ANÁLISE DE VELOCIDADE E ACELERAÇÃO DE MECANISMOS DE 4 BARRAS COM
ABORDAGEM GEOMÉTRICA E COMPUTACIONAL
Carlos Sergio Pivetta1; Osvaldo Prado De Rezende2; Mário Luís Campos3; Roberto
Grechi4;José Geraldo Trani Brandão5
1,2,3,4
ETEP - Faculdade de Tecnologia de São José dos Campos/Escola de Engenharia, Av. Barão do Rio
1
Branco, 882 – Jardim Esplanada CEP 12232-800, São José dos Campos - SP, [email protected],
2
3
4
[email protected], [email protected], [email protected]
5
UNESP- Universidade Estadual Paulista, Av. Ariberto Pereira da Cunha, 333 – Bairro Pedregulho,
5
12516-410 , Guaratinguetá – SP, [email protected]
Resumo: A análise de velocidade e de aceleração de mecanismos de 4 barras pode ser feita por diversos
métodos o que geralmente envolve relativos esforços matemáticos ou computacionais. Há diferentes formas
e abordagens, as quais usam recursos computacionais, tais como planilhas de cálculos, ou calculadoras
programáveis. Tais recursos permitem a criação e a simplificação de métodos buscando maior rapidez e
precisão nos resultados da análise. Este trabalho apresenta um método que permite resultados altamente
precisos e que demandam pequenos esforços matemáticos e computacionais. Consiste em utilizar os
conceitos fundamentais da Cinemática, adaptando-se um procedimento matemático adequado de cálculos
de velocidade e de aceleração de pontos de interesse do mecanismo. É usada uma abordagem geométrica
e computacional para a análise cinemática dos pontos de interesse do mecanismo. Os resultados obtidos
com a utilização deste método demonstraram que o mesmo permite facilidade de implementação, precisão,
confiabilidade e rapidez no processamento.
Palavras-chave: Análise cinemática de mecanismos 4 barras, Cálculos de velocidade e aceleração de
mecanismos, Análise computacional de mecanismos
Área do Conhecimento: III - Engenharias
Introdução
O projeto e a análise cinemática de
mecanismos articulados planos requerem atenção
e
conhecimento
específico
neste
tópico.
Geralmente são desenvolvidas abordagens
complexas que envolvem equações diferenciais,
cálculos vetoriais e matriciais e que requerem
elevados esforços matemáticos e computacionais.
Os procedimentos gráficos, quando utilizados, são
adequados para a análise cinemática de poucos
pontos de interesse. Entretanto, não permitem alta
precisão nos resultados, principalmente se
executados manualmente. Além disto, têm
limitações técnicas tais como dificuldades nos
traçados, definição de escala conveniente,
problemas com as pequenas diferenças existentes
nos ângulos de direções dos vetores de
velocidade ou de acelerações. Os métodos
gráficos, com a utilização de sistemas auxiliares
de desenho minimizam-se os erros de execução e
de leitura (FLORES e CLARO, 2007).
A utilização de um método alternativo, o qual
permite evitar os problemas já citados é
apresentado neste trabalho. Este método permite
melhor
visualização
e
compreensão
do
funcionamento do mecanismo em estudo,
proporcionando facilidade de implementação ao se
utilizar calculadoras programáveis ou planilhas
eletrônicas.
Metodologia
Um mecanismo plano de 4 barras é um sistema
mecânico composto de elementos articulados. O
estudo de posição, de velocidade e de aceleração
dos
mecanismos
articulados
é
realizado
considerando-se idealmente apenas as barras de
ligação com as respectivas articulações, visando a
simplificação. Outro aspecto importante a ser
mencionado é que de uma forma geral a análise
de mecanismos articulados é feita considerandose as barras como corpos rígidos. Consideram-se
também as articulações sem folgas e sem
interferências.
A Figura 1 apresenta um esquema básico de
um mecanismo de 4 barras com as
representações normalmente usadas na análise
de posição, de velocidade e de aceleração. A
convenção de sempre numerar as peças
começando com o elo fixo (o suporte), o membro
de entrada (a segunda peça), bem como as
respectivas posições angulares (NORTON, 1999).
