Pontifı́cia Universidade Católica de Goiás
Departamento de Computação
Fundamentos IV
Clarimar J. Coelho
Essência do cálculo
◮
Conceitos matemáticos relacionados com a diferenciação e a
integração
Diferenciar
◮
Significa marcar por diferenças, distinguir,..., perceber a
diferença em ou entre
◮
No contexto da matemática, a derivada serve como o
principal veı́culo para a diferenciação
◮
Representa a razão de mudança de uma variável dependente
com respeito a uma variável independiente
Figura 1 - definição gráfica de derivada
◮
Conforme ∆x se aproxima de zero ao ir de a) até c), a
aproximação por diferenças vão se convirtendo em uma
derivada
Definição matemática de derivada
◮
Começa com uma aproximação por diferenças
∆y
f (xi + ∆x) − f (xi )
=
∆x
∆x
◮
y e f (x) são representações alternativas da variável
dependente e x é a variável independente
(1)
Primeira derivada
◮
Se ∆x aproxima de zero, como mostra a Figura de a) até c)
◮
O quociente das diferenças se converte em uma derivada
f (xi + ∆x) − f (xi )
dy
= lim
∆x→0
dx
∆x
◮
onde dy /dx, denotada por y ′ ou f ′ (xi ), é a primeira derivada
de y em relação a x calculada em xi
◮
Como mostrado na Figura, a derivada é a inclinação da
tangente à curva em xi
Integração
◮
O proceso inverso da diferenciação é a integração
◮
Integrar significa juntar partes em um todo, unir, indicar a
qantidade total ...
Integração, matematicamente
I =
Z
b
f (x)dx
a
◮
Que representa a integral da função f (x) em relação a
variável independente x
◮
Calculada entre os limites x = a e x = b
◮
A função f (x) na Equação (2) se chama integrando
(2)
Total da soma
◮
◮
A Equação (2) é o total da soma ou o valor de f (x)dx ao
longo do intervalo de x = a e x = b
R
O sı́mbolo é uma letra S estilizada antiga que representa a
estreita relação entre integração e somatório
Figura 2 - integral definida
◮
◮
Representação gráfica da integral de f (x) entre os limites
x =aex =b
A integral é equivalente a área abaixo da curva
Área sob a curva
◮
A Figura 2 representa uma manifestação gráfica do conceito
◮
Para funções que estão acima do eixo x, a integral, expressa
pela Equação (2) corresponde a área abaixo da curva de f (x)
entre x = a e x = b
Relação entre diferenciação e integração
◮
A distinção ou discriminação da diferenciação e o juntar da
integral são processos relacionados
◮
De fato, inversamente relacionados
Diferenciação
◮
Se temos uma função dada y (t) que especifı́ca a posição de
um objeto em função do tempo
◮
A diferenciação é um meio de determinar sua velocidade
v (t) =
d
y (t)
dt
Integração
◮
De manera inversa, se temos a velocidade como uma função
do tempo, a integração determina sua posição
Z t
v (t)dt
y (t) =
0
◮
De maneira geral, o cálculo da integral
I =
◮
Z
b
f (t)dx
a
É equivalente a resolver a equação diferencial
dy
= f (x)
dx
◮
Para y (b) dada a condição inicial y (a) = 0
◮
A função ser a diferenciada ou integrada deve estar em uma
das siguientes três formas:
1. Uma função contı́nua simples como um polinômio, uma função
exponencial ou uma função trigonométrica
2. Uma função contı́nua complicada que é difı́cil ou imposı́vel de
diferenciar ou integrar diretamente
3. Uma função tabulada onde os valores de x e f (x) são dados de
um conjunto discreto de pontos, como dados experimentais de
campo
No primeiro caso
◮
A derivada ou a integral da função simples é feita
analı́ticamente usando o cálculo
No segunda caso
◮
As soluções analı́ticas não são fáceis e as vezes são
impossı́veis de obter
◮
Nesse caso, como no terceiro caso de dados discretos, deve
ser usados métodos aproximados
Diferenciação gráfica
◮
Um método sem computador para determinar as derivadas a
partir de dados é conhecido como diferenciação gráfica por
áreas iguais
◮
Os dados (x, y ) são tabulados e, para cada intervalo,
emprega-se uma diferença dividida simples ∆y /∆x para
estimar a inclinação (declive)
◮
Os valores são representados como uma curva em degraus
contra x (Figura 4)
◮
É uma curva suave para aproximar a área sob a curva é então
desenhada
◮
É desenhada de modo que as áreas positivas e negativas são
equilibradas visualmente
◮
As razões para determinados valores de x pode ser lido a
partir da curva
Figura 3 - diferenciação por áreas iguais
Diferenciação por áreas iguais
