MÉTODOS MULTIGRID
APLICADOS À DINÂMICA DOS
FLUIDOS COMPUTACIONAL
DOUTORANDO:
M.Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO
ORIENTADOR:
Dr. Eng. CARLOS HENRIQUE MARCHI
Equações Governantes
Os fenômenos da Dinâmica dos Fluidos são modelados
por sistemas de Equações Diferenciais.
Exemplos (1D):
u xx  f , 0  x  1

u (0)  0, u (1)  1
Pe.u x  u xx , 0  x  1

 u (0)  0, u (1)  1
Re .u x2  u xx  S , 0  x  1

 u( 0 )  0, u( 1 )  1
Equações Governantes
Exemplos (2D):
u xx  u yy  f , 0  x, y  1


u ( x,0)  u (0, y )  u (1, y )  0, u ( x,1)  senx 


ux  u y  0

1
 2
u

(
uv
)


p x   (u xx  u yy )
 x
y


 v 2  (uv)   1 p   (v  v )
x
xx
yy
 y
 y

Fundamentação teórica
Estes sistemas são discretizados resultando em
um conjunto de equações algébricas do tipo:
Ax  b
- Problemas práticos;
- Características da matriz A;
- Erros: truncamento, iteração, arredondamento;
- Métodos diretos X Métodos iterativos;
- Métodos iterativos básicos X Multigrid.
Métodos Multigrid
A figura abaixo mostra um Ciclo-V com K=5.
Figura: Diagrama Ciclo-V (BRIGGS et al., 2000)
Operação de suavização seguida de operadores
de transferência entre malhas.
Objetivos
Objetivos gerais:
Melhorar a taxa de convergência para
problemas anisotrópicos.
Objetivos específicos:
Apresentar novos operadores baseados em:
- outras razões de engrossamento 1D e 2D;
- semi-engrossamento com engrossamento.
Testes Realizados:
Problemas Lineares e Não-Lineares 1D
- Problema Linear: Equação de Poisson;
- Prob. Linear: Equação de Adveção-difusão;
- Prob. Não-linear: Eq. Burgers;
- Esquemas: CS e FAS;
- Várias razões de engrossamento.
Testes Realizados:
Problemas Lineares e Não-Lineares 1D
- Itens abordados:
- Iterações internas;
- Número de níveis;
- Número de incógnitas;
- Esquemas CS x FAS.
Equação de Advecção-difusão
Equação de Burgers
Testes Atuais: Problema Linear 2D
- Prob. Linear: Equação de Laplace;
- Problemas: isotrópicos e anisotrópicos;
- Para anisotrópico: várias razões de aspecto;
- Algoritmos para Prob. anisotrópico:
EP, EP-SE, SE e SE-EP.
Testes Atuais: Problema Linear 2D
- Itens abordados:
- Iterações internas;
- Número de níveis;
- Número de incógnitas;
- Solvers (GS, MSI e ADI).
Equação de Laplace: problema isotrópico CS
Tempo de CPU x Número de Incógnitas: Singlegrid e Multigrid_CS
5
10
4
Tempo de CPU (s)
10
3
10
MG-GS
MG-MSI
MG-ADI
SG-GS
SG-MSI
SG-ADI
2
10
1
10
0
10
4
10
5
10
Número de Incógnitas
6
10
Equação de Laplace: problema isotrópico FAS
Tempo de CPU x Número de Incógnitas: Singlegrid e Multigrid_FAS
5
10
4
10
Tempo de CPU (s)
3
10
SG-GS
SG-MSI
SG-ADI
MG-GS
MG-MSI
MG-ADI
2
10
1
10
0
10
-1
10
4
10
5
10
Número de Incógnitas
6
10
Equação de Laplace: problema isotrópico CS x FAS
Tempo de CPU x Número de Incógnitas: Multigrid (CS x FAS)
3
10
2
Tempo de CPU (s)
10
MG-CS-GS
MG-CS-MSI
MG-CS-ADI
MG-FAS-GS
MG-FAS-MSI
MG-FAS-ADI
1
10
0
10
5
10
Número de Incógnitas
6
10
Equação de Laplace: problema anisotrópico CS
Tempo de CPU x Número de Incógnitas: diversas RA
3
10
2
Tempo de CPU
10
1
10
RA=1/1024
RA=1
RA=2
RA=16
RA=128
RA=1024
RA=8192
0
10
-1
10
4
10
5
10
Número de incógnitas
6
10
Trabalhos futuros: Equação de Laplace
- Comparar os esquemas CS x FAS para
problemas anisotrópicos;
- Verificar o efeito das diversas razões de
engrossamento para os esquemas CS e FAS
para malhas isotrópicas e anisotrópicas;
- Algoritmo SE-EP com várias razões de
engrossamento com o esquema FAS para
problemas anisotrópicos.
MÉTODOS MULTIGRID PARA
DINÂMICA DOS FLUIDOS
COMPUTACIONAL
DOUTORANDO:
M.Sc. MARCIO AUGUSTO VILLELA PINTO
ORIENTADOR:
Dr. Eng. CARLOS HENRIQUE MARCHI