É ilustrada a barra fixa denominada R1, a qual é o
elo terra, ou seja, o suporte fixo do mecanismo. É
representada numa posição horizontal, a qual
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1
geralmente é utilizada no estudo tradicional de
mecanismos. O ponto O2 é convencionalmente
definido como a origem no plano cartesiano xy. A
barra de entrada R2 tem sua posição definida pelo
ângulo θ2, medido positivamente no sentido antihorário. A barra intermediária R3 e a de saída R4
têm suas posições definidas, respectivamente,
pelos ângulos θ3 e θ4 com valores medidos
positivamente no sentido anti-horário.
α3
ω3
y
P
R5
B
R3
α2
A
α
α4
θ3
ω4
ω2
R4
R2
θ2
O2
θ4
R1
O4
x
Figura 1 - Esquema de um mecanismo de 4 barras
A estrutura ABP refere-se ao posicionamento
de um ponto de interesse P, definido pela barra R5
e pelo ângulo α. As velocidades e acelerações
angulares das barras R2, R3 e R4 são denominadas
respectivamente de ω2, ω3, ω4 e α2, α3 e α4. Ao
movimentar o mecanismo acionando a barra R2 o
ponto P, o qual pertence à peça intermediária,
descreve uma trajetória denominada curva
acopladora (MANSOUR & OSMAN, 1970).
Os comprimentos das barras determinam as
características de funcionamento do mecanismo.
De acordo com Norton (1999), utilizando-se a Lei
de Grashof, que é uma relação simples para
predizer o comportamento rotacional das barras,
pode-se determinar rapidamente o tipo de
mecanismo presente. Esta lei é descrita
matematicamente pela expressão 1:
S + L <= P + Q
1
Sendo
S
e
L,
respectivamente,
os
comprimentos da barra menor e da maior, P e Q,
os comprimentos das demais barras.
Se a condição descrita for atendida, o
mecanismo será do tipo Grashof, e a menor das
barras, ao funcionar, poderá girar 360º em relação
ao plano fixo do sistema. Desta forma,
observando-se a Figura 1, de acordo com Mabie &
Ocvirk (1980), pode-se predizer, em função das
dimensões das barras, as seguintes possibilidades
de mecanismos de 4 barras:
a) dois mecanismos tipo manivela-balancim,
diferentes, quando a menor barra for a manivela (
a barra motora), R2 ou R4;
b) mecanismo manivela-dupla, quando a menor
barra for a fixa, R1;
c) mecanismo balancim-duplo, quando a menor
barra for a R3.
Se a condição de Grashof não for atendida, o
mecanismo resultante será do tipo balancim-duplo.
Caso haja igualdade na Expressão 1 o mecanismo
será do tipo Grashof, o qual é chamado de
especial e poderão ocorrer problemas quando as
barras ficarem alinhadas (NORTON, 1999).
A análise de velocidade e de aceleração de um
ponto de interesse do mecanismo pode ser feita
por vários métodos. Alguns deles tornam-se mais
interessantes, dependendo do caso, mas possuem
limitações. Dentre as alternativas tem-se os
métodos gráficos, nos quais se usam os polígonos
das velocidades e das acelerações, empregando
os conceitos de velocidade e de aceleração
relativas. Outros métodos de análise utilizam
álgebra complexa, equações diferenciais, métodos
vetoriais e matriciais etc.
A velocidade de um ponto de interesse do
mecanismo pode ser determinada utilizando-se a
Expressão 2 ( MABIE & OCVIRK,1980; UICKER,
PENNOCK & SHIGLEY,2003):
v = lim
∆t → 0
∆s
∆t
2
A aceleração de um determinado ponto de
interesse do mecanismo pode ser determinada
utilizando-se a Expressão 3 (MABIE & OCVIRK ,
1980) ; UICKER, PENNOCK & SHIGLEY
(2003):
a = lim
∆t → 0
∆v
∆t
3
Mabie & Reinholtz (1987) publicaram um
programa em FORTRAN com as rotinas para o
cálculo de velocidades e acelerações de um
mecanismo de 4 barras.
