II- 1. O átomo de Hidrogênio – Solução de Schrödinger
H/Dd H/Dg
H/Db
H/Da
H  i 
m
rm
r


Ze2

m 
M  
  E rm , rM 
2m
2M
4 0 r
.C
z
rM
R


t
M
O.
x
R, r   g ( R) (r )
y


 R g  ET g R 
2
estacionári
o

Ze2

 r 
  Ee r, ,  
2
4 0 r
Etranslacional
g ( R)  A exp ikR
Átomo livre
 (r)  R(r)Yl m  , 
2.a O Momento angular
• Modelo de Sommerfeld
– Ha (n = 4,57 THz ) n = 100 MHz
– separação  Z4
• n determina semi-eixo maior de órbita
elíptica
– k onde k  n
Vext 
1 e
1  Ze e Ze 
   
 Vint 
4 0 r
4 0  r   
• degenerescência quebrada pelo efeito
de aumento de massa relativístico
En , k
Z2
  Rhc 2
n
2

3
2 Z n
4 
1

a


O
(
a
)


2 
n k 4


2.b O Momento angular – e a força central
E
E

2

2
v 2  V (r ) 
vr2 


v
2
2
r
d 
L0
dt

 v2  V (r )


1 2
1 2 1
L  V (r ) 
pr 
p2  cos12  p2  V (r )
2
2
2
Das constantes de movimento:
• Constantes de movimento
Lx 
Ly 
2
 Lz , L , H
Lz 
L2 
H , L  H , L2   0
• Sistema de equações diferenciais
H (r )  E (r )

  (r )  R(r)Y m  , 
l
Lz (r )  m (r )


L2 (r )  l l  1 2 (r )
3.a Solução radial
 (r)  Rn,l (r)Yl m  , 

Ze2

 r 
  Ee r, ,  
2
4 0 r
1 d  2 dR  2
l l  1


r

E

V
(
r
)
R

R


2
2
2
r dr  dr  
r
2
d
Solução assintótica: r    2 Rr    2 Ee Rr   Rr     Aeikr  Beikr
dr

•E>0
R( r )  ur  e r
•E<0
 ur    b j r j
j
   2  E   ik
A0 i kr t 
 (r , t )  e
r
En  
2
2
2
mc 2 Z
Z
a 2   R 2
2
n
n
bj 
2b j 1  j  Z a
c 
j( j  1)  l (l  1)
3.b Funções radiais do H
3.c Solução angular
 1   1  
1
2 

L    


2
2 
 sen   sen   sen   

LZ   i

2
2
L  l l  1
LZ  m
• Harmônicos esféricos e autovalores
s
p
d
2
l 0 1

Yl  

m
0
0
1
0
1
2


s s p
s p d
m
•
Inteiros e restritos
l  n 1
l  m  l
n 1
Degenerescência do níveis de energia
g   2l  1  n 2
l 0
3.d Funções angulares do H
4. Orbitais
http://www.shef.ac.uk/chemistry/orbitron/AOs/7g/index.html
http://webphysics.davidson.edu/Applets/java11_Archive.html
http://www.uky.edu/~holler/html/orbitals__1.html
http://bouman.chem.georgetown.edu/atomorbs/28.iso3dz2.qt
5. Energia e momento angular
n 1
Degenerescência do níveis de energia
g   2l  1  n 2
l 0
6.a Momento magnético do movimento orbital


• Momento magnético
  IAn
I   ev
• Torque do campo
 
  B

• Energia potencial
B

2r
A  r 2
   evrnˆ   e
1
2
2m

l
 
V    B


B  Bz
6.b Transições
•Transição
m=0,1
• magneton de Bohr
V
e
mB   B mB
2m
B 
e
2me
• Precessão do momento angular
L 

l sena

B Bsena gl B

B  gB
l sena

 E   B B
6c. Efeito Zeeman
E
E
B
II
E||
E = campo oem
B = campo externo cte.
I
EB
E||B
EB
observador
I
II
n
m = +1

m = 0
X
m = -1

n
B=0
absorção
emissão
n0
n
7a. Spin e o momento magnético do e- – experimento de S&G


Fz   z B   cos a B
z
z
Ag 5s (1)
????
7b. Spin e o momento magnético do e- - hipótese de U&G

s

s  ss  1  s  1 2
-e
m0

sz  ms   ms   12 , 12

e 
s   g s
s
2m

  g s  B s  g s  2,0023
s
7c. Experimento de Einstein-Haas
pêndulo de torsão


M   atom  0


 1

1
S   s  g  atom  g M

i
  
L  S  Lsol  cte
d    
L   M  B  0
dt
Erot




S  0, Lsol  0  S   Lsol ou



S z  s z zˆ  S z   s z zˆ   Lsol z
 
L2cil N 2 2


  fio
2
2I
mR
M s Z

 g s  2g l
S 2sZ
7d. Acoplamento spin-órbita

Bl

l

 0 Ze 

0 Ze 
Bl 
v  r  
l
3
3
4 r
4 mr


Bint  Bl

s
s
Z=1, r3 ~ r03  |Bint|  1 tesla !!!

