Aula Teórica nº 19
LEM-2006/2007
Magnetostática no Vácuo
Vimos na última aula que o campo magnético criado por um fio rectilíneo e infinito,
percorrido por uma
corrente eléctrica i, é
dado por:

µ 0i 
B =
uϕ
2π d


As l. de f. de B são portanto linhas fechadas, pelo que o campo B é não conservativo.

Se calcularmos a circulação de B sobre a própria l. de f., com o sentido desta, obtemos
(Prob. 124)
[1]


Como o campo B é não conservativo, existem pontos onde rot B ≠ 0 e não existe um


escalar ϕ tal que B = grad ϕ (pois caso contrário seria rot B = 0 ), visto que

rot gradϕ = 0 ).
Consideremos agora uma aplicação da lei de Laplace, por exemplo, calculando a força,
por unidade de comprimento, entre dois fios rectilíneos e infinitos, colocados
paralelamente um ao outro, percorridos pelas correntes estacionárias i1=4 A e i2= 3 A,
distantes de d=1 m (Prob. 123).
[2]
61
A força entre os fios é de atracção. A experiência mostra que fios percorridos por
correntes no mesmo sentido exercem entre si uma força de atracção, enquanto que fios
percorridos por correntes com sentidos contrários exercem entre si uma força de
repulsão. É ao fim e ao cabo, ao contrário das forças eléctricas entre cargas do mesmo
sinal e entre cargas de sinais contrários.
Correntes Volumétricas

 µ i
Na expressão B = 0 , temos que B → ∞ quando r → 0 . Na realidade esta
2π r
singularidade não existe, pois quando nos aproximamos do fio vemos que ele não é
filiforme e temos de passar a considerar a sua espessura.
S
J
Assim, nas expressões das leis de Biot
Savart e de Laplace, o produto ids , válido
para circuitos filiformes, tem de ser
substituído. Se tivermos em conta que
dq
i=
, podemos escrever:
dt
[2]
Isto significa que eu posso escrever expressões semlhantes para as leis de Biot-Savart e



de Laplace, substituindo ids por dqv ou por Jdv .
62
[3]
Por exemplo, no caso do campo de indução magnética criado por um condutor

percorrido por uma densidade de corrente J , tem-se

µ
B ( P) = 0
4π
J
∫∫∫
[ J × gradP r ]dv
r2
dv
r
Potencial vector A

Já vimos que B é um campo não conservativo e portanto não existe um escalar ϕ tal

que B = grad ϕ .

Contudo, vamos ver de seguida que B é um campo solenoidal, dado que existe um

vector A tal que:


B = rotA
Nestas condições, tem-se ainda
div

B= 0


div
rotα = 0
Visto que para um vector α qualquer
.



Ao vector A chama-se potencial vector e portanto as relações entre os campos E e e B

e os potenciais V e A , tomam a forma:




E e = − gradV ; B = rotA .

Considere-se a expressão vista anteriormente para o campo B criado por uma corrente

volumétrica de densidade J :



µ0
J × grad P r
B ( P) =
dv
4π ∫ ∫ ∫
r2
[
]
Tendo em conta que
[4]
63
O ponto Q é o ponto “potenciante” no interior
do condutor, isto é, é o ponto onde existe a

corrente J .
J
X dv
Q

Quando P for exterior a dv, tem-se rot P J Q = 0 visto que as coordenadas dos pontos

P e Q são independentes. A densidade J só depende das coordenadas do ponto Q,
enquanto que as derivadas que intervêm no rotacional dependem das coordenadas do

ponto P. Quando P for interior a dv, isto é, P≡Q, tem-se rot Q J Q ≠ 0 , contudo o

rot Q J Q
termo
dv é um infinitésimo no integral.
r

O segundo termo da expressão do campo B é assim igual a zero. Resta o primeiro
termo.

No respeitante ao primeiro termo, poderia-se provar que desde que a densidade J seja
finita e contínua e que admita derivadas de segunda ordem finitas em todos os pontos do
espaço, o integral de volume e o operador rotacional aplicado no ponto P podem trocar
de posições, podendo-se escrever:
[5]
64
Compare-se agora esta expressão com a expressão do potencial eléctrico criado por uma
distribuição de carga eléctrica em volume. Neste caso tem-se:
V ( P) =
1
4π ε 0
∫∫∫
V
ρ
dv
r
Repares-e que a densidade ρ que aparece na expressão de V é substituída pela densidade


de corrente J na expressão do potencial vector A .

Podemos dizer assim que as “fontes” do campo E e e do potencial V são as cargas,



enquanto que as fontes do campo B e do potencial A são as correntes; ρ e J são as
densidades de carga e de corrente.
•
 
No caso de um circuito filiforme e como ids = Jdv , o potencial vector é dado
por:
•




Recorde-se de novo que se B = rotA , tem-se div B = 0 (pois div rotα = 0 )

o que está de acordo com o facto das l. de. F. de B serem fechadas:
[6]
B
B
O fluxo que entra é igual ao fluxo
que sai.
div B=0
Arbitrariedade dos Potenciais



Os potenciais V e A não são definidos univocamente. Como E e = − grad V , o
potencial V é definido a menos de uma constante :
V '= V + k



Como B = rotA , o potencial A é definido a menos de um escalar arbitrário ϕ ,

 
A' = A + grad ϕ
Visto que
[7]
65