2 1 2 1 2
RE LINHA  2. .  1    . 
3 3
3 3 3 3 3
1
l
Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta
N2
c
Coluna
E (c)
E (l)
(2, 1)
1
Melhor resposta
de Linha
D (1-c)
N2
(0,0)
M
1/3
Linha
D (1-l)
(0,0)
(1,2)
Retornos
Esperados
Linha
Coluna
Melhor resposta
de Coluna
N1
N1
2/3
Equilíbrios de Nash
N1
1
2
N2
2
1
M
2/3
2/3
1
l
Estratégias Mistas
B
L(l) R (1-l)
U (c)
(1,2)
(0,4)
D (1-c)
(0,5)
(3,2)
A
Construa as curvas de melhor resposta e encontre
os equilíbrios de Nash.
Estratégias Mistas
B
L(l) R (1-l)
U (c)
(1,2)
(0,4)
D (1-c)
(0,5)
(3,2)
A
O retorno esperado de B é
2l.c  5(l )(1  c)  4(1  l )(c)  2(1  c).(1  l )
 (1  c)(5l  2  2l )  2lc  4lc  4
 (1  c)(3l  2)  2lc  4  3l  2  3lc  2c  2lc  4
 3l  2c  5lc  4
A variação do retorno esperado de Coluna é:
(3  5c)l
Estratégias Mistas
B
L(l) R (1-l)
U (c)
(1,2)
(0,4)
D (1-c)
(0,5)
(3,2)
A
A variação do retorno esperado de B é:
3

se
3

5
c

0

c

 l 1


5
(3  5c)l  
se 3  5c  0  c  3  l  0

5

Estratégias Mistas
B
L(l) R (1-l)
U (c)
(1,2)
(0,4)
D (1-c)
(0,5)
(3,2)
A
O retorno esperado de A é
1l.c  0(l )(1  c)  0(1  l )(c)  3(1  c).(1  l ) 
l.c  3(1  c).(1  l )  lc  3(1  l  c  lc ) 
4lc  3l  3c  3
A variação do retorno esperado de A é:
(4l  3)c
Estratégias Mistas
B
L(l) R (1-l)
U (c)
(1,2)
(0,4)
D (1-c)
(0,5)
(3,2)
A
A variação do retorno esperado de A é:
3

se
4
l

3

0

l

 c 1


4
(4l  3)c  
se 4l  3  0  l  3  c  0

4

Estratégias Mistas – Curvas de melhor
resposta

3
c

 l 1


5
B
c  3  l  0

5

l
1
B

l


A 
l 


(l,c)=(3/4, 3/5)
3/4
A
(l,c)=(0,0)
3/5
1
c
3
 c 1
4
3
c0
4