Capítulo 15 Regressão com séries
temporais
15.1 Introdução
15.2 Equação dinâmica de regressão com séries
temporais
15.3 Estacionaridade.
15.4 Exemplo do capítulo 14 aumentado
15.5 Conclusões
15.6 Questões e exercícios
15.7 Referências
1
15.1 Introdução
A regressão múltipla (capítulo 14) na forma estática
apresentada no último capítulo não inclui algumas
considerações teóricas necessárias quando a
formulação utiliza variáveis de series temporais.
Embora todos os conceitos aplicados a
regressão múltipla na forma estática continuem
válidos, análise estatística com as séries
temporais traz novas considerações
elaboradas neste capítulo para aprimorar a
representatividade das estimativas frente aos
parâmetros desconhecidos populacionais.
2
15.2 Equação dinâmica de
regressão com séries temporais
Yt = a + c1Yt-1 + c2Yt-2 + … +cpYt-p
+ b0Xt+ b1Xt-1 + … + bqXt-q + ... + etNID(0,σe)
Teoricamente, não há nenhuma razão de trabalhar
apenas com defasagens que expressam o passado
como na equação acima, mas o caso de trabalhar
com defasagens futuras é na realidade pouco
utilizado na pratica. Imagine a dificuldade de se fazer
previsões para Yt se forem necessários valores
futuros de Xt.
3
15.3 Estacionaridade
Aprendemos em capítulo 12 que o
correlograma caracterizado como cheio
significa que a variável sob investigação é
não estacionária, e que esta condição
atrapalha
a
representatividade
das
estimativas do coeficiente de correlação. O
mesmo é verídico para regressão, pois a
presença de não estacionaridade nas
variáveis aumenta artificialmente o valor da
estimativa dos coeficientes de regressão
dando relevância às variáveis na realidade
insignificantes.
4
Figura 15.1 – Correlogramas de vendas semanais e a
soma acumulada de vendas semanais
Vendas soma acumulada da estaçao
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
O resultado não é
conclusivo
Vendas semanais
0,8
0,6
0,4
0,2
0
-0,2
-0,4
-0,6
1
3
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23
25
27
29
5
Dickey Fuller
Não estacionaridade é uma característica de séries chamadas caminhadas
aleatórias já discutidas na 12.6.2 no capítulo 12 sobre correlação.
Yt+1 = Yt + et
A equação se completa com coeficientes para o intercepto e
tendência linear:
Yt+1 = a + bt + Yt + et t = 1,2,3,...
Ou em termos mais gerais, explicitando o coeficiente c = 1:
Yt+1 = a + bt + cYt + et; (c = 1; t = 1,2,3,...)
A equação é rearrumada na seguinte forma:
ΔYt = (Yt+1 – Yt) = a + bt + (c – 1)Yt + et;
(c – 1 = 0; t = 1,2,3,...)
6
Testes de hipótese
O primeiro teste de hipótese é baseado na F:
H0: b = (c – 1) = 0
H1: algum coeficiente significante
O segundo teste segue a distribuição t de Gosset[1]
H0: coeficiente individual (c – 1) = 0
H1: coeficiente individual (c – 1) ≠ 0
[1]
Confesso que profissionais na área de séries temporais não gostam da
maneira que estacionaridade se apresenta neste capítulo. É muito simples
demais para a área extremamente fértil e em constante evolução. Peço
desculpas, mas mantenho a crença de que, para o iniciante na área, este
capítulo tem valor como introdução preliminar.
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Tabela 15.1 – ANOVA
Vamos voltar para a série de vendas semanas. Foi
estimada a equação de teste de hipótese para
estacionaridade da seguinte forma:
(vendas semanais t+1 – vendas semanais t) =
a + bt + (c – 1)vendas semanais t + et
A análise ANOVA para calcular a estatística F ofereceu os
seguintes resultados[1]:
ANOVA
gl
2
SQ
7114166
MQ
3557083
Resíduo
100
47278468
472784,7
Total
102
54392634
Regressão
F
valor-P
7,52
0,0009
[1]
Uma análise mais rigorosa mostraria que a distribuição F e t de Gosset não são perfeitamente
apropriadas neste caso, e assim nossa apresentação não agradaria os especialistas da área.
Os conceitos apresentados aqui são uma espécie de aproximação útil para trabalhos
preliminares e projetos pilotos. Trabalhos mais importantes para publicações ou para a tomada
de decisões com repercussões financeiras devem usufruir do conhecimento de especialistas.