Mansour e Osman (1970) apresentaram o
método iterativo para o cálculo da velocidade e da
aceleração de mecanismos de 4 barras dos tipos
manivela-balancim
e
manivelas-duplas.
A
manivela é considerada o elo motor, ou seja, de
entrada. Para pequenos incrementos aplicados no
ângulo de posição θ2 da barra de entrada, por
meio de um modelo matemático não linear, as
raízes são determinadas. Então, a posição do
ponto P da barra intermediária é determinada.
Desta forma, o pequeno incremento angular em θ2
causa uma perturbação de proximidade da
posição anterior.
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2
O método de Mansour e Osman exige um
relativo esforço matemático, pois a velocidade e a
aceleração são obtidas fazendo-se a diferenciação
parcial das equações de posição e de velocidade.
Requer também, o uso de duas equações da
circunferência com centros em A com raio R3 e em
O4 com raio R4 e, expansão de série de Taylor
para obtenção da posição do ponto B. Além disto,
é necessário recorrer ao método iterativo de
Newton-Raphson e estabelecer um erro para as
iterações. Mabie & Ocvirk (1980) apresentaram o
método de diferenciação gráfica que também
requer trabalho elevado e não permite muita
precisão.
Usando-se de uma abordagem geométrica,
Uicker, Pennock & Shigley (2003) apresentaram
equações para a determinação das posições do
ponto de interesse P conforme ilustrado na Figura
1. Esta abordagem é descrita com o auxilio da
Figura 2 e as Expressões 4 até 18.
Empregando o recurso geométrico pode-se
definir uma barra imaginária S de ligação entre os
pontos A e O4, formando assim os dois triângulos
O2AO4 e ABO4.
y
7
γ = ± cos [ (R3 + R4 - S ) / ( 2 R3 R4 )]
8
-1
2
-1
2
2
2
2
2
Os sinais “+” ou “-“ dos valores de γ serão os
resultados, respectivamente, para configurações
de mecanismo de 4 barras aberta ou fechada.
Para os ângulos de posição da barra de
entrada R2 de 0 ≤ θ2 ≤ 180º os valores de θ3 e θ4
são determinados pelas Expressões 9 e 10:
θ3 = φ - β
θ4 = 180º - λ - β
9
10
Para ângulos de posição da barra de entrada
R2 de 180º ≤ θ2 ≤ 360º os valores de θ3 e θ4 são
determinados pelas Expressões 11 e 12:
θ3 = φ + β
11
θ4 = 180º - λ + β
12
O ponto O2 é a referência e as posições dos
pontos A, B e P em relação a esta referência
podem ser determinadas pelas Expressões 13, 14,
15, 16, 17 e 18:
P
R5
B
α
R3
γ
θ3
A
λ = cos [ (R4 + S - R3 ) / ( 2 R4 S )]
φ
xA = R2 cos θ2
13
yA = R2 sen θ2
14
xB = R2 cos θ2 + R3 cos θ3 = R1 + R4 cos θ4
15
yB = R2 sen θ2 + R3 sen θ3 = R4 sen θ4
16
xP = R2 cos θ2 + R5 cos ( θ3 + α)
17
yP = R2 sen θ2 + R5 sen ( θ3 + α)
18
R4
R2
S
λ
θ2
θ4
β
O2
R1
O4
Figura 2 – Esquema do mecanismo
determinar as posições dos pontos P e B.
x
para
Conhecendo-se os comprimentos das barras
R1, R2, R3, R4, R5, os ângulos de posição θ2 e α, e
utilizando-se a lei dos cosenos, é possível
determinar facilmente os valores de S, os ângulos
θ3, θ4, β, γ, φ, e conseqüentemente as
coordenadas dos pontos P e B, considerando-se a
origem no ponto O2.