a) Usamos as diferenças divididas centradas para estimar a
derivada em cada intervalo entre os dados
b) As estimativas da derivada são representadas na forma de
gráfico de barras
◮
◮
Superpomos uma curva suave sobre este gráfico para
aproximar a área debaixo do gráfico de barras
Isso é feito traçando a curva tal que as áreas iguais positivas e
negativas sejam equilibradas
c) Então, é possı́vel ler os valores de dy /dx da curva suave
Integração por áreas
◮
Podemos usar procedimentos visuais orientados para integrar
dados tabulados e funções complicadas
◮
Um procedimento intuitivo simples consiste em desenhar o
gráfico da função sobre uma quadrı́cula (Figura 5) e contar o
número de cuadros que se aproximam da área
◮
Este número multiplicado pela área de cada quadro
proporciona uma estimativa aproximada da área total sob a
curva
◮
Esta estimativa pode ser melhorada com uma grelha cada vez
mais fina
Figura 4 - uso de quadros para aproximar uma integral
Segmentos verticais
◮
Divisão da área em segmentos verticais ou barras, com um a
altura igual ao valor da função no ponto médio de cada barra
( Figura 5)
◮
A área dos retángulos são calculadas e é feita a soma para
estimar a área total
◮
Supõe-se que o valor no ponto médio da barra oferece uma
aproximação válida da altura por meio da função em cada
barra
◮
É possı́vel melhorar as estimações usando mais barras (e em
consequêcia mais finas) para aproximar da integral
Figura 5 - segmentos
Emprego da diferenciação
◮
A diferenciação é comum em engenharia devido a análise das
mudanças de variáveis, tanto no tempo como no espaço
◮
Muitas leis e outras generalizações que aparecem
constantemente baseiam-se na maneira previsı́vel que a
mudança se manifesta no mundo fı́sico
◮
Um exemplo importante é a segunda lei de Newton, que não é
expressa em termos da posição de um objeto, mas sim sobre a
alteração do posição em relação ao tempo 1
1
A força resultante sobre um corpo é igual ao produto da massa pela
aceleração.
Fluxo de calor
◮
Além deste exemplo que envolve tempo, inúmeras leis que
regem a comportamento das variáveis no espaço são expressos
em termos de derivadas
◮
Entre as mais comuns são as leis que consideram potencial ou
gradientes
◮
Por exemplo, a lei de Fourier da condução de calor quantifica
a observação de que o calor flui de regiões de maior a menor
temperatura
◮
No caso unidimensional, é expresa na forma matemática como
Fluxo de calor = −k ′
dT
dx
Derivada como medida
◮
A derivada proporciona uma medida da intensidade da troca
de temperatura, ou gradiente, que ocasiona a transferência de
calor
◮
Leis similares proporcionam modelos práticos em muitas áreas
da engenharia, entre eles incluem o modelo da dinamica dos
fluidos, a transferência de massa, a cinética das reações
quı́micas e o fluxo electromagnético
◮
A habilidade para estimar de maneira exata as derivadas é
uma qualidade importante da nossa capacidade para trabalhar
de maneira eficiente nestas áreas
Cálculo de áreas
◮
O cálculo das integrales é igualmente importante
◮
Vários exemplos relacionados diretamente com a idea da
integral como a área sob a curva
◮
A Figura 6 ilustra alguns casos onde é usada a integração com
este propósito
Figura 6 - integral para o cálculo de áreas
a) Um topógrafo pode saber a área de um campo por uma
corrente limitada e dois percursos em ziguezague
b) Um engenheiro em hidráulica pode conhecer a área da seção
transversal de um rio
c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a força exercida
por vento não uniforme que sopra contra um lado de um
prédio
Aplicações da integral
a) Um topógrafo pode precisar de saber a área de um campo por
uma corrente limitada e dois percursos em ziguezague
b) Um engenheiro em hidráulica precisa conhecer a área da seção
transversal de um rio
c) Um engenheiro em estrutura pode determinar a força exercida
por vento não uniforme que sopra contra um lado de um
prédio
Fórmulas de integração de
Newton-Cotes ou regras de
quadratura de Newon-Cotes
Fórmulas de integração de Newton-Cotes
◮
As fórmulas de Newton-Cotes são os tipos de integração
numérica mais comuns
◮
Se baseam na estratégia de substituir uma função complicada
ou dados tabulados por um polinômio de aproximação que é
fácil de integrar:
Z b
f (x)dx
(3)
I =
a
◮
onde fn (x) = um polinômio da forma
