Gradiente Topológico via Análise de
Sensibilidade à Mudança de Forma
na Otimização Topológica
Universidade Estadual de Campinas
Faculdade de Engenharia Mecânica
Departamento de Projeto Mecânico
Divisão da Apresentação








Motivação
Problema Elíptico de Valor no Contorno
Definição do Gradiente Topológico
Análise de Sensibilidade à Mudança de Forma
Cálculo do Gradiente Topológico via ASMF
Gradiente Topológico na Elasticidade
Aplicação
Conclusão
Divisão da Apresentação
Automação dos Projetos
OTIMIZAÇÃO
DE
FORMA
PARAMETRIZAÇÃO
DA
GEOMETRIA
OTIMIZAÇÃO
EM RELAÇÃO
AOS PARÂMETROS
FORMA
OTIMIZAÇÃO
TOPOLÓGICA
NENHUMA OU
QUASE NENHUMA
SUPOSIÇÃO SOBRE
A MORFOLOGIA INICIAL
Motivação
ÓTIMA
Contribuições
Contribuições no campo da Otimização Topológica:
1.
2.
Caracterizando a topologia por uma densidade de material a
ser determinada;
Caracterizando a morfologia de um componente por meio de
um parâmetro geométrico .
Motivação
Gradiente Topológico
• Proposta de obter a topologia ótima através do cálculo do GT.
• O GT é uma função definida no domínio que fornece a
sensibilidade de uma função custo ao se criar um furo no
domínio.
• Cálculo do GT via Análise de Sensibilidade à Mudança de
Forma.
Motivação
Problema Elíptico de Valor no Contorno
D
N
f

b
n
•domínio aberto e limitado   N, cujo contorno =N  D (N  D= 0)
é suficientemente regular.
•domínio está submetido a excitações f  L2 (N), b  L2 e com restrições
na variável primal u no contorno D.
PEVC
Forma Variacional
O problema pode ser escrito na forma variacional:
a(u, w)  l ( w)
Espaço das funções:
V  {w  H n () | w  0 sobre D }
U  {u  H n () | u  g sobre D }
PEVC
Elementos Finitos
Maneira geral e sistemática de construir famílias de subespaços
Uhp  U:
a(uhp , vhp )  l (whp )
 whp Vhp  V .
Forma final obtida em PEVC:
K u hp  F
PEVC
Gradiente Topológico




x

B
 ()  ( )
GT ( x) : lim
 0
f ( )

Definição do Gradiente Topológico
B
n
Gradiente Topológico Modificado

  

x

B 
B 
n
 (  )  ( )
GT ( x) : lim
 0 f (   )  f ( )
 0

Definição do Gradiente Topológico
Análise de Sensibilidade à
Mudança de Forma
Perturbação no domínio:
X ( x, ) : x  x
x  N .
Novo domínio e contorno:
  {x  N | x  , x  X ( x, ), x0  0 e 0  }
  {x  N | x  , x  X ( x, ), x0  0 e 0  }
Relação entre domínios (pequena perturbação):
x  x  v(x)
ASMF
Função Custo
Sensibilidade da função custo:
 ( )  ( 0 )
d
 ( )  0  lim
 0
d

Definição da função custo:
 (  ) :   ( , u )d    ( , u )

Derivada da função custo:
 ( , u )   (u )
d
 ( , u ) | 0  lim
 0
d

ASMF
Método Lagrangeano
Problema de minimização:
L ( , u , p )  ( , u )  a (u , p )  l ( p )
Uma vez que a equação de estado é satisfeita:
dL d L
L du
L dp



,

,
d
d

u d
p d
ASMF
Cálculo das Derivadas
Em uma direção:


L dp
,
 a (u , p , )  l ( p )  0
p d
Na outra direção:

L du
 
,

, u  a(u , p ) de vidoa sime tria:
u d
u
Então:
dL ( , u , p ) L ( , u , p )

d

ASMF

 
, u  a( p , u )  0
u
Cálculo do Lagrangeano
Utilizando-se da solução da eq. de estado e da adjunta:
d




