Otimização do Método
Multigrid Geométrico em
Transferência de Calor
Dr. Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO
I Seminário de Multigrid de 2008
LENA - UFPR
Curitiba – 17/04/2008
Roteiro da apresentação
- Introdução;
- Fundamentação teórica;
- Motivação;
- Objetivos;
- Revisão bibliográfica;
- Dados de implementação;
- Problemas abordados:
- unidimensionais lineares e não-linear;
- bidimensional linear (isotrópico);
- bidimensional linear (anisotrópico);
- Conclusões gerais;
- Contribuições;
- Trabalhos futuros.
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Introdução
- Modelos matemáticos na dinâmica dos fluidos
computacional recaem em equações diferenciais que
geralmente não têm soluções analíticas conhecidas;
- Técnicas utilizadas: experimental, teórica e numérica.
- Estas eq. diferenciais são discretizadas resultando em
um conjunto de equações algébricas do tipo: Ax  b
- Problemas práticos; Características da matriz A;
- Erros; Métodos diretos X Métodos iterativos.
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Introdução
Queda do resíduo para o solver GS e 4 tamanhos de malhas
4
Introdução
Fonte: http://www.math.utah.edu/~eagan/multigrid.html
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Fundamentação teórica
H
Engrossamento: r 
h
(engross. Padrão, r = 2)
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Fundamentação teórica
Engrossamento: rx 
Hx
hx
e ry  1
(semi-engrossamento)
hx
Anisotropia geométrica: RA 
hy
rx 
hx H
hx h
Isotropia N = 9x9; RA = 1
Anisotropia N = 5x9; RA = 2
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Fundamentação teórica
Ciclo V: Esquema CS
h
2h
4h
8h
Resolver Au=f e
verificar a convergência
Resolver Au=f com u0 , calcular
o resíduo (r) e restringir
Resolver Ae=r
calcular o resíduo e restringir
Corrige (e) e Resolve Ae=r
Prolonga a correção (e)
Resolver Ae=r
prolonga a correção (e)
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Fundamentação teórica
Esquema FAS
h
2h
4h
8h
Resolver A(u)=f com u0 , restringe
o resíduo (r) e a solução (v)
Resolver Au=f e
verificar a convergência
Resolver A(u)=A(v)+r
restringe o resíduo e a solução
Corrigir (v) e Resolver Au=f
Prolonga a correção
Resolver A(u)=A(v)+r e
prolonga a correção (e=u-v)
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Objetivos
Objetivos gerais:
- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência
em problemas lineares e não-lineares, uni e bidimensionais.
- Utilizar o método multigrid para melhorar a taxa de convergência
em problemas anisotrópicos.
Objetivos específicos:
- Comparar os esquemas CS e FAS para as equações de difusão,
advecção-difusão e Burgers em malhas isotrópicas.
- Comparar algoritmos baseados em engrossamento padrão e semiengrossamento em malhas anisotrópicas.
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Revisão bibliográfica
- Razões de engrossamento:
- Brandt (1977): r = 2, 3 e 3/2;
- Briggs et al. (2000): r ≠ 2 desvantagem;
- Stüben (1999, 2001): r = 2 e 4 em anisotropias.
- CS e FAS:
- Yan e Thiele (1998): Variante do FAS;
- Mesquita e de-Lemos (2004): CS para não-linear.
- Semi-engrossamento:
- Mulder (1989): SE múltiplo;
- Montero et al. (2001): plano EP x plano SE;
- Zhang (2002): SE parcial;
- Larsson et al. (2005): SE condicional para Eq. Poisson.
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Dados de implementação
- Linguagem: FORTRAN/95;
- Multigrid: Geométrico;
- Suavizadores: TDMA, El_Gauss, GS, MSI, ADI;
- Engrossamento: r = 2, 3, 4 e 5;
- RA: 1/1024, 1, 2, 16, 128, 1024 e 8192;
- Restrição: Injeção;
- Prolongação: Interpolação linear (1D) e bilinear (2D);
- Critério de parada:
R(k ) 1
R(0) 1
 ;