As Expressões 4, 5, 6, 7 e 8 são usadas para a
determinação dos valores mencionados que se
referem à fase em estudo:
S = ( R1 + R2 – 2 R1 R2 cos θ2 )
2
2
1/2
4
β = cos [ (R1 + S - R2 ) / ( 2 R1 S )]
5
φ = cos [ (R3 + S - R4 ) / ( 2 R3 S )]
6
-1
-1
2
2
2
2
2
2
Ao se aplicar uma mínima perturbação na barra
de entrada R2, ou seja, uma mínima variação no
ângulo de posição θ2 da barra de entrada, o
deslocamento angular, e conseqüentemente o
movimento do ponto A, durará um tempo mínimo
∆t. Este tempo terá o mesmo valor para executar
os deslocamentos dos pontos B e P, da posição
inicial até a final. De acordo com as Expressões 2
e 3, quanto menor for o deslocamento angular de
θ2, menor será o tempo ∆t, o qual tenderá a zero, e
então, as velocidades e as acelerações médias
tenderão ao valor das instantâneas.
Quando o valor de ∆t for muito pequeno, as
velocidades e as acelerações nas direções x e y,
bem como as resultantes, terão valores muito
precisos.
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3
A Figura 3 ilustra uma trajetória genérica do
ponto P saindo da posição Pi-1 e chegando na
posição Pi.
Para se determinar a velocidade e a aceleração
médias do ponto P nas direções x e y neste
intervalo pode-se utilizar as Expressões 19, 20,
21, 22, 23 e 24.
Os índices “i“ e “i-1“ indicam os valores de
posição, velocidade e aceleração do mecanismo
na posição atual e na posição anterior,
respectivamente.
vxPi = ( xPi - xPi-1 ) / ∆t
19
vyPi = (yPi – yPi-1) / ∆t
20
2
2 1/2
vPi = (vxPi + vyPi )
21
axPi = (vxPi – vxPi-1) / ∆t
22
ayPi = (vyPi – vyPi-1) / ∆t
23
2
2 1/2
aPi = (axPi + ayPi )
cujos resultados são apresentados nas Tabelas
S6-1 e S7-1 do apêndice F de Norton (1999). As
dimensões do mecanismo de 4 barras foram
especificadas em pés (ft do sistema inglês) e
neste trabalho foram convertidas para mm.
Os dados do mecanismo de 4 barras utilizados
neste exemplo, com as dimensões em mm são:
R1 = 1828,8 (6 ft), R2 = 609,6 (2 ft), R3 = 2133,6
(7ft), R4 = 2743,2 (9ft) e R5 = 1828,8 (6ft). Os
ângulos de referência são θ2 = 30º e α = 30º. A
velocidade angular constante é ω2 = 10 rad/s,
portanto, aceleração angular α2 = 0. A Figura 4
ilustra a fase do mecanismo em estudo para θ2 =
30º.
B
P
24
y
Pi
ω2
α2
Pi -1
yPi yPi - 1
trajetória do ponto P
A
O2
O4
Figura 4 – Esquema da fase do mecanismo
x
xPi -1
xPi
Figura 3 – Ilustração de uma trajetória genérica do
ponto P
O valor de ∆t pode ser determinado pela
Expressão 25, obtido em segundos ao se utilizar
∆θ2 em graus e N em rps:
∆t = ∆θ2 / ( 360 N )
Usando-se o valor incremental do ângulo de
posição da barra de entrada no valor de θ2 = 0,1º,
o qual representará um pequeno intervalo de
-4
tempo ∆t = 1,74533 . 10 segundos.
As posições dos pontos B e P foram
determinadas considerando-se a barra R2 girando
no sentido anti-horário. As Figuras 5 e 6 ilustram
as trajetórias dos pontos B e P, respectivamente.
POSIÇÕES PONTO B
25
3000
Se a velocidade angular constante ω2 for
conhecida, o valor de N pode ser determinado
pela Expressão 26:
N=ω/(2π)
2500
2000
1500
26
1000
Resultados
500
Um exemplo de aplicação para o mecanismo
de 4 barras de configuração aberta é apresentado.
Os dados do mecanismo referem-se aos
problemas Nº 6-4 com a Tabela P6-1 (págs. 281 e
282) e Nº 7-3 com a Tabela 7-1 (págs. 328 e 329),
0
-1000
-500
0
500
1000
Figura 5 Trajetória do ponto B
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4
A Figura 7 ilustra o sentido de medição dos
ângulos θvB e θvP referentes às posições dos
vetores velocidade vB e vP, e analogamente para
os ângulos de posição das acelerações θaB e θaP.
