Sequências de Cauchy
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Introdução
Na última aula usamos propriedades das sequências de Cauchy para mostrarmos uma propriedade importante do método das aproximações sucessivas.
Depois me falaram que a maioria não sabia o que era sequência de Cauchy.
Vamos então falar um pouco sobre sequencias de Cauchy em R.
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Coisas básicas sobre sequências:
Uma sequência em R é uma função x : N → R. Lembro que denotamos
x(i) = xi como o valor da função em i, ou seja, o valor da sequência em i.
Uma sequência xi converge para um limite L se para todo > 0, podemos
encontrar um número natural N de tal forma que |xn − L| < para todo
n ≥ N . Ou seja, a partir de um determinado “instante” todos os termos
da sequência ficam suficientemente próximos de L. Do nosso ponto de vista
(cálculo numérico), isto é uma forma de aproximar L.
Com esta definição, dado um número L e a sequência xi podemos determinar se ela converge ou não para L. Como fazemos para determinar se uma
sequência xi converge ou não para um número sem saber qual é este número?
Temos algumas ferramentas para isso, por exemplo se a sequência for monótona (crescente ou descrescente) e limtitada ( existem α e β tal que todo
elemento xi satisfaz α ≤ xi ≤ β) então a sequência é convergente. Uma
outra forma para determinar isso é ver se a sequência satisfaz a propriedade
de Cauchy. Bom vamos falar desta propriedade e estou supondo que o que
eu falei até aqui vocês viram num curso básico de cálculo.
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Sequências de Cauchy
Uma sequência xi em R satisfaz a propriedade de Cauchy, ou é uma sequência
de Cauchy, quando: dado um > 0 qualquer, existe um número natural N
tal que para todos os n e m tais que m > n ≥ N temos que |xm − xn | < .
Note que a diferença desta propriedade para a convergência é que trocamos o
valor fixo L por termos da termos da própria sequência. Em particular temos
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que |xm − xN | < e isto acarreta que todos os termos xm que vem depois
de xN satisfaz xm ∈ (xN − , xN + ). Uma interpretação da propriedade de
Cauchy é que para qualquer intervalo de tamanho 2 todos os elementos da
sequência, menos os N − 1 primeiros termos ficam espremidas dentro deste
intervalo.
Uma propriedade importante das sequencias de Cauchy em R é dada pelo
teorema:
Teorema 1 Uma sequência é convergente se e somente se tem a propriedade
de Cauchy
Deste teorema só estamos interessados na segunda parte, isto é, uma sequência de Cauchy é convergente.
Em primeiro lugar observamos que toda a sequência de Cauchy é limitada.
Usando a propriedade de Cauchy para = 1, determinamos N tal que xm ∈
(xN − 1, xN + 1) para m > N . Agora tomamos α = min{x1 . . . xN −1 , xN − 1}
e β = max{x1 . . . xN −1 , xN + 1}. É fácil ver que α ≤ xi ≤ β. Isto mostra que
a sequência é limitada.
Se uma sequência xi é limitada defina duas sequências: aj = inf k≥j xk e
bj = supk≥j xk . Temos que α ≤ aj ≤ aj+1 ≤ bj+1 ≤ bj ≤ β. Como aj
é monótona e limitada converge para um a de [α, β]. Então existe uma
subsequência de xi convergindo para a.
Pela definição de aj podemos escolher um elemento xkj ≥ aj tal que |xkj −
aj | < 1/j. Agora mostramos que a subsequência xkj converge para a pois
|xkj − a| ≤ |xkj − aj | + |aj − a| < 1/j + |aj − a|
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Da propriedade de Cauchy, se uma subsequência converge para a então xi
converge para a, de fato escrevemos:
|xk − a| ≤ |xk − xkj | + |xkj − a|
(2)
num termo usamos a propriedade de Cauchy, no outro a convergência. Portanto toda sequência de Cauchy em R é convergente. (Esta propriedade não
é verdade em um espaço métrico em geral). Obviamente os detalhes fica a
cargo do leitor curioso.
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Aplicação das sequências de Cauchy:
Teorema 2 Suponha que ϕ : [a, b] → R seja derivável com derivada contı́nua. Suponha ainda que supx∈[a,b] |ϕ0 (x)| ≤ r < 1 e que a sequência
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xi = ϕ(xi−1 ) esteja sempre em [a, b]. Então a sequência é de Cauchy e
portanto converge para um ponto fixo de ϕ em [a, b].
Para provar este teorema (que é o que fizemos em classe). Fazemos a avaliação:
|xm − xn | = |ϕm (x0 ) − ϕn (x0 )| =
d
= |ϕn (ϕm−n (x0 )) − ϕn (x0 )| ≤ | ϕn (ξ)||ϕm−n (x0 ) − ϕn (x0 )|(TVM)
dx
≤ rn |b − a|(regra da cadeia n vezes)
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(4)
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Como rn |b − a| converge para zero a sequência é de Cauchy. Pelo teorema da
seção anterior, toda sequência de Cauchy real converge. E pelo que a gente
viu na sala de aula, sendo ϕ contı́nua a sequência converge para o ponto fixo.
Mais sobre sequência de Cauchy os aguarda no curso de análise matemática!
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