Matemática
Pedro Paulo
GEOMETRIA ESPACIAL XI
A seguir, nós vamos analisar a relação entre
alguns sólidos e as esferas. Os sólidos podem estar
inscritos ou circunscritos a uma esfera. Lembrando:
2 – CILINDRO E ESFERA
2.1 – Cilindro inscrito
A figura INscrita está dentro da outra;
A figura CIRCUNscrita está fora da outra;
1 – CUBO E ESFERA
1.1 – Cubo inscrito
Figura 3: cilindro inscrito em uma esfera
Sejam , o raio da base e a altura do cilindro
e
o raio da esfera. Note que a distância entre o
centro da esfera e a base do cilindro é
, formando
um triângulo retângulo. Por Pitágoras, temos:
( )
Figura 1: cubo inscrito em uma esfera
Sejam a aresta do cubo e o raio da esfera.
Note que a diagonal do cubo (que vale √ ) é igual ao
diâmetro da esfera (que vale ). Logo:
2.2 – Cilindro circunscrito
√
1.2 – Cubo circunscrito
Figura 4: cilindro circunscrito a uma esfera
Sejam , o raio da base e a altura do cilindro
do cubo e
o raio da esfera. Na figura à esquerda,
note que
. Na figura à direita, note que
.
Assim, para o cilindro circunscrito, tem-se:
Figura 2: cubo circunscrito a uma esfera
Sejam a aresta do cubo e o raio da esfera.
Note que a aresta do cubo (que vale ) é igual ao
diâmetro da esfera (que vale ). Logo:
1
Como a altura do cilindro é o dobro do raio da
sua base, a sua secção meridiana é um quadrado, isto
é, o cilindro é um cilindro equilátero.
Geometria
CASD Vestibulares
3 – CONE E ESFERA
4 – OCTAEDRO REGULAR E ESFERA
3.1 – Cone inscrito
4.1 – Octaedro regular inscrito
Figura 5: cone inscrito em uma esfera
Figura 7: octaedro regular inscrito em uma esfera
Sejam , o raio da base e a altura do cone e
o raio da esfera. Note que a distância entre o centro
da esfera e a base do cone é
, formando um
triângulo retângulo. Por Pitágoras, temos:
Sejam a aresta do octaedro regular e o raio
da esfera. Observando o quadrado que divide o
octaedro ao meio, note que a diagonal do quadrado
(que vale √ ) é igual ao diâmetro da esfera (que vale
).Assim, tem-se:
(
)
√
3.2 – Cone circunscrito
√
4.2 – Octaedro regular circunscrito
Figura 6: cone circunscrito a uma esfera
Sejam , e o raio da base, a altura e a geratriz do
cone e o raio da esfera. Na figura à direita, tem-se
que
,
,
,
e que
. Usando Pitágoras no triângulo
, tem-se:
Figura 8: octaedro regular circunscrito a uma esfera
(
)
Note que
, ̂
logo os triângulos retângulos
semelhantes. Então, tem-se:
)
√(
̂
̂
e
e
√(
)
̂ ,
são
Sejam a aresta do octaedro regular e o raio
da esfera. Na figura, é o ponto de tangência entre a
esfera e o octaedro. Então tem-se que
,
,
e
√
√
√
Como
, a área do triângulo retângulo
é
. Além disso, como ̂
,
a área do triângulo retângulo
é
.
√
CASD Vestibulares
Geometria
√
√
√
√
√
√
√
√ √
√
√
√ √
√
2
5 – TETRAEDRO REGULAR E ESFERA
√
5.1 – Tetraedro regular inscrito
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
√
)
√
(
)
)
√
√
Figura 9: tetraedro regular inscrito em uma esfera
√
Sejam ,
a aresta e a altura do tetraedro
regular e
o raio da esfera. A figura do tetraedro
regular isolado da esfera é a seguinte:
√
(
:
√
√
√
√
√
Como
é a projeção ortogonal de sobre o
plano da base, a altura do tetraedro regular é
√
5.2 – Tetraedro regular circunscrito
Figura 10 – tetraedro regular isolado da esfera
Como
, vale
.