fn (x) = a0 + a1 x + . . . + an−1 x n−1 + an x n , n é o grau do
polinômio
Figura 7 - segmentos
◮
A integral também pode ser aproximada através de um
conjunto de polinomios seccionalmente aplicados a dados ou a
função por segmentos de comprimento constante
Formas fechadas e abertas
◮
Existen formas fechadas e abertas das fórmulas de
Newton-Cotes
◮
As formas fechadas são aquelas onde se conhecem os dados
do inicio e ao final dos limites de integração (Figura 8a)
◮
As formas abertas tem limites de integração que se extendem
além do intervalo dos dados (Figura 8b), são similares a
extrapolação
◮
No geral, as formas abertas de Newton-Cotes não são usadas
para integração definida
◮
São usadas para integrais impróprias e para a solução de
equações diferenciais ordinárias
Figura 8 - formas abertas e fechadas
◮
Diferença entre as fórmulas de integração a) fechadas e b)
aberta
Regra do trapézio
Regra do trapézio
◮
A regra do trapézio é a primera das fórmulas fechadas de
integração de Newton- Cotes
◮
Corresponde ao caso onde o polinômio da Equação (3) é de
primeiro grau
Z b
f (x)dx ≈ f1 (x)dx
I =
a
Área sob a reta
◮
Já vimos que uma reta pode ser representada por
f1 (x) = f (a) +
◮
Z
b
a
f (b) − f (a)
f (a) +
(x − a) dx
b−a
O resultado da integração é
I = (b − a)
◮
(4)
A área abaixo desta reta é uma aproximação da integral de
f (x) entre os limites a e b
I =
◮
f (b) − f (a)
(x − a)
b−a
f (a) + f (b)
2
Que é chamda regra do trapézio
(5)
Como é obtida a regra do
trapézio
Como obter a regra do trapézio
◮
Antes da integração, a equação (4) pode ser escrita como
f1 (x) =
af (b) − af (a)
f (b) − f (a)
x + f (a) −
b−a
b−a
Como obter a regra do trapézio, cont.
◮
Agrupando os últimos termos
f1 (x) =
◮
bf (a) − af (a) − af (b) + af (a)
f (b) − f (a)
x+
b−a
b−a
ou
f (b) − f (a)
bf (a) − af (b)
x+
b−a
b−a
Que pode ser integrada entre x = a e x = b para obter
f1 (x) =
◮
I =
f (b) − f (a) x 2 bf (a) − af (b) b
+
x
a
b−a
2
b−a
Como obter a regra do trapézio, cont.
◮
Este resultado é calculado para dar
I =
◮
f (b) − f (a) 2
bf (a) − af (b)
(b − a2 ) +
(b − a)
b−a
b−a
Como b 2 − a2 = (b − a)(b + a)
I = [f (b) − f (a)]
◮
a+b
+ bf (a) − af (b)
2
Multiplicando e agrupando termos, temos
I = (b − a)
◮
f (a) + f (b)
2
Que a fórmula para a regra do trapézio
Significado da regra do trapézio
◮
Geometricamente, a regra do trapézio é equivalente a
aproximar a area do trapézio abaixo da reta que une f (a) e
f (b) na Figura 9
◮
A integral aproximada é representada como
I ≈ largura × altura média
(6)
Figura 9 - representação gráfica da regra do trapézio
Figura 10 - representação gráfica da regra do trapézio
a) A fórmula para calcular a área de um trapezóide: altura pela
média das bases
b) Para a regra do trapézio, o conceito é o mesmo mas agora o
trapézio está sobre seu lado
◮ ou
I ≈ (b − a) × altura média
(7)
Forma geral de Newton-Cotes
◮
Na regra do trapézio, a altura média é a média dos valores da
função nos pontos extremos, [f (a) + f (b)]/2
◮
Todas as fórmulas fechadas de Newton-Cotes são escritas de
modo geral como na equação (7)
◮
Só diferem na formulação da altura média
Erro da regra do trapézio
◮
Quando usamos a integral abaixo de um segmento de reta
para aproximar a integral abaixo de uma curva temos um erro
que pode ser importante (Figura 11)
◮
Uma estimativa do erro de truncamento local para uma só
aplicação da regra do trapézio é
Ei = −
1 ′′
f (ξ)(b − a)3
12
(8)
◮
ξ está em algum lugar no intervalo [a b]
◮
A equação (8) indica se a função sujeita a integração é linear,
a regra do trapézio será exata
◮
Para funções com derivadas de segunda ordem e de ordem
superior (com curva) pode ocorrer algum erro
Figura 11 - uma aplicação da regra do trapézio
◮
Representação gráfica do emprego de uma só aplicação da
regra do trapézio para aproximar a integral de
f (x) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 675x 3 − 900x 4 + 400x 5 de x = 0
a 0.8
Como obter o erro da regra do
trapézio
Como obter o erro da regra do trapézio
◮
◮
Uma maneira alternativa para obter a regra do trapézio
consiste em integrar o polinômio de interpolação de
Newton-Gregory
Z b
f ′′ (xi )
dx
I =
f (a) + ∆f (a)α +
2
a
(9)
Para simplificar a análise, considere que se a = (x–a)/h, então
dx = hd α
Como obter o erro da regra do trapézio, cont.
