Matemática Financeira
Leandra Anversa Fioreze
Rendas
Imediatas: Primeiro pagamento efetuado no final do primeiro período.
Ex: Comprei uma calculadora HP-12c Platinum em três parcelas de
R$95,00, sendo as parcelas pagas em 30, 60 e 90 dias. Qual o
preço à vista da calculadora se a taxa de juros que a loja cobra é de
5% ao mês?
Antecipadas: Primeiro pagamento efetuado no início do primeiro
período.
Ex: Comprei uma calculadora HP-12c Platinum em três parcelas de
R$95,00, com as parcelas pagas em três vezes, sendo a primeira
parcela paga no ato. Qual o preço à vista da calculadora se a taxa
de juros que a loja cobra é de 5% ao mês?
Rendas
Diferidas: Caracterizam-se por um prazo de carência ou diferimento, a
partir do qual começam a serem feitos os pagamentos.
Ex: Comprei uma calculadora HP-12c Platinum em três parcelas de
R$95,00, sendo a primeira parcela paga daqui a 90 dias. Qual o
preço à vista da calculadora se a taxa de juros que a loja cobra é de
5% ao mês?
Cálculo do Valor Presente
PV =
PV =
Cálculo do Valor Presente
Rendas Diferidas
PV
1
2 ... m
m+1 m+2
m+3
0
m+n
........
PMT
1 − (1 + i ) − n
PV = PMT
(1 + i ) − m
i
m = prazo de
diferimento
Cálculo do Valor Futuro
Rendas Antecipadas
Estimativa de um Investimento Mensal para
Fins de Aposentadoria
Sistemas de Amortização
A necessidade de recursos obriga àqueles que querem fazer
Investimentos a contraírem empréstimos e assumirem dívidas. Quando
contraímos uma dívida, devemos saldá-la efetuando pagamentos que
contém juros e amortização.
As formas de pagamento dos empréstimos são chamados de
Sistemas de Amortização
.
Os sistemas de amortização são variados, alguns prevendo
pagamento único, outros possibilitando parcelamentos.
Quando a forma de pagamento de uma dívida prevê pagamento
parcelado, há interesse, tanto por parte do devedor como do credor, em
Sistemas de Amortização
conhecer, a cada período de tempo, o saldo devedor e o total pago. Por
isso é comum a elaboração de demonstrativos que acompanham cada
pagamento do empréstimo. Esses demonstrativos devem constar o
valor de cada parcela e o saldo devedor, devendo, ainda, o valor de cada
parcela ser subdividido em juros e amortização.
Apresentamos a seguir alguns sistemas de amortização.
Sistema Americano de Amortização
Neste sistema, há pagamento periódico de juros e o pagamento
do principal se dá no final da operação, como se pode observar no
fluxo de caixa a seguir:
Sistema Americano de Amortização
Este sistema não é muito utilizado no Brasil, pois há muito riscos
para o financiador, uma vez que a maior parte da dívida será recebida
somente no final do contrato.
Da mesma forma, devido à incerteza com relação à flutuação das
taxas de juros no mercado, os financiadores preferem não expor seu
capital por prazos muito longos, em função da relação entre risco e
retorno.
O sistema americano é largamente utilizado nos empréstimos
internacionais.
Sistemas de Amortização
Sistema SAC: Sistema de Amortização Constante
Problema 1:
Um empréstimo de R$ 300.000,00 para pagamento em 5 parcelas com
juros de 4% a.m. com distribuição pelo S.A.C..