8
Tabela 15.2 – Teste de hipótese
dos coeficientes individuais
Precisamos agora da estatística t de Gosset para
determinar a rejeição da hipótese nula do coeficiente
individual,
H0: coeficiente individual (c – 1) = 0.
Coeficientes
Erro
padrão
Stat t
valor-P
Interseção (a)
-184,77
148,72
-1,24
0,217
t (b)
-0,85
2,28
-0,37
0,710
vendas semanais (c-1)
0,26
0,07
3,86
0,000
Valor-p para o coeficiente (c - 1) obriga a rejeição da hipótese
nula de não estacionaridade, a série não é uma caminhada
aleatória.
9
15.4 Exemplo do capítulo 14
aumentado
Vendas semanais =
Yt =
d1Yt-1 + d2Yt-2+ ... + d30Yt-30 +
b1D2005 + b2D2006 + b3D2007 + b4D2008 +
c1S + c2S2 + c3S3 + e
O número de variáveis na equação aumentou
consideravelmente. Alem das 4 variáveis dos anos e
das 3 variáveis das semanas da estação, agora
existem 30 variáveis Y em defasagem, um total de
37 variáveis independentes.
10
Tabela 15.3 – Resultado final do procedimento
de estimação em regressão dinâmica
Para começar os procedimentos de regressão dinâmica, é aconselhável
estimar num primeiro passo a equação com todas as variáveis, quer dizer,
iniciar o trabalho de estimação com a equação mais geral possível. É a
metodologia em regressão do geral para o específico
vendas semanais
(t-1)
vendas semanais
(t-30)
D2006
Coeficiente
Erro
padrão
0,545
0,079
6,860
0,000
0,416
141,455
0,081
125,068
5,149
1,131
0,000
0,262
estatística t valor-p
Vendas semanais = Yt = 0,545Yt-1 + 0,416Yt-30
11
Tabela 15.4 – Previsões das vendas na segunda
metade da estação de 2008.
Fonte: tabela 14.16 e resultados do capítulo 15.
Ano
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
2008
Semana
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
reg.
múlt.
20760
21394
21933
22381
22744
23027
23235
23372
23444
23455
23411
23316
23175
22994
22777
22529
reg.
dinâm.
22130
22265
22339
22389
22443
22473
22495
22512
22535
22550
22560
22565
22578
22586
22624
22645
A equação oriunda de regressão
dinâmica é operacionalmente
melhor, e a sua estrutura é
intuitiva, fácil explicar ao chefe
de divisão ou qualquer leigo
interessado.
12
15.5 Conclusões
Embora seja comum nos meios empresariais fazer
previsões
de
vendas
e
outras
variáveis
mercadológicas, o uso de previsão é importante
na fábrica.
No chão da fábrica, sessões de treinamento
podem aumentar a eficiência dos operadores, mas
também somente com a passagem de tempo para
assimilar
os
conhecimentos
e
aplicá-los
corretamente na linha.
O desgaste de maquinas e ferramentas pode ser
analisado com regressão dinâmica e manutenção
preventiva melhorada.
13
15.6 Questões e exercícios
1. Faça a análise de estacionaridade da variável soma acumulada das vendas
usando a metodologia de Dickey-Fuller.
Resultado: Não é aconselhável a rejeição da hipótese nula de não
estacionaridade.
2. A soma acumulada das vendas deve ser tratada como não estacionaria, pela
análise do exercício anterior. Para estacionar a variável qual é a transformação
mais apropriada?
Resultado: É a primeira diferença. Poderia tentar também a primeira diferença
do logaritmo da soma acumulada, mas o fato de ter valores zero nos dados
originais dificulta o uso desta transformação muito popular na área de finanças.
3. No ato de reduzir o número de variáveis na equação de
regressão, tirando uma variável com fraco desempenho em termos
de valor-p da estatística t, o pesquisador notou que várias medidas
estatísticas de desempenho na regressão piorou, queda de R2
ajustado, aumento do erro padrão dos erros, e coeficientes antes
significantes agora se tornaram insignificantes. O que fazer?
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15.7 Referências
Said, S. E. e D. A. Dickey (1984): Testing for Unit Roots in
Autoregressive-Moving Average Models of Unknown Order.
Biometrika 71, 599–607.
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