◮
Devido h = b–a (para um segmento da regra do trapézio), os
limites de integração a e b correspondem a 0 e 1,
respectivamente
◮
Logo, a equação (9) é expresa como
Z 1
f ′′ (ξ)α(α − 1)h2
I =h
f (a) + ∆f (a)α +
deα
2
0
◮
Supomos que para uma h pequeno, o termo f ′′ (x) é
aproximadamente constante, então o resultado da integração é
α2
I = h αf (a) +
∆f (a) +
2
α3 α2
−
6
4
′′
f (ξ)h
2
1
0
Como obter o erro da regra do trapézio, cont.
◮
Tomando os limites de integração
I =h=
◮
1
f (a) + f (b)
− f ′′ (ξ)h3
2
12
Como ∆f (a) = f (b) − f (a), o resultado pode ser escrito como
I =h=
|
f (a) + f (b)
−
{z 2
}
Regra do trapézio
◮
1 ′′
f (ξ)h3
12
| {z }
Erro de truncamento
O primeiro termo é a regra do trapézio e o segundo é uma
aproximação para o erro
Aplicação simples da regra de
trapézio
Exemplo 1 - aplicação simples da regra do trapézio
◮
Usando a equação (5) integre numericamente
f (x) = 0.2 + 25x − 200x 2 + 67x 3 − 900x 4 + 400x 5
◮
No intervalo [0, 0.8]
◮
O valor exato da integral determinado de forma analı́tica é
1.640533
Solução
◮
Calcular a função nos limites
f (0) = 0.2
f (0.8) = 0.232
◮
Substituindo na equação (5), temos
I = 0.8
0.2 + 0.232
= 0.1728
2
Solução, cont.
◮
O erro pode ser calculado como
Ei = 1.640533 − 0.1728 = 1.467733
◮
Corresponde a um erro relativo porcentual de ǫi = 89.5%
◮
A razão desse erro tão grande é evidente no gráfico da Figura
11
Solução, cont.
◮
A área sob a reta não leva em conta uma porção significativa
da integral que está acima da reta
◮
Em situações reais, talvez não conhecemos o valor verdadeiro
da integral
◮
Assim, é necessário uma estimativa do erro aproximado
Solução, cont.
◮
Para obter essa estimativa calculamos a segunda derivada da
função no intervalo, derivando duas vezes a função original
f ′′ (x) = −400 + 4050x − 10800x 2 + 8000x 3
◮
O valor médio da segunda derivada é calculado usando a
equação
Média =
′′
f (x) =
◮
R 0.8
0
Rb
a
f (x)dx
b−a
(−400 + 4050x − 10800x 2 + 8000x 3 )dx
= −60
0.8 − 0
Que é equivalente a equação (8) e o resultado é
Ea = −
1
(−60(0.8)3 ) = 2.56
12
Solução, cont.
