Universidade Federal do Paraná
Setor de Ciências Exatas
Departamento de Fı́sica
Eletrodinâmica Clássica I
Terceira Lista de Exercı́cios
Cap. II: Eletrodinâmica Relativı́stica
1. Um fio retilı́neo muito longo está em repouso num certo referencial inercial K ′ , com uma
densidade linear de carga uniforme λ0 . O referencial K ′ (assim como o fio) move-se com
uma velocidade v paralela à direção do fio em relação ao referencial do laboratório K.
(a) Escreva os campos elétrico e magnético em coordenadas cilı́ndricas no referencial K ′ ;
(b) Usando as transformações de Lorentz para os campos elétrico e magnético, determine
suas componentes no referencial K; (c) Obtenha as densidades de carga e corrente associadas com o fio nos referenciais K e K ′ ; (d) A partir das densidades de carga e corrente
no referencial K calcule diretamente os campos elétrico e magnético neste referencial.
Compare seu resultado com o do ı́tem (b).
2. Num certo referencial um campo elétrico estático e uniforme E0 é paralelo ao eixo x, e
um campo magnético estático e uniforme B0 = 2E0 está no plano xy, fazendo um ângulo
θ com o eixo x. Ache a velocidade relativa de um referencial inercial no qual os campos
elétrico e magnético sejam paralelos. Obtenha os campos nesse referencial nos limites
θ ≪ 1 e θ → π/2.
3. Um elétron parte do repouso em t = 0 numa região de campo elétrico uniforme E = E0 ẑ,
e sem campo magnético. (a) Escreva as equações de movimento para as quatro componentes da quadrivelocidade, como função do tempo próprio τ ; (b) Resolva as equações
de movimento para as condições iniciais dadas; (c) O elétron acelera até atingir uma
energia E = 10mc2 . Quanto tempo isso leva no referencial do laboratório? (d) Qual a
distância percorrida pelo elétron até atingir essa energia? (e) Se o campo elétrico for
E0 = 1, 00kV /m dê valores numéricos (no sistema SI) aos resultados dos ı́tens (c) e (d).
4. O pósitron é a anti-partı́cula do elétron, com carga q = +e e massa de repouso m =
0, 511M eV /c2 . Considere um pósitron movendo-se com velocidade constante ao longo do
eixo x, quando passa nas proximidades de um átomo neutro, com parâmetro de impacto
b = 1, 0µm. (a) Se o pósitron move-se com baixa velocidade (v = 0, 01c), calcule os
valores máximos dos módulos dos campos elétrico e magnético na posição do átomo, e
no referencial do laboratório (respostas no sistema SI); (b) Idem para pósitrons de altas
energias, com E = 511M eV ; (c) Qual a energia do pósitron é necessária para criar um
campo magnético máximo de módulo 1, 0T sobre o átomo?
5. Uma partı́cula carregada encontra-se instantaneamente no plano equatorial do campo
magnético terrestre a uma distância R do centro da Terra. O vetor velocidade da partı́cula
1
v faz um ângulo α com o plano equatorial, tal que tan α = vk /v⊥ . Suponha que o campo
magnético terrestre seja dado pela seguinte expressão
M
(ẑ − 3 cos θr̂),
r3
onde ẑ está direcionado ao longo do eixo magnético, e θ é o ângulo entre r̂ e ẑ (M
é uma constante positiva). (a) Mostre que a equação das linhas de força do campo
magnético é r = R sin2 θ; (b) Suponha que as partı́culas carregadas espiralem ao longo
das linhas de força com raio de Larmor desprezı́vel quando comparado a R, e que o fluxo
magnético determinado pela giração da partı́cula é um invariante adiabático. Devido
ao efeito espelho magnético, as partı́culas espiralam até atingir uma latitude máxima
λ = π/2 − θ. Mostre que essa latitude máxima é determinada implicitamente por
√
1 + 3 sin2 λ
2
tan α =
− 1;
cos6 λ
(c) Determine os valores do ângulo α para os quais a partı́cula atinge a superfı́cie da
Terra, ou seja, para r = R0 , onde R0 é o raio da Terra. Considere os casos R = 1, 2R0 e
R = 5R0 .