Logo,
é o centro do triângulo equilátero
(isto é,
é baricentro, incentro, circuncentro, ortocentro).
O ponto está no segmento
e é o centro
da esfera. Então
Na figura , é o ponto médio de
. Assim,
é mediana. Logo, pela propriedade do baricentro,
se
,
e
.
Como o triângulo
é equilátero, a mediana
também é altura. Logo
. Então:
√
√
√
√
Figura 11: tetraedro regular circunscrito a uma esfera
Sejam , ,
a aresta, a altura e a área da
base do tetraedro regular e
o raio da esfera. Na
figura, o tetraedro maior foi dividiro em
tetraedros
menores, todos com área da base igual a e altura .
Sejam
e
os volumes do tetraedro maior e
de cada tetraedro menor, respectivamente. Então:
√
√
A altura do tetraedro regular é
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
√
:
√
√
Observação: A soma do raio da esfera circunscrita
com o raio da esfera inscrita é a altura do tetraedro:
)
√
√
3
, logo:
√
√
√
√
√
√
Geometria
CASD Vestibulares
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UFF - 10) Em 1596, em sua obra Mysterium
Cosmographicum, Johannes Kepler estabeleceu um
modelo do cosmos onde os cinco poliedros regulares
são colocados um dentro do outro, separados por
esferas. A ideia de Kepler era relacionar as órbitas dos
planetas com as razões harmônicas dos poliedros
regulares.
A razão harmônica de um poliedro regular é a razão
entre o raio da esfera circunscrita e o raio da esfera
inscrita no poliedro. A esfera circunscrita a um poliedro
regular é aquela que contém todos os vértices do
poliedro. A esfera inscrita, por sua vez, é aquela que é
tangente a cada uma das faces do poliedro.
4. (UEL - 06) Um joalheiro resolveu presentear uma
amiga com uma joia exclusiva. Para isto, imaginou um
pingente, com o formato de um octaedro regular,
contendo uma pérola inscrita, com o formato de uma
esfera de raio , conforme representado na figura a
seguir.
Se a aresta do octaedro regular tem
comprimento, o volume da pérola, em
, é:
a)
A razão harmônica de qualquer cubo é igual a:
a)
c) √
b)
2. (UFC - 09) Seja
igual a
.
d) √
e) √
√
b)
c)
√
d)
√
de
e)
√
5. (ENEM 2ª APLICAÇÃO - 10) Numa feira de
artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas
de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com
arame inextensível. Em certo momento, ele construiu
uma forma tendo como eixo de apoio outro arame
retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na
um cubo com medida de aresta
a) Calcule o volume da esfera inscrita no cubo .
b) Secciona-se
em mil cubos congruentes, , ,
...,
, e inscreve-se uma esfera
em cada cubo ,
. Calcule a soma dos volumes das
esferas ,
3. (UFPR - 14) Um cilindro de raio está inscrito em
uma esfera de raio , como indica a figura abaixo.
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a
imagem de um foguete, que pode ser pensado como
composição, por justaposição, de diversos sólidos
básicos de revolução.
Sabendo que, a figura, os pontos , ,
e
são
colineares,
,
,
, e
utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a
decomposição deste, no sentido da ponta para a
cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:
a) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto.
b) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone
equilátero.
c) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro
equilátero.
d) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro.
e) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.
Obtenha o maior valor de
desse cilindro seja igual a
a) √
CASD Vestibulares
b)
, de modo que o volume
c) √
d) √
e)
Geometria
4
Nível II
6. (UEPB - 12) Um cilindro reto está inscrito em um
cubo de aresta
. A relação entre o volume do cubo
e o volume do cilindro
9. (FUVEST - 06) Um cone circular reto está inscrito
em um paralelepípedo reto retângulo, de base
quadrada, como mostra a figura. A razão
entre as
dimensões do paralelepípedo é
. Então, o comprimento
a)
b)
c)
d)
e o volume do cone é
da geratriz do cone é
e)
7. (UFSCAR - 10)
A figura mostra um prisma
retangular reto de base quadrada com um cilindro
circular reto inscrito no prisma. O lado da base do
prisma mede
e a altura é dada por
( )
, com
a) √
b) √
c)
d) √
e) √
10. (FUVEST - 13) Os vértices de um tetraedro regular
são também vértices de um cubo de aresta . A área
de uma face desse tetraedro é
a) √
a) Calcule o volume do prisma para
b) Para
o volume do cilindro inscrito é
. Encontre os outros valores de para os
quais isto acontece.