POSIÇÕES DO PONTO P
3000
2500
θvP
Pi
2000
vP
1500
Figura 7 Ângulo de
velocidade e aceleração
1000
posição
dos
vetores
500
Tabela 3 – Velocidades dos pontos P
0
-1400
-1200
-1000
-800
-600
-400
-200
0
Figura 6 Trajetória do ponto P
Os resultados obtidos com a aplicação do
método proposto, para o exemplo citado, são
fornecidos nas Tabelas de 1 a 6.
A Tabela 1 apresenta as coordenadas de
posição dos pontos B e P respectivamente xB , yB
e xP, yP nas proximidades de θ2 = 30º. Os valores
para a posição θ2 = 30º serão destacados em
negrito.
Tabela 1 – Coordenadas dos pontos B e P
θ2
[º]
[mm]
[mm]
[mm]
[mm]
29,8
567,822
2436,202
-356,434
1903,123
29,9
569,525
2437,083
-355,288
xB
yB
xP
yP
θ2
[º]
29,8
vxP
[m/s]
6,577
vyP
[m/s]
10,612
12,485
θvP
[º]
58,211
29,9
6,566
10,593
12,463
58,207
30,0
6,555
10,573
12,441
58,203
30,1
6,544
10,554
12,418
58,199
30,2
6,533
10,535
12,396
58,195
vP
[m/s]
As acelerações dos pontos B e P e as orientações
θaB e θaP das posições dos vetores aB e aP nas
proximidades do ângulo θ2 = 30º referente à
posição da barra de entrada R2 são apresentadas
nas Tabelas 4 e 5.
Tabela 4 – Acelerações do ponto B
axB
[m/s2]
ayB
[m/s2]
aB
[m/s2]
1904,971
θ2
[º]
29,8
-108,508
-106,185
151,820
θaB
[º]
224,380
-109,002
-106,096
152,111
224,226
30,0
571,225
2437,961
-354,144
1906,817
29,9
30,1
572,922
2438,835
-353,001
1908,659
30,0
-109,492
-106,006
152,400
224,073
1910,497
30,1
-109,979
-105,913
152,686
223,921
30,2
-110,464
-105,819
152,970
223,770
30,2
574,616
2439,707
-351,861
As velocidades dos pontos de interesse B e P e
as orientações θVB e θVP das posições dos vetores
velocidade vB e vP nas proximidades do ângulo
de posição θ2 = 30º da barra de entrada R2 são
apresentadas nas Tabelas 2 e 3.
Tabela 2 – Velocidades dos pontos B
θ2
[º]
29,8
vxB
[m/s]
9,779
vyB
[m/s]
5,066
11,014
θvB
[º]
27,386
29,9
9,760
5,048
10,988
27,346
30,0
9,741
5,029
10,963
27,306
30,1
9,722
5,011
10,937
27,266
30,2
9,703
4,992
10,912
27,226
vB
[m/s]
Tabela 5 – Acelerações do ponto P
θ2
[º]
29,8
axP
[m/s2]
ayP
[m/s2]
aP
[m/s2]
-61,628
-110,415
126,449
θaP
[º]
240,832
29,9
-62,058
-110,607
126,827
240,705
30,0
-62,487
-110,796
127,203
240,588
30,1
-62,914
-110,983
127,575
240,452
30,2
-63,340
-111,167
127,946
240,327
A Tabela 6 apresenta os resultados obtidos na
utilização do método proposto fornecendo as
velocidades angulares ω3 e ω4 das barras R3 e R4,
respectivamente. Também são fornecidas as
acelerações angulares α3 e α4, respectivamente,
para as barras R3 e R4.