A=
A=
PV
n
300.000
= 60.000
5
J 1 = 300.000 x 0, 04 = 12.000
J 2 = 240.000 x0, 04 = 9.600
PMT1 = 60.000 + 12.000
PMT2 = 60.000 + 9.600
PMT1 = 72.000
PMT2 = 69.600
SD1=300.000 – 60.000 = 240.000
SD2=240.000 – 60.000 = 180.000
Sistema SAC
Demonstrativo
n
Juros
Amortização
Pagamento
Saldo Devedor
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
60.000,00
72.000,00
240.000,00
2
9.600,00
60.000,00
69.600,00
180.000,00
3
7.200,00
60.000,00
67.200,00
120.000,00
4
4.800,00
60.000,00
64.800,00
60.000,00
5
2.400,00
60.000,00
62.400,00
0
Total
36.000,00
300.000,00
336.000,00
Alguns argumentos favoráveis a
utilização do SAC:
O valor das prestações tende a decrescer com o tempo, caso
não haja níveis muito elevados de atualização monetária;
Os bancos exigem que o valor da prestação inicial comprometa
no máximo entre 20% e 30% do valor da renda líquida familiar
do tomador do empréstimo. Como o valor das parcelas são
decrescentes, e o salário vai sendo atualizado, diminui o risco
de inadimplência.
Sistema PRICE:
Característica Principal: Prestações constantes
PV
PMT =
1 − (1 + i ) − n
i
Problema 2:
Um empréstimo de R$ 300.000,00 para pagamento em 5 parcelas com
juros de 4% a.m. com distribuição pelo Sistema PRICE.
PMT =
PMT =
PV
1 − (1 + i ) − n
i
300.000
1 − (1 + 0,04) −5
0,04
J 2 = 244.611,87 x0, 04 = 9.784, 47
A 2 = 67.388,13 - 9.784,47 =57.603,66
SD2=244.611,87 – 57.603,66 =187.008,21
PMT = 67.388,13
J 1 = 300.000 x 0, 04 = 12.000
A1 = 67.388,13 - 12.000 =55.388,13
SD1=300.000 – 55.388,13 =244.611,87
Sistema PRICE:
Demonstrativo da dívida
n
Juros
Amortização
Pagamento
Saldo Devedor
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
55.388,13
67.388,13
244.611,87
2
9.784,47
57.603,66
67.388,13
187.008,21
3
7.480,32
59.907,81
67.388,13
127.100,40
4
5.084,01
62.304,12
67.388,13
64.796,28
5
2.591,85
64.796,28
67.388,13
0
Total
36.940,65
300.000,00
336.940,65
Problema 3:
Considere um empréstimo no total de R$10.000,00 a ser pago em
quatro prestações mensais, sabendo-se que a taxa de juros é de 5% ao
mês e que o IOF é de 3% ao ano. A base de incidência do IOF,
segundo definição da Receita Federal, “é o principal de cada uma das
parcelas”. Calcule o valor efetivamente recebido, o valor do IOF , o valor
das parcelas e a taxa efetiva da operação.
Valor das parcelas:
PV
1 − (1 + i ) − n
i
10.000
PMT =
1 − (1 + 0, 05) −4
0, 05
PMT = 2.820,12
PMT =
N
Prestação (R$)
Juros (R$)
Amortização
(R$)
Saldo Devedor (R$)
Valor do IOF
0
-
-
-
10.000,00
-
1
2.820,12
500,00
2.320,12
7.679,88
5,80
2
2.820,12
383,99
2.436,13
5.243,75
12,18
3
2.820,12
262,19
2.557,93
2.685,82
19,18
4
2.820,12
134,29
2.685,83
-0,01
26,85
Total do IOF: R$64,01
Valor efetivamente recebido: 10.000 – 64,01 = 9.935,99.
Taxa efetiva da operação:
PV
1 − (1 + i ) − n
i
9.935,99
2820,12 =
1 − (1 + i ) −4
i
PMT =
i = 5, 28%a.m.
Observação: Se a taxa de IOF fosse de 1,5% a.a., o valor do IOF
seria de R$32,01 e a taxa efetiva seria de
5,14%a.m. .
Comparação entre os dois sistemas:
1)No sistema SAC, pagam-se menos juros do que no PRICE, pois o
saldo devedor é amortizado mais rapidamente;
2)O sistema SAC envolve, portanto, menos risco para o emprestador e
menor encargo de juros para o tomador de empréstimo;
3)Para iguais condições, ou seja, mesmo valor financiado, mesma taxa
de juros e mesmo prazo, a prestação do sistema SAC começa mais
elevada do que a do sistema PRICE pois o sistema SAC amortiza de
forma mais rápida o saldo devedor;
4)O Sistema SAC exige maior comprometimento de renda nos primeiros
anos do financiamento;
5)Como pelo sistema PRICE as parcelas são todas iguais, o tomador do
empréstimo poderá optar por este sistema, pois saberá o valor que
deverá pagar em todos os períodos.
