Calculo e Instrumentos
Financeiros
Parte 1
Pedro Cosme Costa Vieira
Faculdade de Economia da
Universidade do Porto
2014/2015
Actualizado no dia 15 de Setembro de 2014
1
Apresentação
2
Docentes
João Sousa Couto
([email protected])
José Manuel Peres Jorge
([email protected])
Pedro Cosme Costa Vieira
([email protected])
3
Conteúdo programático
4
Objectivos da Disciplina
• 1ª Parte (12 aulas)
– Taxa de juro, capitalização e desconto
– Instrumentos financeiros sem risco: depósitos
e créditos bancários; obrigações
– Transformação de stocks financeiros em
fluxos financeiros (rendas / amortizações)
– os preços correntes e preços constantes
5
Objectivos da Disciplina
• 2ª Parte (10 aulas)
– Risco do negócio. Modelos estatísticos.
– Instrumentos financeiros com risco: seguros,
acções e obrigações com risco de falha
– Carteiras de activos: diversificação e
alavancagem
6
Objectivos da Disciplina
• 3ª Parte (2 aulas)
• Aplicação dos conceitos
Medidas de desempenho de um investimento
• VAL + TIR + Q de tobin
Instrumentos financeiros
•
•
•
•
•
Aluguer (leasing +renting)
Factoring
Opções
Obrigações Contingentes
Swaps
7
Avaliação
8
Avaliação
• Avaliação por Exame (2 épocas)
• Avaliação Distribuída
–
–
–
–
Primeiro teste (1/3) – 24 Outubro, 15h
Segundo teste (1/3) – 28 Novembro, 15h
Terceiro teste (1/3) – 12 de Janeiro, 14h
Para fazer avaliação contínua têm que frequentar
pelo menos 75% das aulas (18).
– O terceiro teste é parte do exame
– No dia do exame, os alunos de avaliação contínua
podem repescar um dos dois primeiros testes.
Contará a melhor nota.
9
Avaliação
• Cálculo da Nota da Avaliação Distribuída:
– Média dos 3 testes com a condição de, no
caso do teste repescado, contar a melhor nota
– Recorda-se que, na avaliação contínua, é
necessário a frequência de 75% das aulas.
10
Material de apoio
11
Material de estudo
• Existem disponíveis em formato digital
– Uma página
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2014
– um texto que segue as aulas
– Um texto sobre o sistema monetário
– Um ficheiro Excel com os exercícios do texto
– As apresentações das aulas em Power Point
– Cadernos de exercícios resolvidos
12
Material de estudo
• Página do ano passado
www.fep.up.pt/docentes/pcosme/CIF_1EC101_2013
– Testes
– Exemplos de trabalhos (este ano não há)
– Notas
13
Primeira Aula
23 Set.
14
Os contratos de débito/crédito
=
contratos de mútuo
15
O contrato de débito/crédito
• Existem três razões principais para
transaccionar créditos/débitos.
– O ciclo de vida das pessoas
– Poder ocorrer um período de “desemprego”
ou de despesas acrescidas (e.g., doença)
– O capital ser produtivo e as pessoas estarem
especializadas em aforradores e investidores
16
O Ciclo de Vida
17
O ciclo de vida
• Uma das mais obvias razões para a
existência de empréstimos é o ciclo de
vida das pessoas.
– As pessoas precisam de consumir sempre
– Existem longos períodos em que não têm
rendimento (quando crianças e “velhos”)
18
O ciclo de vida
19
O ciclo de vida
• As pessoas, quando crianças, não têm
rendimento suficiente para sobreviver,
pedindo recursos emprestados
– Em média, é-se “criança” durante 20 anos
• Quando trabalham, pagam as dívidas (de
criança) e poupam alguns recursos (para
a velhice)
– Em média, é-se activo durante 45 anos
20
O ciclo de vida
• Quando reformados, não geram
rendimento suficiente para sobreviver,
mas têm os recursos que pouparam
– Em média, a reforma dura 20 anos
• Esses recursos vão-se esgotando
21
Risco
de
Redução do rendimento e
Aumento da despesa
22
O desemprego
• O trabalho é a fonte mais importante de
rendimento das famílias.
– 55% do PIB são salários
– São 67% do produto interno liquido
• Existe o risco da pessoa poder ficar
desempregada.
– A probabilidade será de 10%/ano
23
O desemprego
• E, depois, demora alguns meses a
encontrar novo emprego
– Em média, 12 meses
• E o salário é menor que o anterior
– Inicialmente ganha-se menos 15%
• Será necessário poupar recursos para
essa eventualidade.
– Deverá haver uma poupança  12 salários.
24
Cataclismos
• Podem ocorrer imponderáveis
– O indivíduo pode adoecer, ficando sem poder
trabalhar (menos rendimento) e necessitando
de tratamento médico (mais despesa).
– Pode ter um acidente de automóvel,
necessitando de pagar a reparação.
– Pode ter um incêndio em casa.
• É necessário ter uns activos de lado (ou
pedir emprestado na adversidade)
25
O capital é produtivo
26
O capital é produtivo
• O trabalho torna-se mais produtivo se for
auxiliado por capital
– máquinas e ferramentas, solo agrícola, etc.
• Se um indivíduo poupar (aumentando a
quantidade de capital), aumenta o seu
rendimento
– A produtiva por pessoa aumenta
27
O capital é produtivo
• Também existem bens que custam “muito
dinheiro” e duram muito tempo
– Casas, carros, frigoríficos, televisores, etc.
• Estes bens “produzem” utilidade
– As pessoas, sem dinheiro, estão disponíveis
para pedir empréstimos e pagar um pouco
todos os meses.
28
Os stocks degradam-se
29
Os stocks degradam-se
• Não é possível guardar coisas para
quando formos velhos,
– A comida apodrece
– A roupa passa de moda
– Os automóveis ganham ferrugem
• Não é possível ter stock negativo.
– As crianças não podem antecipar o
rendimento futuro com um stock negativo
30
Os stocks degradam-se
• Poupar é principalmente emprestar,
– Os adultos activos emprestam às crianças e
as criança pagam as dividas quando se
tornarem activas
– Os adultos activos fazem uma poupança de
segurança emprestando a outras pessoas
– Os aforradores emprestam aos
empreendedores
• Comprar um frigorífico também é poupar
31
A moeda
32
O empréstimo em dinheiro
• Numa sociedade “atrasada”,
– Armazenam-se bens
– Emprestam-se bens e serviços
• Numa sociedade com moeda, emprestamse somas denominadas em moeda
– A moeda é a unidade de valor mas não é o
recurso poupado.
33
O empréstimo em dinheiro
• Poupar dinheiro não é o mesmo que
poupar recursos escassos
– A moeda não é um recurso escasso
• Para pouparmos dinheiro, primeiro temos
que deixar de consumir recursos (B & S)
• A pessoa a quem emprestamos vai
consumir esses recursos escassos.
34
O empréstimo em dinheiro
• Poupar em termos agregados reduz-se a
– Aumentar os stocks
– Aumentar o capital
• Máquinas, Ferramentas, imóveis, estradas, portos,
electrodomésticos, carros (todo o bem que dura
mais do que um ano).
– Aumentar a escolaridade
• É o capital humano
– Inovação e desenvolvimento tecnológico
35
O empréstimo em dinheiro
• Como as relações entre moeda e crédito
fazem confusão nas pessoas
• Os alunos têm o texto:
• Vieira, PCC (2013), Fundamentos de um
sistema monetário, pp. 1-25, FEP:Porto
36
A taxa de juro
37
A taxa de juro
• Como as pessoas são heterogéneas,
haverá sempre algumas que precisam de
pedir dinheiro emprestado
– As crianças, os desempregados e as vítimas
de acidentes
– Os empreendedores
• Outras que precisam de guardar dinheiro
– Os indivíduos activos e empregados.
38
A taxa de juro
• O mercado de financiamento tem a taxa
de juro como preço e a quantidade de
poupança/crédito como quantidade.