- Estimativas inicias e tolerâncias (padrão): v  0 ,   10 7.
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Dados de implementação
- Outras estimativas iniciais:
v  1,...,1 e v  1 / 2,...,1 / 2
- Outras tolerâncias:   10 4 e   10 10
- Quem é
tCPU
?
Quem é ITI ótimo ?
- Quem é Lótimo ?
Quem é Lmáximo ?
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Problemas unidimensionais lineares e não-linear
O problema linear de transferência de calor
unidimensional pode ser modelado pelas equações
diferenciais ordinárias:
Equação de difusão:
 d 2T
 2  f x , 0  x  1
 dx
 T (0)  0, T (1)  1
Equação de advecção-difusão:
 dT d 2T
Pe
 2 , 0  x 1
 dx dx
 T (0)  0, T (1)  1
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Problemas unidimensionais lineares e não-linear
O problema não-linear de escoamento unidimensional
pode ser modelado pela equação diferencial ordinária:
Equação de Burgers:
 du 2 d 2u
Re
 2  S, 0  x  1
 dx dx

u (0)  0, u (1)  1
xRe
Re

 e  1
2 xRe 2e
S  Re e 

2
Re
 e  1



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Escopo
- Itens abordados (influência):
- Número de incógnitas;
- Iterações internas;
- Níveis de malhas;
- Razões de engrossamento;
- Esquemas CS e FAS.
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- Número de elementos (1D):
r
2
3
4
5
N mínimo
2
2
2
2
N máximo
8.388.608
9.565.938
8.388.608
3.906.250
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Problema bidimensional linear (isotrópico)
O problema linear de condução de calor bidimensional
pode ser modelado pela equação diferencial parcial:
Equação de Laplace:

 2T  2T

 2  0, 0  x, y  1
2

x y
T ( x,0)  T (0, y )  T (1, y )  0, T ( x,1)  sen x 
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Escopo
- Itens abordados (influência):
- Número de incógnitas;
- Iterações internas;
- Níveis de malhas;
- Razões de engrossamento;
- Solvers;
- Esquemas CS e FAS.
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- Número de incógnitas (2D, iso):
r
N mínimo
N máximo
SG
3x3 = 9
513x513 = 263169
2
3x3 = 9
2049x2049 = 4198401
3
3x3 = 9
1459x1459 = 2128681
4
3x3 = 9
2049x2049 = 4198401
5
3x3 = 9
1251x1251 = 1565001
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Problema bidimensional anisotrópico: Escopo
- Malhas: isotrópicas e anisotrópicas;
- Várias razões de aspecto para anisotropia;
- Algoritmos para anisotropia:
EP, SE, EP-SE e SE-EP.
- Itens abordados (influência):
- Iterações internas;
- Razão de aspecto;
- Número de incógnitas;
- Algoritmos.
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- Número de incógnitas (2D, aniso):
RA
N mínimo
N máximo
1/1024
4097x5
16385x17
1
129x129
2049x2049
2
65x129
2049x4097
16
17x257
513x8193
128
5x513
129x16385
1024
5x4097
33x32769
8192
5x32769
17x131073
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Conclusões gerais
- O esquema FAS (r = 3) é mais rápido que o CS (r = 2)
para problemas lineares e não linear, 1D e 2D;
- ITI afeta o significativamente o tempo de CPU; e o
esquema utilizado (CS ou FAS) e a dimensão do
problema influenciam no ITI ótimo ;
- L afeta o significativamente o tempo de CPU; e o
esquema utilizado (CS ou FAS) não tem muita
influência no Lótimo ;
- O solver MSI é mais rápido que GS e ADI para os
esquemas CS e FAS;
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Conclusões gerais
- O algoritmo SE-EP (dentre os algoritmos que foram
testados) resulta em menor tempo de CPU para
problemas anisotrópicos com RA  1 ou RA  1 ;
- Grande variação de RA resulta em pequena variação do
. ótimo para o algoritmo SE-EP .
ITI
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Trabalhos atuais e futuros
- Ciclos e Roteiros (Fabiane, Marcio e Marchi);
- Outras Anisotropias Geométricas (Fabiane, Marcio
e Marchi);
- Anisotropia Física (Roberta, Marcio e Marchi);
- Multigrid Algébrico em problemas difusivos e
advectivos (Roberta, Marcio e Marchi).
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Trabalhos atuais e futuros
- Problemas difusivos 1D e 2D com o uso de
Volumes Finitos (Rafael, Marcio e Marchi);
- Anisotropia Geométrica (Partial Semicoarsening Zhang) com razão de engrossamento agressiva
(Marcio e Marchi).
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Otimização do Método
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Transferência de Calor
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