3. Comportamento mecânico dos materiais
Resumo dos Capítulos 3-4:
O MC exibe devido às solicitações:
, , u
Incógnitas do problema: 6+6+3=15 componentes
6 Equações deformações - deslocamento
3 Equações de equilíbrio
      u
     f   0
T
A ligação que falta são as equações que relacionam
 e 
Equações constitutivas (6):
é preciso estabelecer parâmetros que caracterizam o comportamento do MC
Ensaio uniaxial

E=tgα
α
análise geometricamente linear
Limite de linearidade

análise fisicamente linear
Análise linear
1. Definição de constantes elásticas
Módulo de Young
declive inicial do gráfico tensão - deformação
módulo de elasticidade: E = tgα
unidade: Pa, GPa=109Pa
Análise fisicamente não-linear:
módulos de elasticidade
secantes ou tangentes usam-se
juntamente com os incrementos
de tensão e de deformação

E tangente inicial
E tangente
E secante inicial

E secante
Thomas Young (1773-1829)
Efeito de Poisson
Lei de Hooke
b

E

L
h
Robert Hooke
(1635-1703)
F
h
z
L
h
x
L
L
h
x 
z 
L
h
z

x
Siméon-Denis Poisson (1781-1840)
Δh: variação da altura < 0
ΔL: variação do comprimento > 0
: coeficiente ou número de Poisson (sem unidade)
extensão na direcção transversal à força aplicada
razão negativa
extensão na direcção da força aplicada
y
F
u
Assume-se distribuição uniforme
b
L
h
h
x
Módulo de distorção, Módulo de corte (GPa)
Módulo de volume (“bulk”) K (GPa)
 xy 
u
h
 xy 
F
Lb
xy
G
 xy
1
 V  3 m  m
K
E, , G, K: constantes elásticas do material
2. Definições ligadas ao comportamento do material
Material homogéneo: o comportamento não varia com a posição (aço)
Material heterogéneo: betão ?, rochas ?, solos ?, compósitos
Material isotrópico: o comportamento não varia com a direcção (aço)
Material não-isótrópico e ortotrópico: betão ?, madeira, compósitos
3. Materiais homogéneos isotrópicos em análise linear
Duas constantes elásticas são suficientes para descrever o comportamento
do material, habitualmente usam-se E e ν
y
z
 
x
x
Carga na direcção de x
G
E
21   
K
E
0
31  2 
   1;1 / 2
Valor negativo obtém-se
em materiais não-homogéneos
Condição necessária
e suficiente de isotropia
Comportamento linear
Consequência
da lei constitutiva
  1/ 2
Lei de Hook generalizada
  C 
  D  D  C
1
incompressível
[C], [D]: Tensores simétricos da 4ª ordem
Devido às simetrias podem-se escrever
na forma matricial (6,6)
[C]: matriz de rigidez de material
[D]: matriz de flexibilidade de material
Indiferentes do referencial
Direcções principais das tensões e das deformações coincidem, inclusive a ordem
D1 
D  
 0
0 
D 
C  0 
C  





0
C


2
 1    
1
D1     1  
E
    1 
1 0 0
1
D2   0 1 0
G
0 0 1
1
2

 
1  
E
  1 
C1  
 

1   1  2  
 1   
 
1 0 0
C2   G 0 1 0
0 0 1
4. Estados planos
Quando nem carga, nem propriedades, nem geometria do MC depende do “z”
a descrição do comportamento do MC pode-se simplificar para estados planos
Tensão plana
z  0, xz  0, yz  0
Exemplos: (1) Placas com espessura fina e carga aplicada no plano da placa
(2) Superfícies dos sólidos sem carga aplicada (medição das extensões)
 x   1/ E   / E   / E
0
0
0  x 
  
   D red

1
0
0
0   y
 y    / E 1 / E   / E
  z    / E   / E 1 / E
0
0
0   0 
 
 
0
0
1/ G
0
0  0
  yz   0
  xz   0
0
0
0 1/ G
0  0
  
   red
0
0
0
0 1 / G   xy  D 2
 xy   0
 
 
  D
red
 
Apenas índices x, y e xy
 xz   yz  0


x  y  (invariante)
z   x   y   
E
1 
  D
D 
red 1
1

red 1
 
E 1  

1   2  1 
Deformação plana
z  0,  xz  0,  yz  0
Exemplos: Sólidos com espessura grossa: barragens
  C     C   
red
red 1
xz  yz  0
E
 x   y   x  y 
z 
1   1  2 

2
1   1
red 1
C1  
E  

 1 
(invariante)
Estados planos não correspondem um a outro !!!
 

1 

1 

5. Materiais ortotrópicos
Existem 3 direcções ortogonais de ortotropia
para as equações constitutivas é preciso 9 parâmetros
as componentes de matrizes [D] e [C] mudam com a rotação do referencial
os blocos de zeros terão em geral termos diferentes de zero
Alinhando o referencial com as direcções de ortotropia
 1

 Ex
  xy
D1   
Ex

   xz
 E
x

yx

Ey
1
Ey
yz

Ey
 zx 
 
Ez 
 zy 
 
Ez

1 
E z 
 1
G
 yz
D 2    0

 0

0
1
G xz
0

0 

0 

1 

G xy 
De simetria
 xy  y x

Ex Ey
 jj
 ij  
i  j
ii
Carga na direcção i
-matriz de rigidez pela inversão
-ambas sempre positivamente definidas, ou seja com determinante maior que zero
direcções de ortotropia = dir. principais de tensão = dir. principais de deformação
6. Outras designações para comportamento dos MC mais geral
Designações do comportamento têm que assumir a carga e a descarga
Comportamento Elástico: linear ou não linear: não existem deformações
permanentes, depois da descarga o MC encontra-se sem deformações


Os estados das tensões e
das deformações não
dependem da história da
aplicação das cargas


C. Elasto-plástico: existem deformações plásticas, irreversíveis, ou seja permanentes
E tangente inicial
 Et
E secante inicial
 Es
descarga linear
descarga linear

p e
elástica
plástica, permanente


p
e
elástica
plástica, permanente

Lei reversível com
histerésis, c. elástico
com atrito interno
Constantes do material dependem da historia de cargas e descargas
Tensão de cedência: transição entre o comportamento reversível e irreversível
incompressibilidade após  Y
enfraquecimento,
endurecimento
amaciamento
plasticidade
Mais rígido após a cedência
perfeita
Menos rígido após a cedência



Y
Y
Y



Comportamento viscoso: há dependência no tempo : relaxação, fluência
Modelos para o cálculo


Y

 Y ,1
Y , 0
Y

C. rígido perfeitamente
plástico

C. elasto-perfeitamente
plástico

C. elasto-plástico
com endurecimento