 ( , u ) 
L ( , u , p ) 
 ( , u ) 
a (u , p )  l ( p )
d




Para uma vasta classe de problemas:
d
 ( , u ) | 0    n.vd
d

d
 ( , u ) | 0    n.nvn d  vn  gT ( x)d
d


ASMF
Cálculo do GT via ASMF
Função custo definida nos domínios:
       0
       0
Considerando a transformação entre os domínios:
x  x  vn n
 || vn n ||  | vn |
GT via ASMF
Forma Final do GT
O gradiente pode ser expresso da seguinte forma:
sing(vn )
1
d
GT ( x)  lim '
 ( , u ) | 0  lim '
G
g T ( x)d

 0 f () | v | d
 0
f () 
n
^
T
Considerando uma expansão no furo:
1
GT ( x)   lim '
gT ( x)dB
 0 f () 
B
^
GT via ASMF
Formulação
Equilíbrio:
div  b  0
em
ug
sobre D
n  f
n  0
sobre N
Equação Constitutiva:

sobre B
div(C grad u s )  b  0
em

u0
sobre D
(C grad u s )n  f
sobre N
(C grad u s )n  0
sobre B
GT na Elasticidade
Na Forma Variacional
Problema elíptico de valor contorno:
a(u, w)  l ( w)
V  {w  H n () | w  0 sobre D }
U  {u  H n () | u  g sobre D }
Descrevendo os operadores:
a(u, w)   C grad u sgrad ws d

l ( w)   b.wd   f .wd


GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Expressão para o cálculo da sensibilidade da função custo:
d




 ( , u ) 
L ( , u , p ) 
 ( , u ) 
a (u , p )  l ( p )
d




Função custo (energia interna):

1
 ( , u ) : a (u , u )
2
GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Derivada do Lagrangeano:
d
 ( , u ) | 0    n.vd
d

Considerando v  vn n
d
 ( , u ) | 0  vn   n.ndB
d
B
1
s
n
.
n

(
C
grad
u
)
n
.(
grad
u
)
n

C grad u s .grad u s  b.u

2
GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Como (C grad u s )n  0 em B
d
1

 ( , u ) | 0  vn   n.ndB  vn    C grad u s .grad u s  b.u dB
d
2

B
B 
Da forma
d
 ( , u ) | 0  vn  gT ( x)dB ,
d
B
1

tem- se gT (x)  -  C grad u s .grad u s  b.u 
2

GT na Elasticidade
Cálculo do GT
Adotando
^
f ( )  meas(B )  f ' ( )  meas(B )
1
1

s
s
g
(
x
)
d

B


C
grad
u
.
grad
u

b
.
u

^
T

 0 meas(B ) 
2

x
 B
GT ( x)3D   lim
GT na Elasticidade
Algoritmo
Mi n i m i z e: ()
S u je i toa :  d   m eas()

Seja a seqüência K 1  {K | meas(K )  meas(}
1 Fornecer domínio inicial e a restrição;
2 Enquanto a função objetivo não for cumprida:
– encontrar as soluções direta e adjunta;
– calcular o gradiente topológico;
– criar furos;
– definir novo domínio
– incrementar K;
3 Neste ponto, espera-se estar com a topologia ótima.
Aplicação
Exemplo
Chegou-se a forma ótima de um projeto já consagrado.
Definição do problema.
Malha
Resultado
Aplicação
Conclusões
• Metodologia apresentada conduz a uma formulação bastante geral para
obtenção do Gradiente Topológico;
• A formulação pode ser aplicada em casos de Condições de Dirichlet no furo
(caso onde o gradiente topológico contém singularidades);
• Extensão da metodologia a outros problemas de Engenharia (Sólidos - não
linearidades, Fluidos, Eletromagnetismo) é possível.
Conclusão