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Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.
A elipsometria e os parâmetros do vetor de Stokes
Nilo Sergio de Oliveira Andrade 1,2
Antonio Nuno de Castro Santa Rosa 2
Paulo César de Carvalho Faria 3
1
Comando da Aeronáutica – Centro de Lançamento de Alcântara – CLA
Av. dos Libaneses, nº 29 – Tirirical – 65056-480 – São Luís – MA, Brasil
[email protected]
2
Instituto de Geociências – Universidade de Brasília – UNB
Campus Universitário Darcy Ribeiro – CEP 70910-900 - Brasília – DF, Brasil
[email protected]
3
Departamento de Química – Instituto Tecnológico da Aeronáutica – ITA
Praça Mal Eduardo Gomes, 50 – Vila das Acácias – 12228-900 – S.J.Campos – SP, Brasil
[email protected]
Abstract. From the mathematical representation of the components of an electric field vector, important
relations among the parameters that characterize the polarization ellipse are derived. Using these relations, the
link between the Stokes vector and the polarization ellipse is established. In fact, it is proved that the Stokes
vector represents the coordinates of a point P on the Poincaré sphere. Then, it is shown that points on the surface
of this sphere represent the state of a fully polarized electromagnetic field. This concept is extended to points
inside the sphere (partially polarized fields). The center of that sphere represents a completely unpolarized wave.
In addition, one concludes that the degree of polarization is given by the distance of the point P to the center of
the sphere.
Palavras-chave: remote sensing, radar polarimetry, Poincaré sphere, polarization, sensoriamento remoto,
polarimetria, esfera de Poincaré, polarização.
4767
Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.
1. Introdução
Há duas abordagens clássicas para se caracterizar, por intermédio de vetores, a polarização de
uma onda eletromagnética: a do vetor de Stokes e a do vetor de Jones.
Neste trabalho, a partir dos parâmetros que caracterizam a elipse de polarização, será
deduzido o vetor de Stokes. Também será introduzida a representação desse vetor por
intermédio da esfera de Poincaré.
Inicialmente, serão deduzidos os parâmetros que caracterizam a elipse de polarização.
2. Relações entre os parâmetros que caracterizam a elipse de polarização
Seja o vetor campo elétrico E dado por:
E = xEx + yE y
(1)
Tendo:
Ex = ax sen (ωt − β z ) e E y = a y sen (ωt − β z − δ )
(2)
Sem perda de generalidade, pode-se fazer z = 0 , onde z corresponde à distância
percorrida na direção do deslocamento da onda; assim:
Ex = ax sen (ωt ) e E y = a y sen(ωt − δ )
(3)
O que conduz às seguintes equações:
v = av sen (ωt ) , com E x ↔ v e ax ↔ av
(4)
h = ah sen (ωt − δ ) , com E y ↔ h e a y ↔ ah
(5)
v
= sen (ωt )
av
(6)
Portanto,
− av ≤ v ≤ av ; − ah ≤ h ≤ ah e
h
= sen (ωt − δ ) = sen (ωt ) cos (δ ) − cos (ωt ) sen (δ )
ah
(7)
Multiplicando-se a última equação de (6) por cos (δ ) e, do resultado, subtraindo-se (7),
obtém-se (8). Por outro lado, (9) é o resultado da multiplicação da última equação de (6) por
sen (δ ) , ou seja,
v
h
cos (δ ) − = cos (ωt ) sen (δ )
av
ah
(8)
v
sen (δ ) = sen (ωt ) sen (δ )
av
(9)
Elevando-se (8) e (9) ao quadrado obtém-se (10) e (11):
v2
2vh
h2
2
cos
δ
−
cos
δ
+
( )
( ) 2 = cos 2 (ωt ) sen 2 (δ )
2
av
av ah
ah
4768
(10)
Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.
v2
sen 2 (δ ) = sen 2 (ωt ) sen 2 (δ )
2
av
(11)
Somando-se (10) e (11) tem-se:
v 2 2vh
h2
−
cos
δ
+
= sen 2 (δ )
(
)
2
2
av av ah
ah
(12)
Verifica-se que a equação (12) é a de uma cônica, neste caso específico, uma elipse, a
elipse de polarização. Esta equação na forma matricial fica:

1

av2

(v h) 
− cos (δ )

 aa
v h

O determinante de (13) é:
− cos (δ ) 

av ah   v 
2
  = sen (δ )

h
1
 
2

ah

(13)

