Escola Secundária Dr. Ângelo Augusto da Silva
11º. ano – GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II
1.ª Parte: TRIGONOMETRIA
Exercícios
1. Sabendo que cos α=0,6 e α∈4ºQ, calcule sen
α e tg α.
(Prova Global 95)
7. Dada a função real de variável real definida
1
f ( x ) = − cos x
2
:
por
a) Estude a sua paridade;
b) Calcule, com denominador
2. Simplifique a seguinte expressão:
π
⎛5 ⎞
⎛π
⎞
sen⎜ + x ⎟ + 3 cos + cos( x − π ) − 2sen⎜ π ⎟
2
6
⎝6 ⎠
⎝
⎠
(Prova Global 95)
3. É dada, em R, a função definida por G(x)=tg
2x.
a) Calcule G(π/6) e G(-3π/8).
b) Determine os zeros de G.
(Prova Global 95 - 2ª chamada)
4. Considere a seguinte função real de variável
real definida por: f(x) = 3 + 2 cos x .
⎛2 ⎞
f⎜ π⎟
⎝3 ⎠
tg
π
6
.
(Prova Global 97)
8. Dos 4 ângulos seguintes, um deles tem 1
radiano de amplitude. Indique-o:
(A)
(B)
(C)
(D)
a) Resolva a equação f(x) = 3 − 2 .
b) Calcule o valor da expressão
⎛π ⎞
⎛7 ⎞
⎛ 11 ⎞
f ⎜ ⎟ + 2 f ⎜ π ⎟ + 3tg ⎜ π ⎟
⎝4⎠
⎝6 ⎠
⎝ 6 ⎠.
c) Sabendo que sen α=1/2 e α∈2ºQ, calcule
o valor de f(α).
(Prova Global 96)
5. De um helicóptero voando a 600 m de altura
vê-se um náufrago no mar numa direcção que faz
16o com a horizontal linha média da água. A que
distância está o helicóptero do náufrago?
(Obs.: considere sen16o=0,2756, cos16o=0,9613
e tg16o=0,2867)
(Prova Global 96)
6. A cidade está agora dotada
de um novo meio de
transporte aéreo - um balão.
Este está preso por duas
cordas; uma na vertical e outra
na diagonal (corda de
segurança). Devido ao vento,
interessa que o balão fique a uma determinada
altura. O ângulo que a corda de segurança faz
com o chão é 150. Qual deve ser o comprimento
desta corda de segurança, se a corda vertical
medir 10 metros? (Determine-o a menos de 1
décima).
(Prova Global 97)
racional,
(Prova Global 97-2ªchamada)
9. Foi lançado um papagaio de
papel (P). Já foram largados 100
metros de fio e o ângulo que o fio
forma com a horizontal é de 600. A
que altura se encontra o papagaio
(use valores aproximados a uma
casa decimal)?
(Prova Global 97-2ªchamada)
10. Consideremos as funções reais de variável
real definidas por f(x)=cos(3x)-1 e g(x)=tg(π/2x).
a) Calcule f(2π/3)+2tg(3π/4).
b) Determine as soluções da equação f(x)=0
(Prova Global 97-2ªchamada)
11. Diga justificando o valor lógico da seguinte
afirmação: “ ∀α∈2ºQ cosα ⋅ tgα < 0 “
(Prova Global 97-2ªchamada)
12. A função:
(A) Co-seno tem período mínimo igual a π
rad.
(B) Seno é positiva em ]π,3π/2[.
(C) Seno é sempre decrescente, qualquer que
seja o conjunto.
(D) Co-seno tem domínio R e contradomínio
[-1,1].
(Prova Global 98)
13. Seja t a função real de variável real,
definida por t(x)=1+2cos x
a) Calcule o valor de t(4π/3).
b) Resolva, em R, a equação t(x)=1.
c) Determine o valor de t(α) sabendo que sen
α=-3/5 e α∈3ºQ.
(Prova Global 98)
14. Num parque, pretende-se fazer uma ponte
com 56 metros de comprimento, sobre um rio,
suspendendo-a, como mostra a figura, por 2
cabos iguais ( AB = BC ), fazendo um ângulo de
250 com o tabuleiro da ponte. Qual deve ser o
(C) 11,3°
(D) 45°
(Prova Global 99-2ª chamada)
18. É dado um ângulo α tal que α∈ ]-π/2,π[ ∧
cos α=-2/3. Determine o valor exacto de tg α.