• É a taxa de juro que equilibra o mercado
– Se houver menos pessoas a querer poupar
ou mais pessoas a quererem-se endividar, a
taxa de juro sob para equilibrar as vontades
dos agentes económicos
– A desenvolver na Microeconomia
39
A taxa de juro
10%
Procura de crédito (investimento)
8%
6%
Oferta de crédito (poupança)
4%
2%
0%
0
20
40
60
80
100
40
A taxa de juro
10%
Enfraquecimento da poupança
8%
6%
4%
2%
0%
0
20
40
60
80
100
41
A taxa de juro
• Quando o BCE aumenta a quantidade de
moeda em circulação
• A taxa de juro não diminui porque a
moeda não é um recurso escasso
– não existe mais poupança de recursos
escassos nem menos pedidos de crédito
• A moeda tem efeito no Nível Geral de
Preços (inflação) e não na taxa de juro
42
A taxa de juro
• Quando eu empresto uma quantidade de
dinheiro, não vou receber a mesma
quantidade
– A diferença denomina-se por JURO
• O Juro é a remuneração de o aforrador
adiar o consumo, é o custo do devedor
antecipar o consumo.
43
A taxa de juro
• Por exemplo, eu empresto 5000€ a um
familiar
– O que eu poupo são os recursos que deixei
de consumir para ter esta soma de dinheiro
– O que empresto são esses recursos
• Daqui a 10 anos recebo 7500€.
• É o capital, 5000€, mais 2500€ de juros
(50%).
44
A taxa de juro
• O juro, em tese, tanto poderá ser positivo
como negativo.
• Há razões para justificar ser positivos e
razões para justificar ser negativo
• Historicamente é positivo
45
A taxa de juro
• Hoje faço anos e deram-me 1000€
– Hipótese 1: entregam-mos agora.
– Hipótese 2: entregam-mos daqui a 10 anos.
• Qual das hipóteses será preferível?
46
A taxa de juro
• Quem preferir a hipótese 1 então, exige
uma taxa de juro positiva
– Podia depositá-lo, recebendo juros
– O dinheiro vai desvalorizar
– O doador pode morrer (e a oferta falhar)
47
A taxa de juro
• É historicamente positiva por três razões
– Existe uma remuneração real
• As pessoas preferem o presente ao futuro
• O capital é produtivo: existem empreendedores
• Há concorrência pelo capital escasso
– Há inflação
• Se o capital é denominado em euros, como os
preços aumentam, há necessidade de corrigir a
perda de poder de compra dos euros.
– Há risco de incumprimento
• É uma lotaria
48
A taxa de juro real
49
Juro real
– Quantifica o aumento do poder de compra
– Quando emprestei os 5000€, esse dinheiro
dava para viver durante 200 dias. Quando
receber os 7500€, penso conseguir viver 250
dias.
– Então, o juro real durante os 10 anos é de
“viver 50 dias”, 25%
50
Juro real
– A taxa de juro real tende a ser positiva
porque
– o capital é produtivo.
• e.g., um agricultor se cavar com uma enxada
consegue produzir mais do que se o fizer com
apenas um pau.
– O capital é escasso
• Como o crédito são recursos escassos poupados,
existe concorrência por esses recursos.
51
Juro real
– É preferível consumir hoje.
– As pessoas preferem o Presente ao Futuro
• No Futuro estamos mortos
• No Futuro estamos velhos pelo que não retiramos
tanta utilidade do consumo
– Quem faz o sacrifício de não consumir no
presente precisa ser “remunerado”.
– Quem tem o benefício de consumir o que não
tem (ainda) tem que “pagar”.
52
Juro real
• Inicialmente tenho V0 euros
– Supondo que os preços se mantêm e que
não existe risco, para uma taxa de juro r%
– Terei no fim do período
V1 = V0(1+ r)
Ex., para V0 = 10000€ e r = 10%, terei
V1 = 10000(1+ 10%) = 11000€
53
A Inflação
54
Inflação
• O crédito é denominado em euros
• O valor do dinheiro resulta de podermos
comprar bens e serviços.
– Como existe inflação, a quantidade de bens
que posso comprar com um Euro diminui com
o tempo.
• Para comprar o mesmo, preciso receber mais
dinheiro
• A taxa de juro tem que incluir a inflação
55
Inflação
• Inicialmente tenho V0 euros
• Os preços, em média, aumentam %.
• Para no fim do período poder comprar os
mesmos bens temos esta igualdade:
• V0 / P = V1 / [P x (1+ )]
Então:
V1 = V0(1+ )
56
Inflação
• A taxa de juro, R, tem que incluir a parte
real e a parte nominal (a inflação):
V1 = [V0(1+ r)](1+ )
V1 = V0(1+ r)(1+ )
V1 = V0(1+ R)
com
R = (1+ r)  (1+ ) - 1
57
Inflação
• Por exemplo, quero uma remuneração
real de 7.5% e uma correcção da inflação
que é de 5%. Emprestando 5000€ quero
receber
V1 = [5000(1+ 7.5%)](1+ 5.0%)
=5643.75€
R = (1+ 7.5%)(1+ 5.0%) – 1 = 12.875%
58
Segunda Aula
59
Risco de incumprimento
60
Risco de incumprimento
– O Futuro é incerto.
– Quando eu empresto dinheiro, estou a pensar
receber o dinheiro mais os juros
– Mas posso não receber nenhum deles
• Ou receber apenas parte
– A obrigação pode não ser cumprida
61
Risco de incumprimento
– Vamos supor que eu emprestei V0 euros e
vou receber (penso eu) V1 euros.
– Existindo a probabilidade p de eu não receber
nada, para, em média, ficar equivalente, terei
que contratar uma taxa que corrija este risco
V0 = 0 x p + V1 x (1 - p)
V1 = V0 / (1 - p)
p >= 0  V1 >= V0
62
Risco de incumprimento
• O risco acresce à taxa de juro real e à
correcção da taxa de inflação
V1 = {[V0(1+ r)](1+ )}/(1- p)
• Então, a taxa de juro contratada será
V1 = V0(1+ i)
i = (1+ r)(1+ ) / (1- p) - 1
63
Risco de incumprimento
• Para taxas de juro pequena podemos
aproximar
• (1+ r)  (1+ ) / (1- p) – 1  r +  + p
• Mas é uma aproximação.
64
Exercício
65
Risco de incumprimento
• 1) Eu empresto 1000€
– pretendo uma taxa de juro real de 6%
– a inflação prevista é de 8%
– o risco de incumprimento é de 10%.
• Qual deverá que ser a taxa de juro exigida
neste contracto?
• Qual o capital final?
66
Risco de incumprimento
i = (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%) – 1
= 27.2%
V1 = 1000 (1+ 6%)(1+ 8%) / (1- 10%)
= 1000 (1+ 27.2%)
= 1272€
A taxa de juro é 27.2%
6% + 8% + 10% = 24% é bastante < 27.2%
67
Risco de incumprimento
• O Credit Scoring é uma técnica de
estimação da probabilidade de
incumprimento de cada cliente.
• O Score é um índice que resulta de somar
os efeitos de várias variáveis
• Este tema será desenvolvido em Gestão
da Informação
68
Evolução histórica
69
A taxa de juro
• Poderá a taxa de juro ser negativa?
– Haver deflação
– Haver poucas criancinhas e poucos
empresários, não há a quem emprestar
dinheiro
• i.e., se não houver crescimento económico
– Haver muito risco de os bens e dinheiro que
guardo em casa poderem ser roubado
70
A taxa de juro
• Se eu puder guardar notas sem custo
(não haver risco de roubo),
• a taxa de juro de somas denominadas na
moeda nunca poderá ser negativa
71
A taxa de juro
• Historicamente, os efeitos “negativos” são
menores que os efeitos “positivos”
– Há uma tendência secular de crescimento
económico
• Historicamente, a taxa de juro é positiva
72
A taxa de juro
Tx.Cresc.PIB
7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
0%
11/20 21/30 31/40 41/50 51/60 61/70 71/80 81/90 91/00 00/10
• Evolução da taxa de crescimento do PIB português 1910/2010
(fonte: Freitas, Miguel Lebre, 2004, “Acumulação de capital e crescimento económico em
Portugal: 1910-2000”, UA-WP, 20, Quadro 1)
73
A taxa de juro
14
12
10
8
Alemanha
6
Espanha
4
Portugal
2
0
1993
1998
2003
2008
2013
• Evolução da taxa de juro da divida pública portuguesa, espanhola e
alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Longterm interest rate for convergence purposes...”, percentagem por ano)
74
A taxa de juro
9
8
7
6
5
Alemanha
4
UK
3
2
1
0
1993
1998
2003
2008
2013
• Evolução da taxa de juro da divida pública do Reino Unido e alemã
a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu, “Long-term
interest rate for convergence purposes...”, percentagem por ano)
75
A taxa de juro
12
10
8
6
Espanha
Portugal
4
2
0
1993
1998
2003
2008
2013
• Spead da taxa de juro da divida pública portuguesa e espanhola
face à alemã a 10 anos Jan1993/Jul2014 (dados: Banco Central Europeu,
“Long-term interest rate for convergence purposes...”, pontos percentuais)
76
Unidades do juro
77
A taxa de juro
• Os preços das coisas são €/kg
• O preço do crédito (o juro) é uma
percentagem por unidade de tempo.
