ME100
Lista 9: Sequências numéricas
Exercı́cio 1: Seja (un ) uma sequência convergindo para ` ∈ R.
Seja N ≥ 0. Mostrar que toda sequência (vn ) tal que vn = un
para todo n ≥ N também converge para `.
Exercı́cio 2: Mostrar que un =
√
6n2 − n
2n2 +n
converge para 3.
Exercı́cio 3: Seja (un ) uma sequência com valores em Z. Mostrar
que (un ) converge se e somente se (un ) é estacionária, isto é,
existe N ≥ 0 tal que para todo n ≥ N , un = uN .
Exercı́cio 4: Seja (un ) uma sequência convergindo para 0 e (vn )
uma sequência limitada. Mostrar que (un vn ) converge para 0.
Exercı́cio 5: Em cada um dos seguintes casos, determinar se a
sequência é convergente ou divergente e calcular o limite quando
existir:
n
1. an = (−1) × n+5
,
n
n
3
2. bn = n(n−1)
2n −5 , (Dica: mostrar por indução que 2 ≥ n para
n ≥ 10 e usar este resultado).
3 2
.
3. cn = n2n
3 +4
Exercı́cio 6: Sejam (an ) e (bn ) duas sequências reais tais que
an ≤ bn para todo n ∈ N. Para todo n ∈ N, seja o segmento
In := [an , bn ]. Supomos que os segmentos In são embutidos (ou
seja In+1 ⊆ In , para todo n ∈ N). Mostrar que se o comprimento
1
dos In converge para 0 então
T
n∈N In
contém um e um ponto só.
Exercı́cio 7: Mostrar que se as subsequências (u2n ) e (u2n+1 )
convergem para o mesmo limite então a sequência (un ) converge.
Exercı́cio 8: Mostrar que se as subsequências (u2n ) e (u2n+1 ) e
(u3n ) convergem então a sequência (un ) converge.
Exercı́cio 9 (Opcional): Dar um exemplo de uma sequência divergente (un )n tal que (ukn )n converge para todo k ≥ 2.
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