− cos (δ ) 
1


2
av
av ah 
cos 2 (δ ) sen 2 (δ )
1

det
=
− 2 2 =
 − cos (δ )
 av2 ah2
av ah
av2 ah2
1


 aa

ah2
v h


A equação da elipse na forma canônica é dada por:
(14)
 1

 a2 0   V 
H )
   = sen 2δ
(15)
1  H 
 0


b2 

Investigando, agora, as relações que existem entre as coordenadas de um ponto qualquer,
P, expressas nesses dois sistemas de eixos v, h e V , H . Esses sistemas diferem entre si por
uma rotação de ψ graus, conforme apresentado na Figura 1.
V2 H2
+ 2 = sen 2δ , com senδ ≠ 0 ou (V
2
a
b
h
P
H
V
ψ
ψ
v
Figura 1. Coordenadas de um ponto “ P ” em dois sistemas de eixos v, h e V , H , defasados
entre si de um ângulo de ψ graus.
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Da figura anterior é fácil verificar que:
 v   cosψ
 =
 h   senψ
− senψ   V 
 
cosψ   H 
(16)
v
V 
Trocando   por   e ψ por −ψ , chega-se a:
h
H 
 V   cosψ
 =
 H   − senψ
senψ  v 
 
cosψ  h 
(17)
Substituindo (17) na segunda equação de (15) tem-se:
 1

0
2

 cosψ − senψ  a
 cosψ

(v h)

1   − senψ
 senψ cosψ   0


b2 

Comparando (13) e (18), tem-se que:
 1
 a2
v

 − cos δ
 aa
 v h
− cos δ 
av ah   cosψ
=
1   senψ
ah2 
 1
− senψ   a 2

cosψ  
 0

senψ  v 
2
  = sen δ
cosψ  h 
(18)

0
 cosψ

1   − senψ

b2 
(19)
senψ 

cosψ 
Logo,
 1
 a2
v
det 
 − cos δ
 aa
 v h
− cos δ 
 1

 2
av ah
 = det  a
1 
 0


2
ah 


0 
 = invariante sob uma rotação de eixos
1 

b2 
(20)
As equações (14) e (20) conduzem a:
sen 2 (δ )
2 2
v h
a a
=
1
∴ a 2b 2 sen 2 (δ ) = av2 ah2
ab
(21)
2 2
Também, a partir de (19), chega-se a (22).
 1
 a2
v

 − cos δ

 av ah
− cos δ  
cos 2 ψ sen 2ψ
+
2
av ah  
a
b2
=
1   senψ cosψ senψ cosψ
−
ah2  
a2
b2
senψ cosψ senψ cosψ
−
a2
b2
sen 2ψ cos 2 ψ
+
a2
b2






(22)
Ou seja, antes da rotação dos eixos, a matriz que representava a elipse de polarização era:
 1

 a2 0 
1 1

 , cujo traço é 2 + 2 .
1 
a b
 0

2 
b 

Depois da rotação dos eixos de coordenadas, essa matriz passa a ser:
4770
(23)
Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.

cos 2 ψ sen 2ψ
+

2
a
b2

 senψ cosψ senψ cosψ
−

a2
b2

senψ cosψ senψ cosψ
−
a2
b2
sen 2ψ cos 2 ψ
+
a2
b2


 , cujo traço,



(24)
cos 2 ψ sen 2ψ sen 2ψ cos 2 ψ
1 1
+
+
+
, também é 2 + 2 .
2
2
2
2
a
b
a
b
a b
(25)
Temos, assim, mais um invariante sob a rotação dos eixos: o traço das matrizes que
representam a elipse de polarização. A partir dessa comprovação e de (13), decorre que:
av2 ah2
1
1
1 1
a 2b 2
+
=
+
ou
=
av2 ah2 a 2 b 2
av2 + ah2 a 2 + b 2
(26)
Para estabelecer o ângulo ψ , que relaciona a forma canônica da elipse de polarização
com o polinômio quadrático com termo em “ xy ”, que também representa a mesma elipse,
deve-se aplicar (16) a (13), obtendo-se, então, (27):
− cos (δ ) 

av ah   cosψ − senψ  V 
 cosψ
2
(V H ) 

  = sen (δ )

senψ cosψ  H 
1
 − senψ

2

ah

Desenvolvendo-se esse produto matricial chega-se a:

