Ernesto Rosa
Poliedros de canudinhos rígidos possuem muitas vantagens: são fáceis de se fazer com
sucata como tubinhos de canetas, bambus etc. (mas no mercado há tubos plásticos à venda),
são ótimos nas aulas por podermos mostrar diagonais, alturas, secções etc e acabam
possibilitando construções de objetos decorativos, lustres e abajures.
Os alunos podem começar fazendo polígonos. Basta passar um fio por dentro dos
tubos, esticar e dar um nó.
Essas construções já servem para mostrar que: o triângulo é rígido enquanto que, os
outros são articulados; o triângulo é plano e os outros podem não ser. No quadrilátero, se os
quatro tubos forem de mesmo comprimento, teremos as várias possibilidades de losango,
incluindo o quadrado.
Se os tubos opostos forem de mesmo comprimento, teremos as várias possibilidades de
paralelogramos, incluindo o retângulo.
Movimentar um lado para mostrar que fica sempre paralelo ao outro oposto, se estiver no
mesmo plano.
Podemos construir quadriláteros quaisquer e movimentar os lados até obter triângulos,
trapézios etc quando possível. Mostrar também quadriláteros reversos.
Construir pentágonos, hexágonos, estrelas etc com as várias possibilidades de
articulações dos lados.
Colocar doze tubos de 10cm em um fio dando um nó, formando um dodecágono.
Movimentar os tubos para formar um triângulo retângulo (3, 4 e 5), um triângulo eqUilátero
(4, 4 e 4) e um triângulo isósceles não equilátero (5, 5 e 2), um hexágono e uma estrela.
Com oito tubos iguais, formar um octógono. Movimentar os tubos para formar um
octógono regular, um quadrado e uma estrela.
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Vamos construir um tetraedro regular?
Os alunos devem pegar seis tubos de mesmo comprimento e um fio de náilon de
comprimento maior que doze tubos, pois passará duas vezes em cada um:
Começar formando um
triângulo. Em um dos
tubos passam dois fios
prontos para abraçar o
próximo triângulo
Mais dois tubos e, em
um deles, passar dois
fios.
Colocar o sexto tubo.
Passar os dois fios pelo
sexto tubo.
Passar ainda os fios nos dois
tubos que tinham só um,
ficando todos com dois.
Puxar e dar um nó.
Surpresa.
Mostrar os triângulos equiláteros e as várias projeções do tetraedro regular.
Em um papel, desenhar o triângulo da base do tetraedro, com suas medianas.
Posicionar o tetraedro em cima, para mostrar que a sua altura vai ao baricentro da base,
usando um fio com uma chumbada de pesca pendurada. Calcular seu comprimento usando
Pitágoras.
A
H
B
G
M
Assim, como BG = 2⋅BM/3 = a 3 /3, então: H2 = AB2 − BG2 = a2− (a 3 /3)2 = 6a2/9,
BH 1 a 2 3 a 6
a3 2
.
portanto: H = a 6 /3. O volume é V =
=
⇒V=
3
3 4
3
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Mostrar que as arestas opostas são ortogonais. Isso pode ser feito, segurando o
tetraedro de modo a ter uma aresta paralela ao canto da parede e outra paralela ao rodapé.
Assim, uma aresta fica vertical e outra horizontal.
Com um elástico, mostrar as varias secções retangulares, todas de perímetro 2a, até
chegar à maior área, com um quadrado. Formar três quadrados para obter um octaedro:
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O professor de Química pode mostrar dois tetraedros (carbonos) que se encostam
apenas em um vértice (representando C2H6) ou em uma aresta (C2H4) ou em uma face (C2H2).
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
H
Peça aos alunos que construam:
a) um tetraedro com base eqüilátera e arestas laterais de outros tamanhos maiores e menores,
até inclusive ficar plano;
b) um tetraedro trirretângulo, como um canto de parede (usar pitágoras para calcular o
comprimento dos canudinhos);
c) um tetraedro com quatro arestas iguais maiores e duas iguais pequenas, colocando as
opostas iguais, (mostrar que são ortogonais).
Podemos construir pirâmides.
Fazer o primeiro triângulo com
dois tubos laterais e um para a
base. Do mesmo modo, fazer a
segunda face.
Continuar com uma após a outra,
até formar todas as faces laterais. Ficam dois fios em baixo. Colocar
Passar o fio de cima no primeiro o último tubo e passar o fio nos
tubo, fechando a pirâmide.
tubos da base para dar o nó.
Fazer vários tipos de pirâmides, variando a quantidade de faces laterais. Se as arestas
laterais forem iguais e a base for regular, teremos uma pirâmide regular. Mostrar a altura da
pirâmide com o fio de prumo já usado no tetraedro, a altura da face e o apótema. Estabelecer
as relações entre esses elementos e também com as arestas, usando pitágoras.