• e.g., 0.10€ por cada 1.00€ e por cada ano
– É uma taxa de juro de 10% por ano
78
A taxa de juro
• Como o juro incorpora 3 elementos
– A remuneração do capital (o juro real)
– A inflação
– O risco de não cobrança
• Em termos de taxas temos, num ano
Vfinal = Vinicial x (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
1+ i = (1+ ) x (1 + r) / (1 - p)
79
Exercício
• 2) Eu empresto 1000€, durante 1 ano.
– A inflação (prevista) é de 2% por ano
– O juro real (acordado) é de 1.5% por ano
– O risco de não cobrança é de 3% por ano
• Qual deverá ser a taxa de juro?
• Quanto dinheiro devo acordar receber?
80
Exercício
A taxa de juro deve ser de 6.687%:
1+i = (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)
i = 6.687% por ano
Devo exigir receber (daqui a um ano)
V1 = 1000 x (1+ 0.02) x (1 + 0.015) / (1 – 0.03)
V1 = 1000 x (1+ 6.687% )
= 1066.87€
Os juros serão 66.87€.
81
Exercício
A soma das parcelas daria 6,500%
2%+1.5%+3% = 6.5%
A taxa calculada é 6.687%
Quanto mais pequenas forem as parcelas,
menor será a diferença
82
Ajustamentos da taxa de juro
83
A taxa de juro
• Assumir um juro proporcional à duração
do tempo e à quantidade emprestada tem
problemas
– O risco de grandes somas é mais que
proporcional ao risco das pequenas somas
• Por causa da diversificação do risco
– O risco de longos prazos é mais que
proporcional ao risco dos curtos prazos
• O futuro distante é menos previsível
84
A taxa de juro
• Mesmo assim, usa-se como referência
para o juro uma taxa por unidade de
tempo, normalmente o ano.
– e.g. 4.47%/ano
• Podendo haver ajustamentos ao prazo e
ao valor
85
Taxas de referência
86
EURIBOR
– É a taxa de juro por ano que os bancos sem
risco (first class credit standing) emprestam
euros entre si
• De todos os contractos retiram-se os melhores e
os piores 15%
• Reuters calcula a média dos restantes 70%
– É uma referência nos contratos com taxa de
juro variável (e.g., crédito à habitação).
– É calculados para : 1 sem., 2 sem., 1 m.,
2 m., 3 m., 6 m., 9 m. e 12 m.
87
EURIBOR
EURIBOR a 3 meses entre Jan1994 e Ag2013
8%
7%
6%
5%
4%
3%
2%
1%
0%
1994
1999
2004
2009
2014
88
EURIBOR
EURIBOR dependendo do prazo do contrato
(Escalas: 30-06-2008 esquerda; 30-04-2010 direita)
89
EURIBOR
• Taxa EURIBOR
– Como é uma taxa sem risco, os particulares
acrescem um Spread à sua taxa que é a
previsão que o credor tem do risco de não
cobrança de cada cliente.
– Os depositantes recebem menos que a
EURIBOR – “pagam” os serviços bancários
90
A taxa de juro do BC
• Taxa de desconto do Banco Central
– O BC controla a quantidade de moeda em
circulação,
– i.e., controla a inflação, o nível geral de
preços
– Não tem qualquer efeito real
– Quando é definida, e.g., 4%/ano, o BC aceita
liquidez a 3.5%/ano e cede liquidez a
4.5%/ano – denomina-se janela de desconto 91
A taxa de juro do BC
• Taxa de desconto do Banco Central não é
uma boa medida da taxa de mercado sem
risco
– A cedência de liquidez é de “último recurso”.
– Ao fim de 60 dias, a taxa de juro aumenta 1
ponto percentual (está suspenso)
– Ao fim de 120 dias, aumenta mais 1 pp..
(actualmente este aumento está suspenso)
92
A taxa de juro do BC
93
Terceira Aula
30 Set
94
Capitalização
95
Situação dita normal
• A taxa de juro é referida a uma unidade de
tempo, normalmente um ano.
– Se a duração do contrato for de vários anos
mas os juros forem pagos no final de cada
ano
– Estamos sempre a voltar à situação inicial.
• Esta é a situação dita normal.
96
Situação dita normal
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de
juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos.
Data
Recebo
Capital
• 31/12/2013 -> 35.00€
1000€
• 31/12/2014 -> 35.00€
1000€
• 31/12/2015 -> 35.00€
1000€
• 31/12/2016 -> 35.00€
1000€
• 31/12/2017 ->1035.00€
0€
97
Capitalização
• Se os juros forem pagos apenas no fim do
prazo contratado (de vários anos)
• Cada ano, o capital em divida vai
aumentando
• Esta é a situação capitalizada.
98
Capitalização simples
99
Capitalização simples
• Neste caso, desprezamos os juros dos
juros.
• É como se cada ano recebêssemos os
juros.
100
Capitalização simples
• No final de n anos, receberemos
Jtotal = Vinicial  n  i
Vfinal= Vinicial +Jtotal = Vinicial  (1+ ni)
itotal = n  i
101
Exercício
• Ex.1.4. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos
em que os juros são pagos no fim do
período, capitalização simples.
– Spread de 2 pontos percentuais
• A taxa de juro foi 3.754%/ano; 4.217%/ano
e 4.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
102
Exercício
• R. Os juros serão
J = 10M€(5.754% + 6.217% + 6.765%)
= 1873.60€
O capital final será
V = 10000€ + 1873.60€
=11873.60€.
103
Exercício
C3: =B3*B$1
C6: =SUM(C3:C5)
C7: =C6 + B1
104
Período de tempo fraccionário
Se a duração do empréstimo for menor que
a unidade de tempo (normalmente, o ano),
com capitalizaçã0 simples, divide-se o juro
proporcionalmente ao tempo.
Ex. Emprestei 1000€ durante 25 dias à taxa de
juro de 2%/ano. Com capitalização simples,
quanto vou receber no fim do prazo?
1000 x (1 + 0.02 x 25/365) = 1001.37€
105
Conta Corrente
Numa CC vamos lançando os movimentos
ao longo do tempo capitalizando os
valores.
Uma conta é remunerado à taxa de 2%/ano,
capitalização simples, a creditar em 1Jan
do ano seguinte.
106
Exercício
107
Exercício
E5: =A6-A5
F5:=D5*E5/B$2*B$1
D6:=C6+D5
C15: =SOMA(F5:F14)
108
Capitalização Composta
109
Capitalização Composta
• Neste caso, são contabilizados os juros
dos juros.
110
Capitalização
• Emprestei 1000€ em 1/1/2013 à taxa de
juro de 3.500%/ano pelo prazo de 5 anos.
Ano
Capital Juros
Capital Final
31-12-2013 1000,00
35,00
1035,00
31-12-2014 1035,00
36,23
1071,23
31-12-2015 1071,23
37,49
1108,72
31-12-2016 1108,72
38,81
1147,52
31-12-2017 1147,52
40,16
1187,69
111
Capitalização
•
•
•
•
C2: =B2*3,5%
D2: =B2+C2
B3: =D2
Depois, copio estas formulas ao longo das
colunas e elas vão-se adaptando
112
Capitalização Composta
• Cada ano, os juros acrescem ao capital
Jt+1 = Vt  i
Vt+1 = Vt + Vt  i = Vt (1+ i)
• No ano seguinte, vencem juros.
Vt+2 = Vt+1  (1+ i)
= Vt  (1+ i)  (1+ i)
= Vt  (1+ i)2
113
Capitalização Composta
• A capitalização simples despreza uma
parcela ( i2 = os juros dos juros).