Vls '  s  B'


 
V (r ) r
eE   
r r
ou

  
B'  B  v  E



 
Vls '  s  v  E


  1 V (r )
e 

Vls '   
S   mv  r 
2
m
c 
m r r



s
Calculado assim, ASO é 2x o observado!
7e. Acoplamento spin-órbita

Bl

l


s

 
d
s
 
     B'
 dt  rep
s
 
V  V '  s  T
v(t )  cβ  v(t  dt )  c(β  d β)
β  g 2d β||  g d β
 



 ds 
 ds 
      T  s
 dt  ñrot  dt  rep
g2
g 1
[e-]
[lab]
 

 g 2 a  v
r

v
1 VCoul
T   lim
 g 1 2   12
d t 0 d t
c
m c2 r r
β d β
   g s  1  B 1 VCoul  
Vls  Vls ' s  T  
s l
 2
 2  m c r r
7f. Acoplamento spin-órbita

Bl

l

s

s

j 

l
j  j  1

j

s
   2
( j  l  s)
 g s  1  B 1 VCoul  
Vls  
s l
 2
 2  m c r r
a
Vl , s   j  j  1  l l  1  ss  1
2

 
2 2 2
1
l  s  2 j l  s
Ze0
aH  g s B
4mr 3

7f. Acoplamento spin-órbita
a
Vl , s   j  j  1  l l  1  ss  1
2
a  gs B
Ze 0
4mr 3

Ze 0
* 1
a  gs B
 3 dv

4m
r
Z 2a 2
a  En
n  l (l  1)(l  12)
8a. Efeito Zeeman Anômalo
  
j l s

j

s

l

s 

l

j

 j // j



 j   B l  g s s


j



j  j
 
B  
     l  j  gs s  j
j
j


j

 j  l  s

   2
(s  j  l )
 
2 2 2
l  j  12 j  l  s





  
( l  j  s )2
  1 2 2 2
s  j  2 j  s l


8b. Efeito Zeeman Anormal

j

j

B
1
2
j  j  1
 j j  1  l l  1  ss  1  g s  j j  1  ss  1  l l  1
Utilizando o fato que gs~2 , temos:

j

j
 gJ
j  j  1 B
j  j  1  ss  1  l l  1
 gJ  1
2 j  j  1
Denominando, por sua vez, gJ o fator de Landé

j
j


 g  j   g j B j
9. Estrutura Hiper-Fina – spin nuclear

Bj


I
I
I Z  mI 

N 
I  g N I  g I
I




Bint  B j
VI , j

I  I I  1

   I  Bl
A 
 j I

me
e
1
N 

B 
B
2m p
mp
1836


I

F

j

  1  2 2 2
j I  2 F  j I

9b. Estrutura Hiper-Fina – spin nuclear
VI , j
A
  F F  1  j  j  1  I I  1 
2
A
gI N B j
j ( j  1)
•
Além de depender do momento angular total, j, o valor do campo,
que é calculado para a posição r=0 , depende da densidade de
probabilidade de encontrar o elétron nesta região espacial
•
No caso do átomo de Hidrogênio temos:

2
2
B j 0  0 g s  B  n,l 0  I  1
2
3
g I  5,58   I z  2,79 N
lF=0F=1(12S1/2) = 21cm → 1.43 GHz
0
1
j  0, I 
F 
2
1
V1 2 , 1 2 , F 0
A 3
  
2 2
V12, 12, F 1  
A 1
2  2 
10. Correção relativística dos termos de energia
•
Ao invés de utiliza a relação não-relativística entre energia e
momento, seguimos introduzindo a expressão relativística:
2
p
E
•
2m
 V  E  c m2c 2  p 2  mc2  V
Aproximando este termo através da expansão em série:
2
p
1  p2 
p
1
 1
  2 2   
2 2
m 2c 2
2m c 8  m c 
2
2
4
 p2
 1 p
E
V  
   E  ER
3 2
2
m

 8mc
•
p  i
O valor esperado desta correção de energia é:
1 p4
4
Z 2a 2  3
1 
* 4
ER 




dv

E



n
3 2
3 2 
1
8mc
8m c
n  4n l  2 
11. Desvio Lamb (shift)
•
O problema de um átomo isolado não pode
ser resolvido sem que este interaja com o
campo de radiação eletromagnética.
•
A interação virtual ocorre mesmo na ausência
de fontes.
•
Dentro de um intervalo t < /E = 1/, um
fóton de energia  é emitido e novamente
reabsorvido sem violar a relação da incerteza.
Ze2
1

4 0 r  d r
E pot
1
1

r dr
r
dr 0
r
dr
e-
Resumo do
diagrama de termos
ESCALA DE
ENERGIA
X 100
ˆ
Níveis de
energia de
Bohr
Estrutura fina
(Dirac)
Lamb-shift
Estrutura
hiperfina
equação de
Schrödinger
sem spin
Acoplam. l.s +
acréscimo de
massa
Correção
radiativa QED
Efeito nuclear
15
Potencial efetivo
V ( r)
0
V l( r  1)
V ( r)  V l( r  1)
20
V l( r  2)
V ( r)  V l( r  2)
40
 50
0
0
1
2
r
raio
3
3