(Prova Global 99-2ª chamada)
19. No intervalo [0, 2π], a equação sen x = π
tem:
(A) Zero soluções
(B) Uma solução
(C) Duas soluções
(D) Uma infinidade
de soluções
(Prova Global 2000-1ª chamada)
20. A equação sen(2 x ) =
no intervalo [0 , π]:
π
14%
16. Determine o valor exacto de
sen α + tg α
π
π
π
5
(B) 6 e 3
(C) 0 e π
(D) 6 e 6 π
(Prova Global 2000-2ª chamada)
21. O Zé resolveu medir a
distância da escola à sua casa C.
Com a ajuda de um colega
colocou uma vara (ponto A), nas
condições da figura ao lado, e
(Prova Global 98)
(Prova Global 99)
tem como soluções,
(A) 3 e 3 π
comprimento dos cabos ( AB + BC )?
“Utilize valores aproximados às décimas”
15. Numa das saídas da denominada “cota 200”,
pode ser visto o sinal de trânsito como o da
figura ao lado. Assim, a inclinação dessa estrada
é, aproximadamente, igual a:
(A) 0,14° (B) 8°
(C) 14° (D) 86°
2
3
2
∧
mediu o ângulo EAC =89°. A
distância entre a escola e a casa do Zé é
aproximadamente de:
(A) 1 km
(C) 573
(B) 1686 m
(D) 17 m
(Prova Global 2001-1ª chamada)
3
sabendo que: cos α = 5 ∧ α ∈ 4.º Q.
(Prova Global 99)
17. Num campo de futebol com 50 metros de
largura, a baliza tem
10 metros e está
20 m
afastada dos cantos
50 m
10 m
20
metros.
Um
α
20 m
jogador está situado
na linha lateral a
A
20 m
uma distância de 20
metros da linha de fundo e prepara-se para
rematar à baliza. A amplitude do " ângulo de
golo " α é:
(A) 15,5°
(B) 20,3°
22. Qual das seguintes equações tem uma única
solução em ]0,π[?
(A) tg x=0
(B) cos x=0
(C) sen x=-1
(D) cos x=1
(Prova Global 2001-1ª chamada)
23.
Seja α um ângulo do quarto quadrante do
círculo trigonométrico. Então, podemos afirmar
que:
A) sen α < 0
B) cos α < 0
C) tg α >0
D) sen α = cos α
(Prova Global 2002-1ª chamada)
24.
a) Na iluminação do
palco de uma sala de
espectáculos foram utilizados
focos especiais que dão origem
a um cone de luz com um
ângulo de incidência de 50º, como mostra a
figura.
A que altura estão colocados os focos, se
verificarmos que o diâmetro do círculo de
iluminação no chão é de 14 metros? Apresente o
resultado arredondado às unidades.
b) Simplifique a expressão:
⎛3
⎞
sen⎜ π − α ⎟ + 2 cos(π + α ) + tg (π − α )
2
⎝
⎠
(Prova Global 2002-1ª chamada)
25.
Qual o conjunto solução da equação
cos x =
A)
3
2
no intervalo
⎧π 2 ⎫
⎨ , π⎬
⎩3 3 ⎭
⎤ π π⎡
⎥⎦ − 2 , 2 ⎢⎣
?
B)
⎧π π ⎫
⎨ , ⎬
⎩6 3⎭
D)
⎧ π π⎫
⎨− , ⎬
⎩ 6 6⎭
⎧ π π⎫
C)
⎨− , ⎬
⎩ 2 2⎭
(Prova Global 2002-2ª chamada)
Soluções:
1. -0,8; -4/3
38,6m
7. par; √3/4
8. C
13. 0; x=π/2+πk, k∈Z; -3/5
19. A
20. B 21. C
22. B
2. 3√3/2-1
3. √3; -1
9. 86,6m
10. -2; x=2πk/3
14. 61,8m
15. B
23. A
24. 15m; -3cosα-tgα
4. x=π+2πk, k∈Z; √2; 0
11. falsa
16. –32/15
25. D
12. D
17. C
5. 2177m
6.
18. -√5/2