Vt+2 = Vt  (1+ i)2
Vt+2 = Vt  (1+2  i + i2)
Se i for pequeno, i2 é insignificante
114
Capitalização Composta
• Cada ano, os juros acrescem ao capital,
no final de n anos, receberemos
Vfinal = Vinicial (1 + i)n,
A taxa de juro total a receber no final dos
n anos vem dada por:
Vinicial (1 + itotal) = Vinicial (1 + i)n,
itotal = (1 + i)n - 1
115
Exercício
• Ex.1.6. Emprestando 25M€, a 5 anos à
taxa de 5% ao ano, juros a pagar no fim
dos 5 anos com capitalização composta.
i) Qual o capital final a receber
ii) Determine a taxa de juro dos 5 anos e
compare com a capitalização simples.
116
Exercício
• i) O capital final a receber será de
25000 (1 + 5%)5 = 31907.04€
• ii) A taxa de juro do contrato será
(1+5%)5 –1 = 27.628%
com capitalização simples seria menor
= 5x5% = 25%
117
• Ex.1.7. Um empréstimo de 10M€ a 3 anos
em que os juros são pagos no fim do prazo,
capitalização composta.
• A taxa de juro foi 5.754%/ano; 6.217%/ano
e 6.765%/ano, respectivamente.
• Qual a quantia a pagar?
118
• O valor a receber será
V(1+ 0.05754)(1+ 0.06217)(1+0.06765)
=11992.78€
D2: =B2*C2
B3: = E2
E2: = B2+D2
119
Quarta Aula
120
Tempo fraccionado
121
Período de tempo fraccionário
• Na expressão da taxa de juro capitalizada
de forma composta: itotal = (1 + i)n - 1
• O número de anos é inteiro.
• No entanto, podemos extrapolar o conceito
de capitalização a fracções do ano.
122
Exercício
• A taxa anual é a capitalização 12 meses
da taxa mensal
• (1+ i.anual) = (1 + i.mensal)^12
• Ex. Uma taxa de juro mensal de 1%/mês
corresponde a:
• (1+1%)^12 – 1 = 12.683%/ano
123
Período de tempo fraccionário
• Posso passar de uma unidade de tempo
qualquer para outra, por exemplo, ano para
trimestre.
• Ex. Emprestei 1000€ durante 3 meses a
uma taxa anual de 5%/ ano, quanto vou
receber de juros (c. composta):
124
Período de tempo fraccionário
i = (1 + 5%)0.25 – 1 = 1,227%
– 3 meses correspondem a 0.25 anos.
• Vou receber 12,27€ de juros
• Se capitalizasse esta taxa 4 vezes, obtinha
os 5%
(1 + 1.227%)4 – 1 = 5%
125
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.11. Num empréstimo de 100M€ foi
acordado o pagamento mensal de juros à
taxa média do último mês da EURIBOR a 3
meses e o capital no fim do prazo
acordado.
• Supondo um mês em que a taxa de juro foi
de 5.735%/ano, quanto foi pago de juros?
126
O uso da EURIBOR
• A EURIBOR é calculada em todo o dias
úteis.
• O seu uso como indexante tem que estar
explicitado no contrato.
“O valor do indexante a aplicar aos contratos de
crédito, aquando da respetiva fixação ou
revisão, deve resultar da média aritmética
simples das cotações diárias do mês anterior
ao período de contagem de juros.”
http://clientebancario.bportugal.pt/pt-PT/TaxasdeJuro/Paginas/IndexanteEuribor.aspx
127
Período de tempo fraccionário
• R. A taxa mensal será
(1 + 5.735%)1/12 – 1 = 0.465796%
– Um mês corresponde a 1/12 anos
 465.80€ de juros referentes ao mês
128
Período de tempo fraccionário
• Ex.1.12. Num empréstimo a 5 anos, foi
acordada uma taxa de juro total de 25%.
Supondo que os juros são pagos
trimestralmente, qual será a taxa de juro
trimestral?
– Vou passar de 5anos para trimestral
129
Período de tempo fraccionário
• R. Um trimestre será 1/20 do período total
do contrato pelo que a taxa de juro
trimestral será dada por
(1 + 25%)^(1/20) – 1 = 1.122%/trimestre.
130
Valor Futuro
131
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Muitas vezes eu tenho que comparar
recursos escassos disponíveis em períodos
de tempo diferentes.
• O mais simples é comparar uma soma
disponível no presente com outra soma
disponível daqui a n anos.
132
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos
agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a
licenciatura.
• É preciso comparar estas duas somas que
estão disponíveis em instantes diferentes?
• O que será melhor?
133
Valor Futuro = Valor capitalizado
• Para comparar vou usar a taxa de juro
como “taxa de câmbio” entre o presente e o
futuro.
• O valor futuro é o valor capitalizado do
valor presente
134
Valor Futuro
• Ex.1.13. Umas tias propõem-se a dar-vos
agora 1000€ ou 1200€ quando acabarem a
licenciatura.
• Supondo que conseguem financiamento /
depositar a uma taxa de juro de 10%/ano,
qual a soma de dinheiro mais apetecível?
135
Valor Futuro
• R. O valor futuro dos actuais 1000€ daqui a
3 anos será
1000(1+10%)^3 = 1331€
que é maior que os 1200€
Os 1000€ agora valem mais que os 1200€
daqui a 3 anos
• Então, será melhor receber os 1000€ já.
136
Obrigação
• Uma “obrigação” é o título pelo qual o
devedor se obriga a pagar um valor
periodicamente (o cupão) e uma soma final
(o valor de resgate).
• A obrigação tem um valor nominal (o Par)
• Vamos ver um exemplo de obrigação com
cupão zero
137
Obrigação
• Ex.1.14. Foram colocadas à venda
obrigação do SCP de valor nominal de
5.00€ por 4.05€. Sabendo que o SCP
resgata a obrigação ao par (i.e., paga os
5€) daqui a 3 anos com cupão zero, qual a
taxa de juro desta aplicação?
138
Obrigação
• R. O valor futuro dos 4.05€ do presente serão
5.00€ pelo que a taxa de juro resolve:
4.05(1  i)  5  i  (5 / 4.05)
3
1/ 3
1
• será 7.277%/ano:
139
Fazer em casa
140
Exercício
• Ex.1.8. Durante o ano, um indivíduo no
início de cada mês fez os seguintes
movimento bancário: +250; +100; –50;
+125;– 150; +250; –350; –25; –10; +50; 0;
200. Para uma taxa de juro constante de
0.165%/mês, determine o saldo da conta
no fim do ano com capitalização mensal
composta.
141
Exercício
142
Exercício
•
•
•
•
•
B1: =(1+B2)^12-1
C4: =B4; D4: =C4*B$2; E4: =C4+D4 e copiava
C5: = B5+E4 e copiava
F4: = =B4*(1+B$2)^(13-A4) e copiava
F16: =sum(F4:F15).
143
Quinta Aula
7 Out
144
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de
cada mês 1000€ durante 60 meses.
– As prestações são antecipadas
Antecipada -> paga no principio do período
Postecipada -> paga no fim do período
145
Valor Futuro
Ex.1.15. Um indivíduo deposita no início de
cada mês 1000€ durante 60 meses.
– As prestações são antecipadas
Para uma taxa de juro de 4%/ano, determine
o valor futuro total das parcelas poupadas
(i.e., quanto dinheiro terá no fim dos 60
meses).
146
Valor Futuro
Vou calcular o valor futuro de cada
prestação:
O valor futuro de 1000€ depositados no início
do mês m é
( 60m1) /12
VFm  1000.(1  4%)
O +1 é por o deposito ser “antecipado”
147
Valor Futuro
Tenho que somar as 60 parcelas
O valor futuro total valerá
60

VF   1000(1  4%)
( 60i 1) / 12

i 1
Resolvo no Excel.
148
Valor Futuro
C2: =B2*(1+4%)^((60-A2+1)/12) e copio em coluna
C62: =Sum(B2:B61)]
149
Valor Futuro
Usar em casa com uma conta corrente
G3=(1+G2)^(1/12)-1
C2: =B2*$G$3
D2: =B2+C2
B2: =D2+$G$1
Copiar em coluna
150
Valor Actual
Desconto
151
Desconto
• Sendo que capitalizar é andar para a
frente no tempo
• Descontar é andar para trás no tempo
• É, na taxa de juro capitalizada de forma
composta: itotal = (1 + i)n - 1, assumir um
número negativo de anos
152
Desconto = Valor passado
• Em termos económicos, pode traduzir o
valor passado de uma quantidade de
dinheiro presente
– Eu recebi hoje 1000€ de um valor que
emprestei há 10 anos a 4% ao ano. Qual o
capital que eu emprestei?