1

senψ   av2

cosψ   − cos (δ )

 aa
v h

(V

cos 2 ψ sen 2ψ sen 2ψ
−
+

av2
av ah
ah2

H)
 sen 2ψ  1 1  cos ( δ ) cos 2ψ

 2  a2 − a2  −
av ah
 h
v 

1  cos ( δ ) cos 2ψ
 2 − 2 −
2  ah av 
av ah
sen 2ψ sen 2ψ cos ( δ ) cos 2 ψ
sen 2ψ  1
av2
+
av ah
+
ah2
(27)


 V  =
  H  (28)



= sen 2 (δ )
O termo em “V H” anula-se se:
 1 1  cos (δ ) cos 2ψ
2a a
1
= 0, donde tg 2ψ = 2 v h2 cos (δ )
sen2ψ  2 − 2  −
2
av ah
av − ah
 ah av 
Onde, ψ define o ângulo de rotação do eixo principal da elipse de polarização.
Introduzindo-se o ângulo “ α ” (ângulo auxiliar) tal que:
a
tgα = h ,
av
(29)
(30)
e, aplicando-se a relação trigonométrica entre tg 2α e tgα , tem-se que:
ah
av
2a a
2tgα
tg 2α =
=
∴ tg 2α = 2 v h2
2
2
a
1 − tg α
av − ah
1 − h2
av
2
.
Substituindo (31) na segunda equação de (29), obtém-se:
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(31)
Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.
tg 2ψ = tg 2α cos ( δ )
(32)
Seja “ χ ” tal que:
b
(33)
a
Onde, “ χ ”está relacionado à excentricidade da elipse de polarização. Porém, da
trigonometria, tem-se a seguinte relação:
2tg χ
sen 2 χ =
(34)
1 + tg 2 χ
tg χ = ±
Substituindo (33) em (34), tem-se que:
2b
a ∴ sen 2 χ = ± 2ab
sen 2 χ = ±
2
a 2 + b2
1+ b 2
a
Da relação apresentada em (26) e de (35), obtém-se:
sen2 χ = ±
2a 2b 2 1  2av ah   av ah 
⋅
=
 ±

a 2 + b2 ab  av2 + ah2   ab 
(35)
(36)
De (21) tem-se que:
av ah
= sen (δ )
ab
Usando (37) em (36), obtém-se (38):
2a a
sen 2 χ = 2 v h2 ⋅ sen (δ )
av + ah
±
Mais uma vez, da trigonometria, tem-se a seguinte relação:
2tgα
sen 2α =
1 + tg 2α
(37)
(38)
(39)
(30) em (39) conduz a:
sen 2α =
2 ah av
2a a
= 2 v h2
2
2
1 + ah av av + ah
(40)
Aplicando, agora, (40) em (38) tem-se (41):
sen2 χ = sen2α ⋅ sen (δ )
(41)
Assim, foram estabelecidas relações muito importantes entre os parâmetros que
caracterizam a elipse de polarização: a 2ª equação de (29); (30); (32); (33); (38) e (41). Essas
equações são essenciais no relacionamento do vetor de Stokes com a elipse de polarização.
3. Dedução do vetor de Stokes a partir dos parâmetros que caracterizam a elipse de
polarização
Tomando I 0 , a intensidade total do vetor campo elétrico, por av2 + ah2 , tem-se:
I 0 = av2 + ah2
Elevando (42) ao quadrado, tem-se:
4772
(42)
Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.
I 02 = av4 + 2av2 ah2 + ah4 = av4 − 2av2 ah2 + ah4 + 4av2 ah2 ∴
I 02 = ( av − ah ) + 4av2 ah2 ∴ 4av2 ah2 = I 02 − ( av − ah )
2
2
(43)
A partir das relações (38) e (42) obtém-se (44).
I 0 sen 2 χ = 2av ah sen (δ )
(44)
É fácil notar, ainda, que a relação apresentada na 2ª equação de (29) acarreta (45).
tg 2ψ ( av2 − ah2 ) = 2av ah cos (δ )
(45)
Assim, elevando-se (44) e (45) ao quadrado e somando-se os resultados obtidos, resulta
que:
I 02 sen 2 2 χ + ( av2 − ah2 ) tg 2 2ψ = 4av2 ah2
2
(46)
Aplicando (43) em (46) obtém-se (47):
I 02 sen 2 2 χ + ( av2 − ah2 ) tg 2 2ψ = I 02 − ( av − ah )
2
2
(47)
Desenvolvendo (47) para ( av2 − ah2 ) obtém-se:
2
(a
2
v
− ah2 ) (1 + tg 2 2ψ ) = I 02 (1 − sen 2 2 χ ) ∴ ( av2 − ah2 ) = I 02 cos 2 2ψ cos 2 2 χ ∴
2
2
av2 − ah2 = I 0 cos 2ψ cos 2 χ
(48)
Agora, as relações (45) e (48) acarretam:
2av ah cos (δ ) = ( I 0 cos 2ψ cos 2 χ )( tg 2ψ ) ∴ 2av ah cos (δ ) = I 0 sen 2ψ cos 2 χ
(49)
Assim, define-se o Vetor de Stokes por:
2
2
I0