8. (UNESP - 08) Um porta-canetas tem a forma de um
cilindro circular reto de
de altura e
de raio.
Sua parte interna é um prisma regular de base
triangular, como ilustrado na figura, onde o triângulo e
equilátero e está inscrito na circunferência.
A região entre o prisma e o cilindro é fechada e não
aproveitável. Determine o volume dessa região. Para
os calculos finais, considere as aproximações
e
.
√
5
b)
c) √
d) √
e)
11. (FUVEST - 14) Três das arestas de um cubo, com
um vértice em comum, são também arestas de um
tetraedro. A razão entre o volume do tetraedro e o
volume do cubo é
a)
b)
c)
d)
e)
12. (UERJ - 13) Um cristal com a forma de um prisma
hexagonal regular, após ser cortado e polido, deu
origem a um sólido de
faces triangulares
congruentes. Os vértices desse poliedro são os centros
das faces do prisma, conforme representado na figura.
Calcule a razão entre os volumes do sólido e do
prisma.
Geometria
CASD Vestibulares
13. (UERJ - 14) Uma esfera de centro e raio igual a
é tangente ao plano
de uma mesa em um
ponto . Uma fonte de luz encontra-se em um ponto
de modo que ,
e
são colineares. Observe a
ilustração:
Considere o cone de vértice cuja base é o círculo de
centro
definido pela sombra da esfera projetada
sobre a mesa.
Se esse círculo tem área igual à da superfície esférica,
então a distância ̅̅̅̅, em decímetros, corresponde a:
a)
b)
c)
d)
14. (UERJ - 10) Uma embalagem em forma de prisma
octogonal regular contém uma pizza circular que
tangencia as faces do prisma.
Desprezando a espessura da pizza e do material
usado na embalagem, a razão entre a medida do raio
da pizza e a medida da aresta da base do prisma é
igual a:
a) √
b)
√
c)
√
d) (√
)
15. (UNICAMP - 14) Considere a pirâmide reta de
base quadrada, ilustrada na figura abaixo, com lado da
base
e altura
16. (UFMG - 07) Nesta figura, estão representados o
cubo
e o sólido
:
Cada aresta do cubo mede
e os vértices do sólido
são os pontos centrais das faces do cubo.
Então, é correto afirmar que a área lateral total do
sólido
mede
a) √
b) Para
, determine o raio da esfera circunscrita
à pirâmide.
CASD Vestibulares
c)
√
d)
√
17. (UERJ - 09) A figura a seguir representa uma
caixa, com a forma de um prisma triangular regular,
contendo uma bola perfeitamente esférica que
tangencia internamente as cinco faces do prisma.
Admitindo
, determine o valor aproximado da
porcentagem ocupada pelo volume da bola em
relação ao volume da caixa.
18. (UFRJ - 08) Um cone circular reto de altura
circunscreve duas esferas tangentes, como mostra a
figura a seguir. A esfera maior tem raio de
e seu
volume é oito vezes o volume da menor.
Determine
a) Encontre o valor de
de modo que a área de uma
face triangular seja igual a
.
b) √
.
19. (ITA - 10) Um cilindro reto de altura √
esta
inscrito num tetraedro regular e tem sua base em uma
das faces do tetraedro. Se as arestas do tetraedro
medem
, o volume do cilindro, em
, é igual a
a)
Geometria
√
b)
√
c)
√
d)
√
e)
6
4. Sejam a aresta do octaedro regular e
da pérola. Então
. Além disso:
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Sejam
a aresta do cubo,
o raio da esfera
circunscrita e o raio da esfera inscrita. Então:
√
√
√
√
√
√
√
( )
√
o volume
√
√
√
5. Girando a forma em torno do arame rígido, obtemos
a figura abaixo.