153
Desconto = Valor actual
1000 V .(1  4%)
10
 V  1000.(1  4%)
10
 V  675.56€
• Também pode traduzir o valor actual (no
presente) de uma quantidade de dinheiro
que vou ter disponível no futuro
154
Desconto = Valor actual
• No meu emprego, vão-me dar de prémio 100€,
pagos daqui a 10 anos.
• Para uma taxa de juro de 6% ao ano, esses
100€ de daqui a 10 anos valem no presente
100€ x 1.06–10 = 55.84€.
155
Desconto = Valor actual
• Ex.1.16. Um estudante, quando terminar o
curso, vai receber de umas tias um prémio
de 10000€. Supondo que pensa terminar
o curso daqui a 30 anos e que a sua taxa
de desconto é de 5% ao ano, qual será o
seu valor actual?
156
Desconto = Valor actual
V  10000.(1  5%)
30
 V  2313.77€
• Posso “vender” este activo e receber no
presente 2313.77€ (a outra pessoa que
tenha uma taxa de desconto <=5%).
157
Desconto = Valor actual
• Ex.1.19. Um indivíduo depositou num
banco em 1940 uma soma. Sendo que
esse banco devolveu 1milhão€ em 2008,
qual terá sido a soma depositada?
– Taxa de desconto de 3.5%/ano
158
Desconto – Valor actual
V  1000000.(1  3.5%)
68
 V  96395.38€
• R. Descontando 1milhão€ para 1940,
temos = 96395.38€.
159
Desconto = Valor actual
• Ex.1.18. Um sortudo ganhou numa lotaria
um prémio e deram-lhe a escolher receber
350k€ agora ou 1000€ no fim de cada
mês dos próximos 50 anos.
• Determine a taxa de juro implícita nesta
opção
160
Desconto = Valor actual
R. Vou descontar cada um dos 1000€ ao
presente, somá-las todas e aplicar a
ferramenta atingir objectivo.
161
Desconto = Valor actual
B2: =(1+B1)^(1/12)-1; B6: =B$3;
C6: =B6*(1+B$2)^-A6; C4: =SOMA(C6:C605)
162
Desconto = Valor actual
Goal Seek = Atingir Objectivo
Menu Data+ Data Tools + what if analysis
163
Sexta Aula
164
Pagamento da dívida
Rendas / amortizações
165
Rendas
• Já consideramos duas possibilidades para
o pagamento da dívida.
• 1) Os juros são pagos periodicamente e o
capital é pago no fim do prazo contrato.
• 2) O capital mais os juros são pagos no
fim do prazo contrato.
166
Rendas
• Vamos explorar uma outra possibilidade
• É paga uma prestação em cada período
• No final do prazo não há mais nada a
pagar
– Cada prestação contêm juros e amortização do
capital
• Denominamos este plano como uma
Renda
167
Rendas
• Uma renda transforma uma determinada
soma de dinheiro num rendimento.
• Um stock num fluxo
168
Rendas
• As prestações podem ser
– regulares ou irregulares no tempo
– constantes ou variáveis no valor
– haver ou não diferimento de alguns
períodos
– terem duração limitada ou serem
perpétua
169
Rendas
• Emprestamos
um
capital
que
recuperamos na forma de uma renda
– e.g., saiu-nos a lotaria e queremos um
rendimento mensal
• Pedimos um capital que pagamos na
forma de uma renda
– e.g., um crédito à habitação que amortizamos
mensalmente
170
Rendas
• Pagamos uma renda que recebemos no
final na forma de um capital
– e.g., depositamos uma quantia mensal para
comprar um barco a pronto no futuro
• Recebemos uma renda que pagamos no
fim na forma de um capital
– e.g., termos um rendimento mensal à custa
de uma herança que vamos receber no futuro
171
Rendas
• Receber uma renda que pagamos na
forma de renda
– e.g., pagamos os estudos com um
financiamento mensal que amortizamos no
futuro com uma prestação mensal.
172
Rendas
• Obtemos o valor actual da renda
descontando todos os recebimentos ao
instante de tempo presente.
• Para efeito de comparação, podemos usar
outro instante de tempo qualquer mas tem
que ser o mesmo para todas as
prestações
173
Rendas
• Temos que clarificar o que é
– um instante de tempo e
– um período de tempo
• O tempo é uma linha contínua
174
Rendas
• Cada ponto é um instante de tempo
– e.g., às 12h00 do dia 15 de Janeiro de 2010.
• Um intervalo de tempo é o segmento que
medeia dois instantes de tempo,
– e.g., o semestre que medeia entre as 12h00 do dia
15 de Janeiro de 2010 e as 12h00 do dia 15 de Julho
de 2010.
• O instante final de um período é sempre o
instante inicial do período seguinte.
– e.g. o fim de 2010 é igual ao início de 2011.
175
Rendas
• Ex.1.21. No sentido de se licenciar, um
estudante necessita uma renda antecipada cuja
prestação mensal é de 300€/mês e a duração
de 36 meses. Supondo uma taxa de juro de
5%/ano, utilize o Excel para calcular o valor
actual dessa renda
176
Rendas
B4: =B$2
C4: =B4*(1+B$1)^-((A4-1)/12) e copiava
C40: =SUM(C2:C37).
Em vez de calcular a taxa de juro mensal, utilizei partes
fraccionadas nos anos, (A4-1)/12.
177
Rendas
• Ex.1.22. O Jardel, aos 26 anos de idade,
ganhava 300mil€ por mês.
• Poderia ter constituído um depósito de 1.5
milhões de euros e
• Receber, a partir dos 35 anos, 600
prestações mensais postecipadas de
5000€ cada.
• Determine a taxa de juro implícita.
178
Rendas
•
•
•
•
F2: =(1+F1)^(1/12)-1
C2: =B2*(1+$F$2)^-(A2-A$2) e copiava até C602;
F3: =Sum(C2:C602).
Definir F3 para atingir o valor 0 por alteração da
célula F1.
179
Rendas
• Ex.1.23. Uma família adquiriu uma
habitação mediante um empréstimo
bancário de 150mil€ à taxa de juro de
5.5% anual a 50 anos. Qual a prestação
mensal a pagar?
720.29€ / mês
180
Rendas
181
Rendas
• Na coluna A estão os meses, na B as
quantias recebidas, na C as quantias
descontadas ao presente
• B3: =E$3; C3: =B3/(1+$E$1)^A3 e depois
copiamos ambas em coluna.
• C603: =Sum(C2:C602); E1: =(1+E2)^(1/12)–1.
• Usava a ferramenta “atingir objectivo” definindo
C603 para 0 por alteração de E3.
182
Rendas
• Fazer em casa os dois exercícios
anteriores com uma conta corrente
183
Conta corrente
•
Ex.1.25. Uns comerciantes de frutas e legumes numas
alturas podem poupar e noutras não. Como, em média,
conseguem poupar 325€/mês, quando o filho fez 15
anos, pensando que precisará de 750€/mês quando for
para a universidade, decidiram constituir uma conta
poupança.
• Numa folha de Excel lancei a data e os movimentos
(colunas A e B).
• A taxa de juro quando o saldo é negativo (taxa de juro
activa) é de 5%/ano e quando os saldo é positivo (taxa
de juro passiva) é de 2%/ano.
184
Conta corrente
C2: =B2 D2: =(A3-A2)/365 E2: =C2*((1+SE(C2>0;J$3;J$2))^D2-1)
F2: =C2+E2
C3: =B3+F2 e copiava em coluna
B84=-F83
185
Sétima Aula
14 Out
186
Expressão analítica de uma
renda
187
Renda perpétua
• Numa renda perpétua,
prestação para sempre.
recebe-se
uma
• Sendo a taxa de juro i e os recebimentos no fim
de cada período (i.e., postecipada), é uma
situação idêntica a um depósito em que no fim
de cada período, são pagos apenas os juros
188
Renda perpétua postecipada
1
2
3
V  P  (1  i)  P  (1  i)  P  (1  i)  ...