 I 0   av + ah  






2
2
Q
av − ah   I 0 cos 2ψ cos 2 χ 
S = =
=
 U   2av ah cos (δ )   I 0 sen 2ψ cos 2 χ 
 

  
I 0 sen 2 χ
 V   2av ah sen (δ )  

(50)
I 0 = av2 + ah2 ; Q = I 0 cos 2ψ cos 2 χ ; U = I 0 sen 2ψ cos 2 χ e V = I 0 sen 2 χ
(51)
Ou seja,
4. A esfera de Poincaré
É importante notar que os parâmetros Q, U e V nada mais são do que as coordenadas de um
ponto sobre a superfície esférica de raio I 0 , a esfera de Poincaré, ou seja, o estado de
polarização de uma onda completamente polarizada é mapeado em um ponto único P na
superfície daquela esfera. Portanto, a esfera de Poincaré é uma forma alternativa de
representar o vetor de Stokes.
Um vetor de Stokes que correspondente a uma onda não polarizada é caracterizado pelos
parâmetros Q, U e V todos nulos: o centro da esfera de Poincaré.
Já a polarização parcial é caracterizada por I 02 > Q 2 + U 2 + V 2 o que conduz a um ponto
localizado no interior da esfera de Poincaré.
Pelo exposto, fica claro que o grau de polarização é dado pela distância entre o ponto “P”
e o centro da esfera de Poincaré.
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Anais XIII Simpósio Brasileiro de Sensoriamento Remoto, Florianópolis, Brasil, 21-26 abril 2007, INPE, p. 4767-4774.
Q, U e V são as coordenadas cartesianas do ponto P (Ulaby and Elachi, 1990), de
longitude 2ψ e de latitude 2 χ . Esse ponto da esfera também pode ter sua posição definida
pelos parâmetros 2α e δ , passando a ser denominado de ponto M.
O sinal de χ determina a orientação da polarização. Portanto, o hemisfério superior
( χ > 0 ) apresenta as polarizações orientadas para a esquerda, enquanto o hemisfério inferior
( χ < 0 ) apresenta as polarizações orientadas para a direita. O pólo norte representa as
polarizações circulares para a esquerda e o pólo sul representa as polarizações circulares para
a direita e, no plano do equador são encontradas as polarizações lineares horizontais e
verticais.
Sabe-se da trigonometria esférica (Coutinho, 2001) que cos 2α = cos 2 χ cos 2ψ ;
tg 2 χ
tg ( δ ) =
; tg 2ψ = tg 2α cos (δ ) e sen2 χ = sen2α sen (δ ) , podendo, todas essas
sen 2ψ
equações, ser deduzidas da trigonometria esférica - Figura 2.
V
Estado de Polarização:
P ( χ , ψ ) ou M (α , δ )
2α
I0
2 χ (latitude)
Q
δ
U
2ψ (longitude)
Figura 2. Coordenadas de um ponto “ P ” ou “M” na Esfera de Poincaré.
5. Conclusão
A partir das equações de definição do campo elétrico e das relações entre os parâmetros que
caracterizam a elipse de polarização foi possível deduzir os parâmetros do vetor de Stokes e
mostrar que o estudo da polarização também pode ser representado pela esfera de Poincaré.
Vetor de Stokes e esfera de Poincaré são, portanto, representações equivalentes do mesmo
fenômeno.
Referências
Andrade. N. S. O. Radar de Abertura Sintética Polarimétrico do SIVAM – Análise e Aplicações. Tese de
Doutorado (em fase de escrita). Universidade de Brasília, Instituto de Geociências, Brasília – D.F. 2006.
Coutinho, L. Convite às geometrias não-euclidianas. Editora Interciência, Rio de Janeiro, 2001.
Ulaby, F. and Elachi, C. Radar Polarimetry for Geoscience Applications, Artech House, 1990. 364 p.
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