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5
Tabela 6 – Velocidades e acelerações angulares
das barras R3 e R4
θ2
[º]
29,8
ω3
[rad/s]
6,000
ω4
[rad/s]
-4,010
α3
[rad/s2]
25,644
α4
[rad/s2]
53,067
29,9
5,996
-4,001
25,863
53,199
30,0
-5,991
-3,992
26,080
53,331
30,1
5,986
-3,982
26,296
53,461
30,2
5,982
-3,973
26,511
53,590
Discussão
Ao se comparar os resultados das Tabelas 7, 8,
9 e 10 referentes aos dados obtidos pelo método
proposto com os dados da referência, cujas
unidades foram fornecidas no sistema inglês, por
Norton (1999), para o mecanismo de 4 barras de
configuração aberta, pode-se observar que os
erros nos valores obtidos são muito pequenos. As
Tabelas 7 e 8 apresentam a comparação das
velocidades e das acelerações do ponto P e as
posições dos vetores vP e aP para o ângulo de
posição θ2 = 30º da barra R2, nas quais observa-se
que há grande precisão. As Tabelas 9 e 10
apresentam os resultados das velocidades e das
acelerações angulares das barras R3 e R4,
comparados com a referência, e também neste
caso, pode-se verificar grande precisão.
Tabela 7 – Velocidades e acelerações do ponto P
e ângulos vetores (NORTON, 1999)
θ2
[º]
vP
[ft/s]
θvP
[º]
aP
[ft/s2]
θaP
[º]
30,0
40,8
58,2
419
240,4
Tabela 8 – Velocidades e acelerações do ponto P
e ângulos dos vetores obtidos pelo método
proposto
θ2
[º]
30,0
vP
[ft/s]
40,815
θvP
[º]
58,203
aP
[ft/s2]
417,331
θaP
[º]
240,578
Tabela 9 – Velocidades e acelerações angulares
das barras R3 e R4 (NORTON,1999)
θ2
[º]
ω3
[rad/s]
ω4
[rad/s]
α3
[rad/s2]
α4
[rad/s2]
30,0
-6,0
-4,0
26,1
53,3
Tabela 10 – Velocidades e acelerações angulares
das barras R3 e R4 obtidos pelo método proposto
θ2
[º]
ω3
[rad/s]
ω4
[rad/s]
α3
[rad/s2]
α4
[rad/s2]
30,0
-5,991
-3,992
26,080
53,331
Conclusão
O procedimento desenvolvido e aqui discutido
apresentou resultados adequados e satisfatórios,
permitiu analisar um mecanismo de 4 barras
utilizando-se o MS Excel para os cálculos
propostos e poderá ser implementado em
calculadoras
programáveis.
Este
método
possibilita elevada precisão nos resultados, ao se
adotar um valor muito pequeno ângulo incremental
∆θ2 de acordo com as necessidades estabelecidas
para o problema em estudo e requer pequeno
esforço matemático e computacional. Outro ponto
positivo importante refere-se ao fato de que o
aprendizado do aluno e até as aplicações
profissionais na área de Engenharia tornam-se
mais claras e permitem melhor visualização dos
movimentos dos pontos de interesses dos
sistemas articulados.
Agradecimentos
Os autores agradecem a ETEP - Faculdade de
Tecnologia de São José dos Campos, a UNESP Universidade Estadual Paulista de Guaratinguetá,
ao CREA SP - Conselho Regional de Engenharia
Arquitetura e Agronomia do Estado de São Paulo
e ao Dr. Airton Nabarrete do ITA – Instituto
Tecnológico de Aeronáutica pelo apoio e incentivo
para a realização deste trabalho.
Referências
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Dinâmica das Máquinas. 2ª Edição. Editora Ao
Livro Técnico. 1980.
- MABIE, H. H.; REINHOLTZ, C. F. Mechanisms
and Dynamics of Machinery. 1ª Edição. New York,
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- MANSOUR, W.M., OSMAN, M. O. M, A Proximity
Perturbation Method for Linkage Kinematics.
United Engineering Center-ASME Pubication, 70Mech-4, New York, 1970.
- NORTON, R. L. Design Of Machinery – An
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Mecanismos. 1ª Edição. Edições Almedina S.A.
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XIII Encontro Latino Americano de Iniciação Científica e
IX Encontro Latino Americano de Pós-Graduação – Universidade do Vale do Paraíba
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