◮
Ea é da mesma ordem e mesmo sinal do erro verdadero
◮
Existe uma discrepância, uma vez que num intervalo desse
tamanho, a média da segunda derivada não é necessariamente
uma aproximação precisa de f ′′ (x)
◮
Indicamos o erro aproximado pela notação Ea e o valor no
caso exato por Ei
Aplicação múltipla da regra de
trapézio
Aplicação múltipla da regra de trapézio
◮
Uma forma de melhorar a precisão da regra do trapézio
consiste em dividir o intervalo de integração de a até b em
vários segmentos e aplicar o método a cada um dos intervalos
(Figura 12)
◮
As áreas dos segmentos se somam para obter a integral em
todo o intervalo
◮
As equações resultantes se chamam fórmulas de integração de
aplicação múltipla ou compostas
Figura 12 - aplicação múltipla da regra do trapézio
◮
Ilustração da aplicação múltipla da regra do trapézio
a)
b)
c)
d)
dois segmentos
três segmentos
quatro segmentos
cinco segmentos
Figura 13 - formato geral e nomenclatura para integrais de
aplicação múltipla
◮
Existe n + 1 pontos igualmente espaçados (x0 , x1 , x2 , . . . , xn )
n segmentos de mesma largura
◮
Existem n segmentos de mesma largura
h=
◮
b−a
n
(10)
Se a e b são definidos como x0 e xn , respectivamente, a
integral completa é representada como
Z x1
Z x2
Z xn
I =
f (x)dx
f (x)dx +
f (x)dx + . . . +
x0
x1
xn−1
Substituir a regra de cada integral
◮
Substituindo a regra do trapézio em cada integral obtemos
I =h
◮
f (x0 ) + f (x1 )
f (x1 ) + f (x2 )
f (xn−1 ) + f (xn )
+h
+. . .+h
2
2
2
(11)
Ou agrupando os termos
#
"
n=1
X
h
f (x1 ) + f (xn )
I =
f (x0 ) + 2
2
(12)
i =1
◮
Ou usando a equação (10) para expressar a equação (12) na
forma geral da equação (7)
f (x0 ) + 2
I = (b − a)
| {z } |
Largura
Pn=1
i =1
2n
{z
f (xi ) + f (xn )
Altura média
}
(13)
Divisão por 2n
◮
Como o somatório dos coeficientes de f (x) no numerador
dividido entre 2n é igual a 1
◮
A altura média representa uma média ponderada dos valores
da função
◮
De acordo com a equação (13), aos pontos interiores são
dadas duas vezes o peso que aos dois pontos extremos f (x0 ) e
f (xn )
Adição de erro
◮
Tem um erro com a regra trapézio para múltiplas aplicações,
adicionando os erros individuais de cada segmento
Et = −
n
(b − a)3 X ′′
f (ξi )
12n3
(14)
i =1
◮
◮
◮
Onde f ′′ (xi ) é a segunda derivada num ponto xi , localizado
no segmento i
Este resultado é simplificado ao estimar a média ou valor
médio da segunda derivada em todo o intervalo como
Pn
f ′′ (ξi )
′′
¯
f ≈ i =1
(15)
n
P ′′
Logo,
f (ξi ) ≈ nf¯′′ e a equação (14) é reescrita como
Ea =
(b − a)2 ¯′′
f
12n2
(16)
Erro dividido por quatro
◮
Assim, se o número de segmentos é duplicado
◮
O erro de truncamento é dividido por quatro
◮
Observe que a equação (16) é um erro aproximado devido a
natureza aproximada da equação (15)
Exemplo 2 - aplicação múltipla da regra do trapézio
◮
Use a regra do trapézio com dois segmentos para estimar
f (x) = 0.2 + 25x–200x 2 + 675x 3 –900x 4 + 400x 5
◮
No intervalo [a = 0 b = 0.8]
◮
Use a equação (16) para estimar o erro
◮
O valor correto para a integral é 1.640533
Solução
◮
n = 2(h = 0.4)
◮
f (0) = 0.2 f (0.4) = 2.456 f (0.8) = 0.232
◮
= 1.0688
I = 0.8 0.2+2(2.456)+0.232
4
◮
Et = 1.640533–1.0688 = 0.57173, Ea = 34.9%
◮
0.8
Ea = − 12(2)
2 (−60) = 0.64
3
◮
Onde –60 é a média da segunda derivada, determinada
anteriormente no Exemplo 1
Algoritmo regra do trapézio
◮
Portugol
◮
Função f (x) = 0.2 + 25 ∗ x
−200 ∗ x 2 + 675 ∗ x 3 − 900 ∗ x 4 + 400 ∗ x 5 ;
◮
Execução i = tpzC (′ f 1′ , 0, 0.8, 2)
◮
Resultado i = 1.0688