Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Por que utilizar vetores? Existem grandezas físicas perfeitamente definidas por seu tamanho e sua unidade. Para determinar outras grandezas, entretanto, são necessárias mais informações, como sua direção e sentido. Inúmeras leis da física são expressas em termos de operações vetoriais. deslocamento velocidade força aceleração torque comprimento massa tempo temperatura pressão Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano O que são vetores? Antes de definir vetores, vamos falar sobre SEGMENTOS ORIENTADOS Dois pontos no espaço definem: A) Um segmento de reta, onde estão contidos os extremos A e B, bem como todos os pontos entre A e B; B) Um segmento de reta orientado de origem no ponto A e extremidade no ponto B, indicado por AB e representado por uma flecha de A para B; C) Um segmento de reta orientado de origem no ponto B e extremidade no ponto A, indicado por BA e representado por uma flecha de B para A. A A A B B B Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS Os segmentos orientados são caracterizados e diferenciam-se uns dos outros por apresentarem: Comprimento: é a sua medida em relação a uma unidade de medida pré-fixada. u.m. A B Direção e sentido: dois segmentos orientados tem a mesma direção se forem paralelos. Os sentidos de dois segmentos orientados só podem ser comparados se eles tiverem a mesma direção L N Y C A P B D Direções diferentes Não podemos comparar sentidos X Q Mesma direção Sentidos contrários K M Mesma direção Mesmo sentido Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano SEGMENTOS ORIENTADOS EQUIPOLENTES Dois segmentos orientados são eqüipolentes quando tiverem a mesma medida, mesma direção e mesmo sentido. A C Podemos escrever: AB B CD OBS: não são IGUAIS, pois os pontos formadores de cada segmento são diferentes. D Propriedades: 1) Se AB CD então AC BD D C B A B A C D Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades: 2) Se AB CD e CD EF então AB EF B A C E AB CD CD EF AB EF D F 3) Dado um segmento orientado AB e um ponto C, existe e é único, um ponto D tal que AB CD A AB B C CD D Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano VETORES: Definição Consideremos um conjunto de n segmentos orientados eqüipolentes entre si. B A = outro vetor = 1 vetor A este conjunto denominamos de 1 vetor, o qual será indicado por um representante do conjunto. Portanto, o vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados eqüipolentes a AB. Desta forma, o vetor fica caracterizado como sendo um vetor livre. Nomenclatura: AB ou v ou (B-A) Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano VETORES Vetores iguais Dois vetores AB e CD são iguais se, e somente se, AB CD |AB|=|CD|; AB e CD tem mesma direção; AB e CD tem mesmo sentido. Vetor nulo Os segmentos nulos (extremidade coincide com a origem), por serem eqüipolentes entre si, determinam um único vetor, chamado vetor nulo ou vetor zero, indicado por 0 . Vetores opostos Dado um vetor v = AB , o vetor BA é um vetor oposto a AB, indicado por – AB ou – v . Vetores unitários ou versores É um vetor cujo módulo (ou comprimento) é igual a 1. O versor de um vetor v é indicado por v , e apresenta mesma direção e sentido de v . v v Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano OPERAÇÕES ELEMENTARES COM VETORES 1) Produto de um número real por um vetor Dado um vetor v e um número “a” qualquer, o produto a v resulta num outro vetor p com as seguintes características : A direção do vetor p é a mesma do vetor v ; O módulo (comprimento) do vetor p é o módulo do vetor v vezes o módulo do número real “a” ; O sentido do vetor p depende do sinal do número real “a”: Exemplos: p = 2 v se a > 0, p e v tem mesmo sentido se a < 0, p e v tem