V  P  (1  i )
1
 P  (1  i )  P  (1  i )  ...  (1  i )
1
1
V  P  (1  i)  V  (1  i)
2
1
1
V  (1  i )  P  V  V  V  i  P  V
P
V
i
189
Renda perpétua
• Como os juros de cada período valeriam
J = Vi
Com P e i podemos determinar o valor da renda
(ou da taxa de juro implícita com P e V)
P = prestação, i = tx.juro, V = valor actual da renda
P
P  V i  V 
i
P
 i
V
190
Renda perpétua
• Ex.1.26. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês para sempre.
Supondo uma taxa de juro de 5% ao ano,
qual será o valor presente do terreno?
191
Renda perpétua
• Primeiro, calculo a taxa de juro mensal
• i.mensal = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
• Depois, aplico a expressão
• V = 50 / 0.407% = 12278.58€
192
Renda perpétua
• Ex.1.27. Um eucaliptal produz, a cada 10
anos, 12kg/m2 de madeira. Supondo um
preço de 0.03€/kg de madeira e uma taxa
de juro de 3%/ano, qual será o valor
actual do eucaliptal?
193
Renda perpétua
• R. Calculo a taxa de juro por 10 anos,
(1+3%)^10–1= 34.392%, e aplico essa
taxa na expressão da renda perpétua
postecipada:
• V = (120.03)/34.392% = 1.05€/m2.
194
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada (a prestação é
paga no princípio do período), teremos
que somar uma prestação inicial
P
V  P
i
P
 V  (1  i )
i
195
Renda perpétua
• Se houver deferimento de, e.g., 2
períodos (tempo em que não é paga
prestação), a renda terá que ser
descontada ao presente:
196
Renda perpétua
• Se houver diferimento de n períodos
(tempo em que não é paga prestação), a
renda terá que ser descontada n períodos
ao presente:
P
n
V  (1  i )
i
• Só se começa a receber daqui a n+1
períodos (a expressão p/i é a renda
postecipada)
197
Renda perpétua
• Se a renda for antecipada, aplica-se a
correcção:
P
n
V   (1  i )  (1  i )
i
• Começa-se a receber daqui a n períodos
– A renda antecipada diferida 5 anos é uma
renda postecipada diferida 6 anos
198
Renda de duração limitada
199
Renda de duração limitada
• Com o conhecimento da expressão da
renda perpétua
– Também se chama perpetuidade
• Podemos calcular o valor de uma renda
de duração limitada
• Compondo duas rendas perpétuas: uma a
somar e outra a subtrair
200
Renda de duração limitada
• Recebemos a prestação R entre o presente e o
período N (postecipada).
• É equivalente a receber uma renda perpétua a
começar agora e
• pagar uma renda perpétua a começar no
período N,
• Descontado tudo ao presente.
201
Renda de duração limitada
P P
P
N
N
V   (1  i )  [1  (1  i ) ]
i
i
i
Se a renda for paga no princípio do
período (i.e., antecipada)?
Teremos que somar uma parcela.
Descontar menos um período
202
Renda de duração limitada


P
 ( N 1)
V  P  1  (1  i)
i
 ( N 1)
(1  i)  (1  i)
P
i
P
N
  1  (1  i)  (1  i)
i


203
Renda de duração limitada
• Ex.1.30. Um agricultor arrendou um
terreno por 50€/mês, pago no fim do mês,
até que o TGV lhe destrua o terreno (i.e.,
daqui a 25 anos). Supondo uma taxa de
juro anual de 5%, qual será o valor
presente do terreno?
204
Renda de duração limitada
• Já não preciso do Excel
r = (1+5%)^(1/12)-1 = 0.407%
V = 50/0.407% x (1 – 1.00407–300)
= 12278.58€ x 0.7047 = 8648.45€
• Mas podemos usá-lo para verificar
205
Renda de duração limitada
• Verificar em casa o resultado com o uso
do Excel
206
Renda de duração limitada
C2: =B2*(1+$D$2)^-A2
C302=sum(C2:C301)
207
Renda de duração limitada
• Ex.1.29. Uma obrigação com o valor
nominal de 100€ paga trimestralmente 1€
de cupão e o par (i.e., os 100€) mais o
cupão do trimestre final ao fim de 10 anos.
Sabendo que foi emitida ao par, determine
a taxa de juro implícita desta obrigação.
208
Renda de duração limitada
R. No trimestre final recebemos não só o
cupão mas também o par, logo
1
 40
 40
100  [1  (1  i ) ]  100 (1  i )
i
Simplificando a expressão

100 1  (1  i )
 40

1
 40
 [1  (1  i ) ]
i
209
Renda de duração limitada
R. Resulta
i.t = 1%/trim
i.a = (1 + 1%)^4-1 = 4.06%/ano
210
Oitava Aula
16 Out
211
Renda de duração limitada
• Ex.1.31. o Figo, entre os 25 e os 35 anos,
depositou 100mil€/mês (i.e., 120 prestações
postecipadas).
• Com essa poupança vai receber uma renda de
valor fixo entre os 35 anos e os 85 anos (600
prestações postecipadas).
• Para uma taxa de juro anual de 3%, quanto vai
receber por mês?
212
Renda de duração limitada
• Vamos usar como instante de referência os 25
anos (acabados de fazer)
• Vamos somar
– Duas rendas de duração limitada
– Ou quadro rendas perpétuas
213
Renda de duração limitada
100m il
1  (1  0.247%)^120(1  0.247%)^120 
0.247%
x
1  (1  0.247%)^600

0.247%
100m il1  (1  0.247%)^120(1  0.247%)^120
x

1  (1  0.247%)^600
 44554,93€ / m ês
44603€/mês com o arredondamento da taxa de juro
214
Obrigações de taxa fixa
215
Obrigações a taxa fixa
• Já foi referido que uma obrigação consiste
num activo que condensa uma entrega
inicial e recebimentos futuro.
• Recebe-se o “cupão” ao longo do tempo e
uma soma no final (o valor de remissão)
• O valor da obrigação é o valor actual dos
recebimentos futuros
– Altera-se com o decorrer do tempo e da tx.jr
de mercado
216
Obrigações a taxa fixa
• Como valor da obrigação é o valor actual
dos recebimentos futuros,
• O seu valor altera-se com o decorrer do
tempo
– Porque se aproxima a data de remissão
– Porque a taxa de juro de mercado altera-se
217
Obrigações a taxa fixa
218
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.33. Uma obrigação a 10 anos de
valor nominal de 100€ reembolsável ao
par (i.e., serão pagos 100€ daqui a 10
anos) cupão zero, vai ser vendida em
leilão.
• 1) Para uma remunerado a uma taxa
média de 7.5%/ano, qual o preço máximo
que o investidor está disponível a pagar?
219
Obrigações a taxa fixa
• 1) Vamos descontar os 100€ ao presente:
10
V  1001.075
 48.52€
220
Obrigações a taxa fixa
• 2) Passados 5 anos, qual será o valor da
obrigação?
• 3) Se o mercado justificar um aumento da
taxa de juro em um ponto percentual, qual
a desvalorização da obrigação?
221
Obrigações a taxa fixa
• 2) Já só faltam 5 anos para receber os
100€
5
V  1001.075  69.66€
• 3) O aumento da taxa de juro desvaloriza
a obrigação em 4.5%
5
V  1001.085  66.50€
222
Obrigações a taxa fixa
• 4) Se o investidor adquiriu a obrigação a
45€, qual a taxa de juro que pensava
receber?
• 5) E qual será a taxa de juro que
efectivamente recebeu quando vendeu a
obrigação depois da desvalorização?
223
Obrigações a taxa fixa
• 4) A taxa de juro prevista era
V  100(1  i)
10
 45€  i  8.31%
• 5) E passou a ser
5
V  66.50(1  i )  45€
66.50 / 45  (1  i ) 
5
i  (66.50 / 45)
1/ 5
 1  8.13%
224
Obrigações a taxa fixa
• Ex.1.34. Uma obrigação soberana (i.e.,
emitida por um Estado) a 50 anos emitida
em 2010 cujo par é 1000€ paga um cupão
anual de 25€ postecipado e o par mais o
cupão no fim do prazo.
