Exercı́cio 1. Para criar regiões com campos magnéticos constantes em laboratório, empregam-se as bobinas de Helmholtz, esquematizadas na Figura 1.Calcule o valor do campo ao longo do eixo das bobinas e o ponto
no qual o campo é magnético é maximo.
Figura 1: Bobinas de Helmholtz
1
Resolução. O campo gerado por uma espira circular é:
µ0 Ia2
~ (z) =
B
2 (a2
+
3
z 2 ) /2
k̂
Então, usando o princı́pio da superposição para as duas espiras, o campo
ao longo do eixo é:

2
~ (z) = µ0 Ia 
B

2

1
3
(a2 + z 2 ) /2
+
1

 k̂
3
/2
2
a2 + (2b − z)
Para calcular o ponto no qual o campo magnético apresenta valor máximo,
basta encontrarmos o valor de z tal que a derivada da função acima se anula:

~ (z)
dB
µ0 Ia2  3
=
−
dz
2
2

2z
5
(a2 + z 2 ) /2
−
3
2
2 (2b − z) (−1) 
 k̂
5/2
2
a2 + (2b − z)
Vemos que:
~ (z)
dB
=0⇒z=b
dz
Agora veremos a condição para que o campo nesse ponto seja aproximadamente constante. Derivando mais uma vez a função do campo magnético:
~ (z) d2 B
dz 2 = 0 ⇒ a2 − 4b2 = 0 ⇒ 2b = a
z=b
A condição é que a separação das bobinas seja igual ao raio.
Fazendo a expansão em séries de Taylor, é possı́vel calcular o quão próximo
esse campo está de um campo constante:
Sabendo que B 00 (a/2) = B 000 (a/2) = 0, a expansão fica:
2
4 ∂ 4 B 1
a
~ (z) ≈ B
B
+
z−
+ ...
2
24
2
∂z 4 z= a
2#
"
a
a/ 4
z
−
144
2
~ (z) = B
1−
B
2
125
a
a
A partir desse resultado, é possı́vel inferir que, para |z − a/2| < a/10 ⇒
B (z) 6= B (a/2), o campo varia em menos de uma parte e meia em dez mil.
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