2. a) Sejam a aresta do cubo e , o volume e o
raio da esfera . Então
. Logo, tem-se:
b) Como o cubo tem volume
. Como
ele foi divido em
cubos,cada cubo
tem um
volume igual a
e aresta
Sejam , o volume e o raio de cada esfera . Logo:
A soma dos volumes das esferas
Portanto, a decomposição do foguete, no sentido da
ponta para a cauda, é formada pela seguinte
sequência de sólidos: cone reto ( o cone não é
equilátero, pois
), cilindro reto
(o primeiro cilindro não é equilátero, pois
), tronco de cone e cilindro equilátero (pois
)
6. Seja
a base do cubo. A figura do plano da
base do cubo (e da base do cilindro) é a seguinte:
é
3. Usando Pitágoras no triângulo retângulo da figura:
Note que a altura do cilindro é
. Então, se o
volume do cilindro é igual a
, tem-se:
(
(
)(
)(
)
)
Sejam , ,
o raio, a altura e o volume do cilindro e
o volume do cubo. Como o cilindro está inscrito
no cubo,
e
.E
.
Note que
é raiz da equação acima, pois
( )
Logo,
é divisor de
. Dividindo
por
, tem-se que
(
)(
). Logo:
(
)(
)
√
√
√
Note que
7
√
√
√
Geometria
CASD Vestibulares
7. a) Sejam
,
a área da base e o volume do
prisma. Como a base é um quadrado de lado ,
( )
8. Seja
a base do prisma. A figura do plano da
base do cubo (e da base do cilindro) é a seguinte:
( )
( )
( )
( )
b) Seja
a base do cubo. A figura do plano da
base do cubo (e da base do cilindro) é a seguinte:
Sejam , ,
o raio, a altura e o volum do cilindro e
,
,
o lado da base, a altura, a área da base e o
volume do prisma. Como o prisma é regular de base
triangular, a sua base é um triângulo equilátero. Então,
,
e
√
Sejam ,
√
√
o raio da base e o volume do cilindro
√
( )
( )
√
√
√
( √ ) √
( )
( )
Como
Logo,
para
. De fato,
é divisor de
por
(
,
é raiz de
. Dividindo
, tem-se que
)(
). Logo:
(
)(
)
Seja
o volume da região aproveitável. Então:
9. Seja
a base do paralelepípedo. A figura do
plano da base do paralelepípedo (e da base do cone) é
a seguinte:
√
Sejam , ,
cone. Então
o raio da base, a altura e o volume do
,
e
( )
CASD Vestibulares
Geometria
8
10. A figura do problema é a seguinte:
12. A figura do plano horizontal que divide o prisma e o
sólido ao meio é a seguinte:
Sejam
a aresta do cubo e , a aresta e a área da
base do tetraedro. Como
, tem-se que
√ .
Como todas as faces do tetraedro é um triângulo
equilátero de lado √ , tem-se:
√
( √ ) √
√ √
√
Sejam
a aresta da base do prisma, e
o lado
da base das duas pirâmides hexagonais regulares.
Então
. E como os hexágonos são
regulares, o ângulo interno é
Usando a Lei dos Cossenos no triângulo
:
11. A figura do problema é a seguinte:
(
)
√
Sejam
,
, a altura, a área da base e o volume
do prisma, e ,
, a altura, a área da base e o
volume de cada pirãmide hexagonal. Então, tem-se:
(
Sejam ,
a aresta e o volume do cubo e , ,
a
altura, a área da base e o volume do tetraedro. A base
do tetraedro é um triângulo retângulo de catetos iguais
a , logo a área da sua base é
. Aa
altura do tetraedro é
, logo o seu volume
é:
) √
√
√
√
(√
) √
√
√
√
O volume
√
√
√
√
do cubo é
A razão entre o volume do tetraedro e o volume do
cubo é
Seja
o volume do sólido formado pelas pirâmides.