B(r, θ) =
6. Considere um campo magnético uniforme B = B ẑ. Mostre que ele pode ser obtido a
partir de dois potenciais vetores diferentes, a saber:
1
A1 = B × r,
A2 = −Byx̂,
2
e que ambos estão relacionados entre si por uma transformação de gauge, onde
1
χ = xyB.
2
7. Abra em componentes a equação de movimento de uma partı́cula relativı́stica num campo
eletromagnético
q
duµ
= Fµν uν ,
mc
ds
c
obtenha as equações (uma escalar e outra vetorial) correspondentes.
8. (a) Obtenha as componentes contra e covariantes do tensor dual do campo eletromagnético
1
F ∗ µν = ǫµναβ Fαβ .
2
(b) Mostre que os invariantes de Lorentz do campo eletromagnético
E 2 − c2 g 2 B 2 ,
E · B,
podem também ser obtidos a partir dos seguintes quadri-escalares:
F µν Fµν ,
(c) Mostre que F ∗ µν F ∗ µν = −F µν Fµν .
2
F ∗ µν Fµν ,
9. Muito embora F ∗ µν Fµν seja um invariante de Lorentz, ele não é um bom candidato para
a densidade de Lagrangeana do campo eletromagnético. Mostre que ele é um quadridivergente, na forma
F ∗ µν Fµν = 2∂α (ǫµναβ Aβ ∂µ Aν )
tal que, ao ser integrado em todo o espaço resulta, pelo teorema do divergente no espaçotempo, numa integral de superfı́cie de uma diferencial total:
Z
Z
4
∗ µν
d xF Fµν = 2 d(ǫµναβ Aβ ∂µ Aν ) = 0
que se anula se a “hiper-superfı́cie” for jogada para o infinito. Então as integral de
F ∗ µν Fµν não pode ser a lagrangeana do campo, pois ela é identicamente nula!
10. (a) É possı́vel ter um campo eletromagnético que seja puramente elétrico em um referencial inercial e puramente magnético em outro? Por quê? (b) Quais os critérios que
devem ser impostos sobre os campos E e B tais que haja um referencial inercial no qual
não haja campo elétrico?
11. Considere transformações de Lorentz infinitesimais
µ
x′ = xµ + ω µν xν ,
onde ω µν é um tensor anti-simétrico, e um campo escalar φ(x), cuja densidade de lagrangeana é
1 µ
λ2 2
L = ∂ φ∂µ φ − φ .
2
2
(a) Mostre que tais transformações induzem uma variação infinitesimal na densidade de
lagrangeana:
δL = ∂ν (−ωµν xµ L).
(b) Mostre que a corrente de Noether associada é xβ Θµλ , onde Θµλ é o tensor de energiamomentum canônico. (c) Obtenha a forma explı́cita da corrente de Noether para o campo
escalar. (d) Definindo o tensor misto de terceira ordem:
µ
Mβλ
= xβ Θµλ − xλ Θµβ ,
mostre que a lei de conservação correspondente à corrente de Noether, nesse caso, é
µ
∂µ Mβλ
= 0.
12. Se o fóton tivesse massa de repouso não-nula mγ , a eletrodinâmica seria descrita pela
lagrangiana de Proca, cuja densidade é
1
µ2 µ
1
µν
L=−
F Fµν −
A Aµ − 2 j µ Aµ ,
16πkc
8πkc
c
onde µ = mγ c/~ é o inverso do comprimento de onda Compton do fóton massivo. (a)
Obtenha as equações de campo; (b) Escreva em componentes temporais e espaciais as
equações de campo; (c) Obtenha o tensor canônico de energia-momentum; (d) Usando o
procedimento de Belinfante-Rosenfeld, obtenha o tensor simétrico de energia momentum
e encontre suas componentes;
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