sentidos contrários r = -3 w d = - 4,5 e v p w r e u.m. d Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) Soma de vetores Uma das maneiras de se somar dois vetores é através do método gráfico. Cada vetor a ser somado é transladado de maneira que o final de um coincida com o início do próximo. O vetor resultante é obtido unindo-se o início do primeiro com o final do último. s =v+p v s p Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades a) v + p = p + v (propriedade comutativa) v p s s =v+p=p+v Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades a) s = v + p + w = v + w + p = w + p + v (propriedade comutativa) p w v s Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano Propriedades b) s = ( v + p ) + w = v + ( p + w ) (propriedade associativa) p w v s Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) “Subtração” de vetores Não se define a “subtração” para vetores. Ao invés disso, realiza-se a soma do primeiro vetor com o oposto do segundo d = v– p = v+(–p ) –p v p d d Universidade Estadual de Mato Grosso do Sul Curso: Licenciatura em Física - Noturno Disciplina: Mecânica – 1° ano 2) “Subtração” de vetores d = r – u = r+(–u ) r d u u DESVANTAGENS DO MÉTODO GRÁFICO Qual o módulo (intensidade), direção e sentido do vetor soma? É necessário uma construção geométrica, medida de ângulos.... DECOMPOSIÇÃO DE VETORES h A v v A = v+ h h Podemos escrever que: E também que: | v |=| A | sen | v |=| A | cos | h |=| A | cos | h |=| A | sen DECOMPOSIÇÃO DE VETORES A = ax + ay B ax = A cos ay = A sen by A ay bx = B cos by = B sen bx B = bx + by ax S = A +B S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = ( ax + bx ) + ( ay + by ) S = A +B DECOMPOSIÇÃO DE VETORES S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) S = ( ax + bx ) + ( ay + by ) S Sy módulo direção sentido by B bx S = Sx + Sy Sx = ax + bx Sy = ay + by Quem é o vetor S ? A ay ax Sx Módulo: S = ( Sx )2 + ( Sy )2 Direção e Sentido: = tg – 1 (Sy / Sx) = tg – 1 (Sx / Sy) Definindo os versores das direções horizontal e vertical: DECOMPOSIÇÃO DE VETORES j B i by j Vamos determinar: A bx i S = ( ax i + ay j ) + ( bx i + by j ) S = ( ax + bx ) i + (ay + by ) j S = Sx i + Sy j S = A +B S = ( ax + ay ) + ( bx + by ) ay j ax i S S = ( Sx )2 + ( Sy )2 Sx Sy = tg – 1 (Sy / Sx) EXEMPLO 1: Vamos determinar S = A +B | A |= A = 12 cm | B |= B = 6 cm A Lembrando que: ay j j i by j B 60° 30° bx ( -i ) ax = 12 cos(60°) = 6 cm ay = 12 sen(60°) = 10,4 cm ax i bx = 6 cos(30°) = 5,2 cm by = 6 sen(30°) = 3 cm S = A + B = ax i + ay j + bx (-i ) + by j S = ( Sx )2 + ( Sy )2 S = 6 i + 10,4 j + 5,2 ( i ) + 3 j S = 6 i + 10,4 j 5,2 i + 3 j S = (6 5,2) i + (10,4+3) j S = 0,8 i + 13,4 j S Sx Sy S = (0,8)2 + (13,4)2 S = 13,42 cm = tg –1 ( 13,4 / 0,8 )= 86,6° EXEMPLO 2: Um avião percorre 209 Km em linha reta, fazendo um ângulo de 22,5° a nordeste. A que distância ao norte e ao leste o avião viajou desde seu ponto de partida? N | D |= D = 209 Km Dx D = Dx + Dy Dy 22,5° D O Dx é a distância que o avião viajou ao leste Dy é a distância que o avião viajou ao norte L S Dx = 209 sen(22,5°) = 80 Km Dy = 209 cos(22,5°) = 193 Km RESPOSTA: O avião viajou 193 Km ao norte e 80 Km ao leste desde seu ponto de partida. EXEMPLO 3: Um carro viaja para o leste em uma estrada plana por 32 Km. A partir de então ele passa a viajar para o norte, andando 47 Km até parar. Encontre o vetor que indica a localização do carro | Dx |= Dx = 32 Km N | Dy|= Dy = 47 Km D = Dx + Dy D Dy O D é o vetor que indica a localização do carro L Dx S Quem é o vetor D ? módulo direção sentido D = ( Dx )2 + ( Dy )2 tg = ( Dx / Dy )= ( 32 / 54 ) = 0,593 D = (32)2 + (47)2 = tg –1 (0,593)= 30,7° D = 56,9 Km Em três dimensões z az k A k ay j ax i i j x Podemos dizer que: A = ax i + ay j + ay k y