Duas pirâmides de mesmas bases, unidas pela base formam um “balão”.
Para fazer um balão, começar com
uma pirâmide e, quando colocar o
último tubo, não passar o fio pelos A partir do último tubo, fazer um Fazer um triângulo após o outro, até
tubos da base.
completar a volta.
triângulo, iniciando outra pirâmide.
Usando pirâmides de bases de quatro lados, obtemos o octaedro.
Vamos construir um cubo (hexaedro regular)?
Precisaremos de doze canudinhos de mesmo comprimento e um fio maior que vinte e
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quatro canudinhos:
Com quatro tubos, fazer um
quadrado. O fio passa duas vezes em
um dos tubos para começar outra
face.
Colocar mais três tubos, formando a
segunda face. Sempre o fio se cruza
no tubo de passagem à outra face.
Com outros dois tubos,
formamos a quarta face.
Com o último tubo, formamos a
quinta face e também a sexta dos
quatro tubos externos.
Mais dois tubos e temos a terceira
face. Vamos con-tornando a 1a face.
Passar o fio pelos tubos externos,
puxar e atar.
Com doze canudos já fica um pouco difícil puxar o fio. É melhor ir levando já esticado
ou, no meio da construção, puxar, fazer um nó e continuar.
Mostrar que o cubo, ao contrário do tetraedro, não fica rígido. Inclinar e mostrar os
losangos das faces.
Para fazer ficar em pé poliedros não-rígidos, há vários recursos. Tenho usado mais o
recurso da bexiga. Inflo uma bexiga no interior do poliedro até empurrar as arestas para fora,
acerto a posição dos tubos e coloco massa plástica (silicone, gesso ou cimento) nos vértices,
fazendo penetrar um pouco nos tubos. Uso um saquinho do tipo daqueles de confeitar bolo.
Deixo endurecer e retiro a bexiga. Na massa plástica, coloco pouco catalisador para ter mais
tempo.
Mostrar as várias projeções do cubo:
A última projeção pode ser obtida achatando o hexaedro regular.
Mostrar as várias secções do cubo. O hexágono pode ser obtido com um elástico.
Utilizar outros tamanhos de tubos para obter paralelepípedos. Mostrar a relação D2 =
a2 + b2 + c2.
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Prisma.
Formar a primeira face
lateral. Seguir, formando as
outras faces laterais, até a
penúltima.
Na penúltima face, fazer os
fios saírem para baixo, para
fazer a base. Poderíamos
também ter começado da
base, depois as faces laterais
e, por último, a outra base.
Passar um dos fios ao redor e
colocar o último tubo da
base. Agora vamos subir para
fazer a outra base.
Sobe, passa no último tubo,
contorna a base superior,
estica e dá um nó.
Só com fios, o prisma não
fica rígido.
Mostrar que as arestas laterais são sempre iguais. As bases são paralelas. Fazer vários
tipos de prismas, variando o número de arestas da base. Mostrar que o paralelepípedo é
prisma.
O tronco de pirâmide é construído do mesmo modo que o prisma, apenas com uma
base menor que a outra.
Em todos os casos, conferir a fórmula de Euler: V − A + F = 2.
Para mostrar que um prisma triangular pode ser decomposto em três tetraedros
equivalentes, é um pouco mais difícil.
Um prisma triangular reto pode
ser decomposto em três tetraedros
equivalentes. Por isso, cada
tetraedro possui volume igual a
um terço do volume do prisma.
Vamos começar a construção pela
base ABC.
Começamos no ponto A, para a direita e para a esquerda. Formamos o primeiro
triângulo e, um após o outro, seguindo o risco, formamos todos os triângulos. Por fim,
fazemos o triângulo externo. Esticar e dar um nó. Com essa quantidade de tubos, é um
pouco difícil esticar o náilon, como também é um pouco difícil fazer nós intermediários.
Como sugestão, usar os comprimentos: AC = 15 cm, AD = 20 cm e CD = 25 cm.
Poliedros bem construídos. Estivemos tomando o cuidado necessário ao bom
acabamento dos poliedros. Veja os desenhos abaixo:
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No primeiro desenho, o vértice é bem acabado, isto é, os fios passam de um tubo ao
outro adjacente, sem sair da mesma face. Isso dá um acabamento melhor que o do segundo
desenho, onde um fio atravessa diagonalmente, mudando de face, e existem dois tubos meio
soltos, faltando um fio.
Com um pouco de prática podemos construir mais poliedros, inclusive os outros
platônicos. O icosaedro fica muito bonito.
Esse texto se refere à oficina dada pelo
autor na Universidade do Amazonas em um
treinamento efetuado de 30/11 a 03/12/89.
Os poliedros foram feitos de taquara.
Ver o site:
www.matinterativa.com.br
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