• Qual a taxa de juro da obrigação se for
adquirida ao par?
225
Obrigações a taxa fixa


25
50
50
 1  (1  r )
 1000  1  r   1000
r
• Podemos simplificar a expressão obtendo
uma renda perpétua:




25
25
50
50
 1  (1  r )
 1000  1  (1  r )
r
r
1000
226
Obrigações a taxa fixa
• Decorridos 6 meses, no mercado
secundário a obrigação está a ser
transaccionada a 900€
• Para que taxa de juro aumentou a
remuneração desta obrigação?
– > De 2.500%/ano para 5.418%/ano
227
Obrigações a taxa fixa
• Usava a ferramenta Goal Seek do Excel
C2: =B2*(1+E$1)^-A2 e copiava em coluna
E2: = Sum(C2:C51)
228
Resolver em casa
229
Nona Aula
21 Out
230
TAEG
Taxa Anual Efectiva Global
231
TAEG implícita no contrato
• TAEG – Taxa anual efectiva global
• Actualmente, é obrigatório nos anúncios
(de venda a crédito) que seja afixado o
preço a pronto pagamento e a taxa de juro
implícita efectiva calculada com todas as
despesas a incorrer pelo cliente (global)
– Também é referido o total de encargos do cliente
232
TAEG implícita no contrato
• A TAEG é a taxa de juro anual que faz a
soma do valor actual de todos os
pagamentos igual ao preço de pronto
pagamento.
233
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.35. Um televisor (ppp de 1190€), a
crédito “paga na entrega 119€ mais 12
prestações trimestrais de 100€. Tem que
pagar no fim do primeiro ano mais 50€”.
• Determine a TAEG deste contrato de
crédito.
234
TAEG implícita no contrato
• Podemos indicar algebricamente o resultado
(1  (1  i) 12 )
1190 119 100
 50(1  i) 4  0
i
• Mas o mais fácil é determina-lo no Excel
235
TAEG implícita no contrato
236
TAEG implícita no contrato
B2: = 1190-119; B3: 100; B6: -150
C2: =B2*(1+E$2)^(-A2) e copiar em coluna.
C15: =Sum(C2:C14)
Definimos a célula C15 para o valor 0
alterando E2.
• Se a EURIBOR for 5.5%/ano, qual é a
probabilidade de incumprimento implícita
neste contrato de crédito?
237
TAEG implícita no contrato
1  10.386%  (1  5.5%) /(1  p)
 (1  p)  (1  5.5%) /(1  10.386%)
 p  4.426%
238
TAEG implícita no contrato
• Ex.1.36. Um anúncio dizia
“Telefone que lhe emprestamos 5000€ por
apenas 150€ mensais (durante 60 meses,
TAEG=29.28%)”.
• Confirme a TAEG.
239
TAEG implícita no contrato
R
N
V  [1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]
i
150
 60
 5000
[1  (1  i ) ]  0
i
Tem que se determinar no Excel
240
TAEG implícita no contrato
i  2.175%  ianual  (1  i) 1  29.46%
12
241
Primeiro teste
até aqui
242
Preços correntes e constantes
243
Preços correntes e constantes
• A inflação (i.e., a subida generalizada dos
preços dos bens e serviços) não tem
efeito na afectação dos recursos
escassos.
• Apenas a alteração dos preços relativos
tem efeito.
244
Preços correntes e constantes
• Quando comparamos preços de um bem
disponíveis em instantes de tempo
diferentes é preciso ver a evolução do
nível médio de preços
– A ponte D Luís custou 1850 €
Março 1884
– A ponte 25-de-abril custou 11milhões €
Setembro 1964
– A Ponte Vasco da Gama custou 680milhões €
Novembro 1996
245
Preços correntes e constantes
• As somas seriam equivalentes se
– 1850 € (em 1884) -> 11milhões€ (em 1964)
Capitalização à taxa de 11.4%/ano
– 11M€ (em 1964) -> 680M€ (em1996)
Capitalização à taxa de 12.5%/ano
246
O Índice de Preços
• Calcula-se em cada ano o preço de uma
capaz de compras representativo do
consumidor médios (pesos de 2005).
Rúbricas\ano
Habitação
Alimentação
Vestuário
Transportes
Preço médio
2005
345 €
641 €
245 €
145 €
351 €
2006
367 €
654 €
240 €
162 €
364 €
2007
389 €
663 €
243 €
178 €
379 €
2008
372 €
669 €
247 €
182 €
375 €
2009 Pesos
339 €
40%
652 €
21%
251 €
22%
163 €
17%
355 €
B6: =B2*$G$2+B3*$G$3+B4*$G$4+B5*$G$5
247
O Índice de Preços
• O IPC é a passagem do preço do cabaz
ao valor 100 no ano base.
• B7: =B6/$B$6*100
•
Rúbricas\ano
Habitação
Alimentação
Vestuário
Transportes
Preços
IPC
2005
345 €
641 €
245 €
145 €
351 €
100,00
2006
367 €
654 €
240 €
162 €
364 €
103,79
2007
389 €
663 €
243 €
178 €
379 €
107,80
2008
372 €
669 €
247 €
182 €
375 €
106,67
2009 Pesos
339 €
40%
652 €
21%
251 €
22%
163 €
17%
355 €
101,22
248
O Índice de Preços
• Em teoria, o índice de preços refere-se a
um instante de tempo
• Mas não é possível medir todos os preços
no mesmo instante
• Então, é um valor médio do período
IP20002010 = preço médio em 2010 na base 2000
249
O Índice de Preços
• O “preço médio” normalizado denominase por Índice de Preços no Consumo,
havendo outros índices de preços
– índice de preços na produção
– índice de preços nos mais pobres
– índice de preços no interior norte
– índice de preços na construção
– etc.
250
Preços correntes e constantes
• Os preços dos bens ou serviços
observados no dia a dia denominam-se de
“preços correntes” (ou “preços nominais”)
e variam ao longo do tempo.
• e.g., há um ano a gasolina tinha um preço
diferente do preço que actualmente
vigora.
251
Preços correntes e constantes
• Os preços corrigidos da inflação
denominam-se de “preços constantes” ou
“preços reais”.
252
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em
preços reais utilizamos o índice de preços.
• Temos os preços correntes do período J,
PJ, que queremos em preços reais com
base no ano T, PTJ
• PJ  PTJ
253
Preços correntes e constantes
• Para transformar preços correntes em
preços reais utilizamos o índice de preços.
Um bem custava P2005 = 100€, IP20052005 = 100 e
custa actualmente P2012 = 250€, IP20052012 = 237
Compare os preços em termos reais
254
Preços correntes e constantes
Posso passar os 250€ de 2012 para 2005
P20052012 = 250 * 100 / 237 = 105.49
Ou o preço de 2005 para 2012
P20122005 = 100 * 237/ 100 = 237.00
-> Em termos reais, o bem custa hoje
mais 5.49% que custava em 2005
105.49€/100.00€ = 250.00€ / 237.00€ = 1.0549
255
Preços correntes e constantes
• Em termos de notação algébrica, é difícil
memorizar mas basta fixar que:
• Se o índice de preços aumentou (o mais
normal),
• 1) trazer preços nominais do passado
para o presente, aumenta o seu valor
• 2) levar preços nominais do presente para
o passado, diminui o seu valor
256
Preços correntes e constantes
• Transformamos PJ  PTJ
• Multiplicando o preço corrente pelo índice
de preços do período T, IPTT, e dividindo
pelo índice de preços do período J, IPTJ:
IPT T
PT J  PJ 
IPT J
• Não interessa a base do IP pois dá-se
uma mudança de base.
257
Décima Aula
258
Dúvidas
259
Décima primeira
Aula
28 Nov
260
Preços correntes e constantes
• Ex.1.37. O preço de um frigorífico
diminuiu de 178.50€ em 2006 para
169.90€ em 2010. Com
IP20052006 = 101.61
IP20052010 = 102.86
Quais os preços na base 2005?
Qual o preço de 2006 na base 2010?
Qual foi a variação em termos nominais e
reais do preço?