√
√
A razão entre o volume do sólido e o volume do prisma
é
√
√
9
Geometria
CASD Vestibulares
13. Seja um ponto em que a esfera toca o cone e o
ponto em que a reta ⃡ corta a base do cone. A figura
da secção transversal do cone é a seguinte:
Sejam , , , o raio, a altura, a geratriz e a área da
base do cone, e , o raio e a área da superfície da
esfera. Logo
,
,
Como o círculo da base do cone tem área igual à da
superfície esférica, tem-se:
Sejam
triângulos
̂
e
̂ e
̂ . Como os
são semelhantes, tem-se:
14. A figura do plano da base do prisma e da pizza é a
seguinte:
Sejam
o octógono da base, a aresta da
base e
o raio da pizza. Prolongando os lados do
octógono, obtemos os pontos
e , que são
vértices de um quadrado de lado
, onde é um
dos catetos dos triângulos retângulos dos cantos.
No triângulo retângulo
, tem-se:
√
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
)
:
(
√
)
√
(√
√
(√
)
)
√
√
Lembre-se que
CASD Vestibulares
deve ser positivo
Geometria
10
15. a) A figura do problema é a seguinte:
16. Seja o ponto médio de
. Então
O triângulo retângulo
está ilustrado abaixo:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
Sejam o vértice da pirâmide,
o ponto médio da aresta
.
Como a área
do triângulo
:
√
o centro da base e
é
, tem-se:
Logo, a aresta do octaedro é
√ .
A área lateral do octaedro é a área de
equiláteros de lado . Logo:
√
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
.
triângulos
( √ ) √
√
:
17. A figura do plano horizontal que divide o prisma e a
esfera ao meio é a seguinte:
√
b) A figura do problema é a seguinte:
Sejam , o raio e o volume da esfera, e , , e
o
lado da base, a altura, a área da base e o volume do
prisma. Como o prisma é triangular regular, a sua base
é um triângulo equilátero. Assim, o círculo máximo da
esfera de raio está inscrito nesse triângulo. Logo:
√
Sejam
o centro e o raio da esfera circunscrita à
pirâmide. Como
, o centro
está na reta vertical
. Suponha por absurdo que
está dentro da pirâmide. Nesse caso,
,
logo
. Mas,
logo
(Contradição, pois
). Assim, a
hipótese de que está dentro da pirâmide é falsa.
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
:
√
√
√
√
√
√
Como a esfera está inscrita no prisma, a altura da
esfera (que é ) é a altura do prisma, logo
( √
√
) √
√
(
√
)√
√
√
Seja a porcentagem ocupada pelo volume da bola
em relação ao volume da caixa. Logo, tem-se:
Usando Pitágoras no triângulo retângulo
(
(
11
)
:
√
( √ )
√
)
Geometria
√
√
√
√
√
√
CASD Vestibulares
18. A figura do problema é a seguinte:
19. A figura do problema é a seguinte:
V
D'
B'
6
C'
D
6
3
B
C
Sejam
,
,
,
e
a aresta e a altura do tetraedro regular
a aresta e a altura do tetraedro regular
,
,
o raio, a altura e o volume do
cilindro. Logo
,
√
√
Sejam ,
o volume e o raio da esfera maior, e
o volume e o raio da esfera menor. Então
.
(
)
(
)
(
,
e
√
Note que
equilátero
)
√
√
,
√
Como
e
são paralelos, os triângulos
são semelhantes. Assim, tem-se:
CASD Vestibulares
√
√
é o raio do círculo inscrito no triângulo
, de lado
. Então, tem-se:
√
√
√
√
( )
√
)
√
e
. Logo:
(
√
√
√
Logo,
√
e
(
√
√
√
e
)
Geometria
12
GABARITO
1. D
2. a) O volume da esfera
inscrita no cubo
b) A soma dos volumes das esferas
é
é
3. E
4. E
5. C
6. D
7. a) O volume do prisma para
é
b) O colume do cilindro inscrito também é
quando
8. O volume dessa região é
9. D
10. A
11. B
12. A razão entre os volumes do sólido e do prisma é
13. C
14. C
15. a) Para que a área de uma face triangular seja
igual a
, o valor de deve ser
b) Para
pirâmide é
, o raio da esfera circunscrita à
16. D
17. O valor da porcentagem ocupada pelo volume da
bola em relação ao volume da caixa é
√
, que é
aproximadamente
18. O valor de
é
19. D
13
Geometria
CASD Vestibulares