Sistema Misto
Cada prestação é a média aritmética entre os valores encontrados
para as prestações do sistema PRICE e do SAC. Isso implica que os
juros, as amortizações e saldos devedores no SAM, em cada período,
também constituam, cada um, a média aritmética entre juros,
amortizações e saldos devedores do sistemas PRICE e SAC.
Para o exemplo a seguir, nos basearemos nos dados dos problemas
1 e 2.
Problema 4:
Um empréstimo de R$ 300.000,00 para pagamento em 5
parcelas com juros de 4% a.m. com distribuição pelo S.A.M..
72000 + 67388,13
PMT1 =
2
PMT1 = 69694, 06
J1 = 300.000 x0, 04 = 12.000
A1 = 69.694,06 - 12.000 =57.694,06
SD1=300.000 – 57.694,06 =242.305,94
69600 + 67388,13
2
PMT2 = 68494, 06
PMT2 =
E assim sucessivamente.
Demonstrativo
n
Juros
Amortização
Pagamento
Saldo Devedor
0
0
0
0
300.000,00
1
12.000,00
57.694,06
69.694,06
242.305,94
2
9.692,24
58.801,82
68.494,06
183.504,12
3
7.340,16
59.953,90
67.294,06
123.550,22
4
4.942,01
61.152,05
66.094,06
62.398,17
5
2.495,93
62.398,13
64.894,06
0,04
Total
36.470,34
299.999,96
336.470,30
Comparação Gráfica entre as parcelas dos
diferentes sistemas de financiamento
Sistema de Amortização Crescente
(SACRE)
Desenvolvido pela Caixa Econômica Federal com o objetivo de
permitir, nos financiamentos de longo prazo para aquisição de casas
próprias, uma amortização mais rápida, reduzindo a parcela de juros
sobre o saldo devedor.
É uma adaptação do Sistema de Amortização Constante, pois a
primeira prestação do SACRE é encontrada da mesma forma que no
SAC.
Por exemplo, considerando uma dívida paga em 24 parcelas. Após
encontrar a primeira parcela pela fórmula do SAC, as onze seguintes
serão iguais a primeira parcela. A partir do saldo devedor, recalcula-se a
13ª. utilizando a fórmula do SAC como anteriormente, onde as parcelas
seguintes serão iguais a 13ª parcela encontrada.
Se houver TR, o saldo devedor será reajustado mensalmente pela
TR.
Por este sistema, a prestação inicial pode comprometer até 30% da
renda do financiado.
Como o saldo devedor é atualizado mensalmente, pode gerar algum
valor residual no final do período.
Problema 5:
Um mutuário adquiriu um apartamento de R$50.000,00, devendo
pagá-lo em 36 parcelas mensais pelo Sistema SACRE, sendo as
prestações atualizadas a cada 12 meses com base no saldo devedor do
período anterior. O banco cobra juros de 1% ao mês e o saldo devedor
deverá ser corrigido pela TR. Para efeito de simplificação do problema,
consideraremos uma taxa de TR fixa de 0,25% ao mês.
Cálculo das doze primeiras parcelas:
PMT =
PV
+ PV .i
n
50000
+ 50000.0, 01 = 1888,89
36
E o restante dos cálculos procede como anteriormente, nos outros
PMT =
métodos, somente cuidando que a cada doze parcelas, devemos
recalcular o valor da parcela a partir do saldo devedor.
Dica:
Na prática, a possibilidade de escolha do sistema que mais agrada
ao firmar um empréstimo, é quase impossível, pois a outra parte, a
instituição financiadora do empréstimo, oferece pouca ou nenhuma
escolha do sistema a utilizar. O que cada indivíduo deve fazer é
informar-se a respeito de cada um dos métodos de amortização e
escolher o que melhor se adequa ao seu perfil ou o que mais oferece
vantagens.