261
Preços correntes e constantes
• R. em 2005 o IP vale 100 porque é o ano
base
• P20052006 =178.50100/101.61 = 175.67€
• P20052010 =169.90100/102.82 = 165.24€
• Para 2010 ocorre mudança da base
• P20102006 =178.50102.82/101.61
= 180.73€
262
Preços correntes e constantes
• Em termos nominais temos
169.90/178.50 –1 = – 4.77%
(169.90 – 178.50)/178.50 = – 4.77%
Em termos reais temos
Variação = 165.24/175.77 –1 = –5.98%
Var. média anual (1–5.98%)^(1/4) –1
= –1.53%/ano
263
Preços correntes e constantes
• Podíamos usar outro ano base qualquer
• e.g., 2010
Variação = 169.90/180.73 –1 = –5.98%
264
Preços correntes e constantes
• Ex.1.38. O salário mínimo em 1974 era de
16,46€ e em 2010 é de 475,00€.
• IPC20001974 é 4.003 e
• IPC20002010 é 126,62.
• compare, em termos reais (de 2010), o
poder aquisitivos do SM nesses dois anos
e a taxa de variação anual em termos
nominais e reais.
265
Preços correntes e constantes
• Se quiséssemos comparar em termos
de preços reais do ano 2010 fazemos
• os 16.46€ de 1974 valem a preços de
2010
126 ,62
• SM20101974= 16.46  4.003 = 520,65€
• Que é maior que os actuais
• SM20102010 = 475€
266
Preços correntes e constantes
• R. Relativamente à taxa de variação, no
espaço de 36 anos, em termos nominais o
SM aumentou
(475/16.46)^(1/36)–1 = 9,79%/ano
• em termos reais, diminuiu
(15.02/16.46)^(1/36) –1 = –0,25%/ano.
267
Taxa de Inflação
268
Preços correntes e constantes
• A taxa de inflação é calculada pelo INE
com base no IPC e tem periodicidade
mensal.
• Taxa de inflação homóloga – compara o
IPC do mês corrente com o IPC do mês
igual do ano anterior.
• Taxa de inflação média – é a média das
12 taxas de inflação homóloga.
269
Preços correntes e constantes
• Taxa de inflação acumulada – é a
variação percentual do IPC desde o
princípio do ano.
• A taxa de inflação mensal anualizada –
é a variação percentual entre o IPC no
mês anterior e o IPC no mês actual
anualizada: (1+π)12-1.
• A taxa de inflação em cadeia – é a taxa
de inflação mensal (ou trimestral) sem
anualizar
270
Preços correntes e constantes
• Interessará retirar a inflação da análise de
equivalência das somas de valores
dinheiro obtidas em instantes de tempo
diferentes.
• e.g., precisamos saber se a renda de
44603€ mensais dará ou não para
comprar alguma coisa quando o Figo tiver
85 anos.
271
Taxa de inflação
• Sendo IPT J e, IPT J-1
os índice de preços no período J e J-1,
respectivamente
• Calculamos a taxa de inflação durante o
período J, J , por:
IPT J  IPT ( J  1)
IPT J
J 

1
IPT ( J  1)
IPT ( J  1)
272
Preços correntes e constantes
• Se, por exemplo, em Março de 2005 o IPC
valia 128.7 e em Março 2006 passou a
valer 131.4,
• Então, a taxa de inflação homóloga de
Março entre estes dois “instantes” foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
273
Taxa de inflação
• Se, por exemplo, em 2005 o IPC valia
128.7 e em 2006 valia 131.4, então a taxa
de inflação em 2006 foi de
131.4/128.7 – 1 = 2.1%.
Neste exemplo, 128.7 refere-se à média do IPC de Jan.,
Fev., …, Dez. de 2005
274
Taxa de inflação
• Como a taxa de inflação é calculada com
o índice de preços, podemos utilizá-la na
transformação de preços correntes em
preços reais
• Ou mesmo a refazer o IPC
IP(T  n)  IP(T )  1   T 1   1   T 2   ...  1   T n 
275
Décima segunda
Aula
276
Preços correntes e constantes
• Se o preço corrente de um bem em 2006
foi de 150€, podemos saber a quanto
correspondia em 2005 em termos reais
(constantes) descontando este preço com
a taxa de inflação
• O preço do bem, a preços de 2005, seria
p2005 2006  150  1  2.1%
1
 146.92€
277
Preços correntes e constantes
• O preço de um bem era p2005 = 1.25€ e
passou para p2006 = 1.30€.
Sendo que em 2006 a inflação foi de 2.1%
será que o preço deste bem aumentou em
termos reais?
278
Preços correntes e constantes
• O preço, em termos reais, aumentou
1.86%
– Vou ver quanto vale 1.30€ de 2006 em 2005
e comparo com 1.25€ :
p2005 2006 1.30 1  2.1%  1.273€
1
1.273/ 1.250 1  1.86%
279
Exercício
• Ex.1.42. No exercício 1.31, vimos que o
planeamento da reforma do Figo se traduz
numa prestação mensal a preços
correntes de 44603€ até aos 85 anos.
• Prevendo-se uma taxa de inflação de 2%
ano,
• i) Determine a preços constantes de
agora, qual será o valor desse prestação
(faltam 50 anos).
280
Exercício
• Vamos descontar 44603€ ao presente
com a taxa de inflação de 2%/ano como
taxa de desconto:
R  44603  (1  2%)
•
50
 16571€
Em termos reais, corresponde a apenas
37% do valor nominal.
281
Análise a preços constantes
282
Análise a preços constantes
• Ex.1.42.ii) Supondo as mesmas entregas,
determine um plano de reforma que
mantenha o poder aquisitivo (igual em
termos reais).
283
Análise a preços constantes
• Posso fazer a análise
• a “preços correntes” aumentando as
prestações na taxa de inflação prevista
• Ou a “preços constantes” retirando a taxa
de inflação da taxa de juro
• Fica a taxa de juro real mais a correcção do risco.
284
Análise a preços constantes
• Fazemos a análise a preços reais
retirando a taxa de inflação da taxa de juro
nominal. A taxa de juro real mensal é
0.0813%= ((1+3%)/(1+2%))^(1/12)-1.
x
 600
(1  1.000813 )  13944800
0.0008135
13944800 0.000813
x
 x  29381€
 600
1  1.000813
285
Preços correntes e constantes
• A “preços correntes”, uso o Excel:
286
Preços correntes e constantes
• B3: =$E$1*(1+$E$4)^A3;
• C3: =B3*(1+$E$5)^-A3 e depois copiamos
em coluna;
• C603: =Sum(C2:C602) e usamos a
ferramenta “Atingir objectivo”, definir a
célula C603 para o valor 0 por alteração
da célula E1
287
Preços correntes e constantes
• Retirada a taxa de inflação à taxa de juro
nominal (“preços constantes”), deu o
mesmo resultado
288
Fazer em casa o exercício usando uma
conta corrente
289
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Com o acesso a fontes diferentes de
informação e com o decorrer do tempo, as
séries de preços mudam de base.
• Nessa alturas, o índice sofre uma quebra
porque salta do valor do antigo tramo da
série para 100 e são alterados os pesos
relativos dos grupos agregados no índice
(a representatividade de cada grupo no
índice).
290
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Quando é preciso utilizar o número índice ao
longo de todos os períodos, torna-se necessário
compatibilizar os vários tramos da série à
mesma base.
• A redução não é uma mudança para a mesma
base porque não se tem em consideração que
existem alterações dos ponderadores mas
permite fazer uma transição suave entre os
vários tramos da série.
291
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• No sentido de tornar possível a
compatibilização dos tramos, estes
sobrepõem-se (pelo menos) durante um
período.
• Temos que usar os períodos de
sobreposição para calcular o valor do
“salto” em termos relativo entre as séries e
reduzi-lo a zero. Vejamos um exemplo de
uma mudança de base.
292
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
293
Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• Ex.1.46. A série do IPC do banco mundial
WB2008 (base o ano 2000) vale 4.00 para
1974 e vale 108.10 para 2002, e
• a série do INE (base o ano 2002) vale
116.187 para 2009 (media até Abril),
compare, em termos reais, o salário
mínimo de 1974 (16.46€/mês) com o SM
actual (450.00€/mês).
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Compatibilização de tramos da
série com diferentes bases
• R. Há uma salto em 2002 entre as séries
pelo que o valor da série do INE
compatibilizado ao da série do Banco
Mundial será 116.19108.10/100 =
125.60. O valor a preços de 2009 dos
16.46€/mês será 16.46125.60/4.00 =
516.84€/mês.
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