Provas - Gincana Olímpica
1
Nível A
1 - Um serralheiro tem 10 pedaços (de corrente) de 3 elos de ferro cada
um. Ele quer fazer uma única corrente de 30 elos. Para abrir e depois soldar
um elo o serralheiro leva 5 minutos. Quantos minutos no mínimo ele levará
para fazer a corrente?
2 - Um fazendeiro tinha 24 vacas e ração para alimentá-las por 60 dias.
Entretanto, 10 dias depois, ele comprou mais 6 vacas e 10 dias depois dessa
compra ele vendeu 20 vacas. Por mais quantos dias após esta última compra
ele pode alimentar o gado com a ração restante?
3 - Há três cartas viradas sobre uma mesa.
Sabe-se que em cada uma
delas está escrito um número inteiro positivo. São dadas a Carlos, Samuel e
Tomás as seguintes informações:
i) todos os números escritos nas cartas são diferentes;
ii) a soma dos números é 13;
iii) os números estão em ordem crescente, da esquerda para a direita.
Primeiro, Carlos olha o número na carta da esquerda e diz: Não tenho informações sucientes para determinar os outros dois números. Em seguida,
Tomás olha o número na carta da direita e diz:
Não tenho informações
sucientes para determinar os outros dois números.
Por m, Samuel olha
o número na carta do meio e diz: Não tenho informações sucientes para
determinar os outros dois números.
Sabendo que cada um deles sabe que
os outros dois são inteligentes e escuta os comentários dos outros, qual é o
número da carta do meio?
bxc signica o maior inteiro que não supera x. Por exemplo, b3, 5c = 3 e b5c = 5. O número de inteiros positivos x para os quais
k j 1k
j
1
x 2 + x 3 = 10 é?
4 - A notação
5 - Se
xy = 2
e
x2 + y 2 = 5,
então
x2
y2
+
f uma função real de variável
f (x) + 2f ( 2002
) = 3x para x > 0.
x
O valor de f (2) é igual a?
6 - Seja
7 - Qual é o dígito das unidades de
1
77
y2
x2
+2
é igual a quanto?
real que satisfaz a condição
...7
, onde aparecem 2002 setes?
AB = 4, BC = 2, AC
Qual é o valor de BD ?
8 - Na circunferência abaixo, temos que:
e os ângulos
AB̂D
e
C B̂D
são iguais.
é diâmetro
n para o qual existe uma reordenação
a, b, c, d = 3, 6, 9, 12) tal que o número
9 - Determine o maior natural
(a, b, c, d) de (3, 6, 9, 12)
√
n
3a 6b 9c 12d seja inteiro.
(isto é,
10 - José tem três pares de óculos, um magenta, um amarelo e um ciano.
Todo dia de manhã ele escolhe um ao acaso, tendo apenas o cuidado de nunca
usar o mesmo que usou no dia anterior. Se dia primeiro de agosto ele usou
o magenta, qual a probabilidade de que dia 31 de agosto ele volte a usar o
magenta?
11 - Encontre as soluções inteiras de
12 - Seja
x3 − y 3 = 999.
f
uma função denida nos naturais e que toma valores no con2
junto dos reais. Sabendo que f (1) = 999 e f (1) + f (2) + . . . + f (n) = n f (n)
para todo
n
inteiro positivo. Determine o valor de
f (1998).
13 - Determinar todos os pares de números naturais
a
e
b
tais que
b+1
sejam são números naturais.
a
a+1
e
b
14 - Um professor de Inglês dá aula particular para uma classe de 9 alunos,
dos quais pelo menos um é brasileiro. Se o professor escolher 4 alunos para
fazer uma apresentação, terá no grupo pelo menos dois alunos de mesma
nacionalidade; se escolher 5 alunos, terá no máximo três alunos de mesma
nacionalidade. Quantos brasileiros existem na classe?
15 - Determine todas as soluções da equação
m
inteiros não-negativos.
2
n.2n−1 + 1 = m2 ,
com
n
e
16 - O número
22
2004 +2
+1
é composto?
3
2
Nível B
1 - Para efetuar um sorteio entre os
n alunos de uma escola (n > 1) se adota
o seguinte procedimento. Os alunos são colocados em roda e inicia-se uma
contagem da forma um, DOIS, um, DOIS,.... Cada vez que se diz DOIS o
aluno correspondente é eliminado e sai da roda. A contagem prossegue até
que sobre um único aluno, que é o escolhido.
a) Para que valores de
n
o aluno escolhido é aquele por quem começou o
sorteio?
b) Se há 192 alunos na roda inicial, qual é a posição na roda do aluno
escolhido?
a
2 - Determinar todos os pares de números naturais
e
b
tais que
b+1
sejam são números naturais.
a
a+1
e
b
p(x) de coecientes inteiros poso valor numérico de p(k)?, sendo
3 - Você tem que determinar o polinômio
itivos fazendo perguntas da forma Qual é
k
um inteiro positivo à sua escolha. Qual é o menor número de perguntas
suciente para garantir que se descubra o polinômio?
4 - Considere a matriz complexa:


1 0 i
A= 0 0 0 
i 0 1
Calcule
A2004 .
5 - Determine a equação da reta que tangencia a curva de equação
3x4 − 4x3
y=
em dois pontos distintos.
6 - A função f : (−1, +∞) → R é contínua e derivável.
f (0) = 0, f 0 (0) = a e que f (x + 1) = ef (x) para todo x > −1.
Sabendo que
f 0 (3).
Calcule
7 - Determine todos os valores inteiros positivos de m para os quais o
m
m
2
2
polinômio (x + 1) + x + 1 é divisível por (x + x + 1) .
8 - Calcule
√
2
√x +1+x−1 dx.
−1 x2 +1+x+1
R1
q
9 - Determine todas as soluções reais da equação
4
2+
p
2−
√
2 + x.
X
10 - Seja
3
(x, y, z) ∈ Z
R3 ) o poliedro convexo cujos vértices são todos os pontos
x2 + y 2 + z 2 = 2. Calcule o volume de X .
(em
com
A e B matrizes
(AB)k = Ak B k para
AB = BA.
11 - Sejam
condição
reais
n×n
inversíveis. Mostre que se vale a
três valores inteiros consecutivos de
k
então
1
1
π2
1
k>0 k2 = 1 + 4 + 9 + ... = 6 . Dena f (n) =
+ ... + n12 . Prove que existe um número real a > 0 tal
π2
+ na )n2 . Calcule a e esse limite.
que existe o limite: limn−→∞ (f (n) −
6
12 - Sabemos que
1
1
1
0<k≤n k2 = 1 + 4 + 9
P
P
5