LEIS
DE
KEPLER
Os primeiros a descreverem sistemas
planetários explicando os movimentos
de corpos celestes foram os gregos.
O mais famoso sistema planetário grego
foi o de Cláudio Ptolomeu (100-170), que
considerava a Terra como o centro do
Universo (sistema geocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta
descrevia uma órbita circular cujo centro
descreveria outra órbita circular em
torno da Terra.
Nicolau
Copérnico
(1473-1543),
astrônomo polonês, criou uma nova
concepção de Universo, considerando
o Sol como seu centro (sistema
heliocêntrico).
Segundo esse sistema, cada planeta,
inclusive a Terra, descrevia uma órbita
circular em torno do Sol.
Entretanto, o modelo de Copérnico não
foi aceito pelo astrônomo dinamarquês
Tycho Brahe (1546-1601), segundo o
qual o Sol giraria em torno da Terra e
os planetas em torno do Sol.
Ao
morrer,
Brahe
cedeu
suas
observações a seu discípulo Johannes
Kepler (1571-1630), que tentou, em vão,
explicar o movimento dos astros por
meio
das
mais
variadas
figuras
geométricas.
Baseado no heliocentrismo, em sua
intuição e após inúmeras tentativas, ele
chegou à conclusão de que os planetas
seguiam uma órbita elíptica em torno do
Sol e, após anos de estudo, enunciou
três leis.
1.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÓRBITAS)
“As órbitas dos planetas em torno do Sol
são elipses nas quais ele ocupa um dos
focos.”
Numa elipse existem dois focos e a soma das
distâncias aos focos é constante.
a+b=c+d
b
a
Foco
Foco
c
d
ELIPSE
2.ª LEI DE KEPLER
(LEI DAS ÁREAS)
“A área descrita pelo raio vetor de um
planeta (linha imaginária que liga o
planeta
ao
Sol)
é
diretamente
proporcional ao tempo gasto para
descrevê-la.”A reta que une um planeta
ao Sol vare áreas iguais em tempos
iguais
Velocidade Areolar  velocidade com que as
áreas
são descritas.
A1
A1
A1
A1
A1
A1
A2
A1
Velocidade Areolar = A
t
A2
A1
Cada planeta mantém sua velocidade areolar constante ao
longo de sua órbita elíptica. Logo:
A1 = A2
t1
t2
Sol
planeta
Afélio
Afélio  ponto de maior afastamento entre o planeta e o Sol
Periélio
Periélio  ponto de maior proximidade entre o planeta e o
Sol
A2
A1
Com isso, tem-se que a velocidade no periélio é maior que no
afélio.
Afélio = 29,3 km/s
Periélio = 30,2 km/s
3.ª LEI DE KEPLER
(LEI DOS PERÍODOS)
“O quadrado do período da revolução de
um planeta em torno do Sol é
diretamente proporcional ao cubo do
raio médio de sua elipse orbital.”
Raio Médio  média aritmética entre as
distâncias máxima e mínima do planeta ao Sol.
T2 = K
R3
Planeta
T
(dias terrestres)
R
(km)
Mercúrio
88
5,8 x 107
Vênus
Terra
Marte
Júpiter
224,7
365,3
687
4343,5
1,08 x 108
1,5 x 108
2,3 x 108
7,8 x 108
Saturno
Urano
Netuno
10767,5
30660
60152
1,44 x 109
2,9 x 109
4,5 x 109
Plutão
90666
6,0 x 109
T2/R3
4,0 x 10-20
As Leis de Kepler dão uma visão
cinemática do sistema planetário.
Do ponto de vista dinâmico, que tipo de
força o Sol exerce sobre os planetas,
obrigando-os a se moverem de acordo
com as leis que Kepler descobrira?
A resposta foi dada por
Isaac Newton (1642-1727):
FORÇA GRAVITACIONAL!!!!
LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL
“Dois pontos materiais se atraem
mutuamente com forças que têm a
direção da reta que os une e cujas
intensidades são diretamente
proporcionais ao produto de suas
massas e inversamente proporcionais ao
quadrado da distância que os separa.”
F = G . m1 . m2
d2
G = constante de gravitação universal = 6,67 x 10-11 (SI)
F
F
m1
d
m2
Ainda de acordo com as Leis da Gravitação Universal:
Devido a sua enorme massa, o Sol tende a
atrair os planetas em sua direção
Quanto mais próximo do Sol, maior a
velocidade do planeta para que possa escapar
do campo de atração gravitacional do Sol
A densidade de um planeta influencia na sua
velocidade de rotação
(quanto mais denso, mais lento)
Dedução da Terceira Lei de Kepler
• Supondo a órbita circular:
G.m.M 
FG 
G.m.M

2
2
r

  m r 
2
r
Fcp  m2r 
2
G.M  2 
G.M
2
  3    3 
r
r
T 
4 2 T 2
T2
 3  3 K
G.M r
r
Note que o período de revolução depende da massa
M do corpo central e da distância do corpo em órbita
em relação ao corpo central
Intensidade do campo gravitacional g na superfície
P  m.gs

G.m.M
G.M

 gs  2
G.m.M  m.gs 
2
R
R
FG 
2

R 
Intensidade do campo gravitacional g
• Em uma altitude h
G.M.g
M  g .R2 
gs P
m

G
.
s
G.m.M g .R2 G.M

R2G.m.M

s 
  m.g   2g  g
2
r
2R  h
FG G
 .M 2 

R  h
r2 

g

R  h
Intensidade da aceleração da gravidade g em
função da latitude
• De acordo com a Primeira Lei de Newton, a Lei da
Inércia, todo corpo tende a manter seu estado de
movimento. Ou seja, se está em repouso tende a ficar
em repouso, se em movimento, tende a manter seu
vetor velocidade.
• Um corpo, na superfície terrestre encontra-se em
movimento devido a rotação planetária. Se em repouso
sobre a Linha do Equador, sua velocidade devido a
rotação terrestre é:
2.
2.
v  R  v 
.R  v 
.6370  v  1667,7 km / h
T
24
v  463,2 m/s
Órbitas Circulares
m.v 2
Fcp  P 
 m.g  v  r.g
r
r Rh 
2 
M v 
gGs .R
g
R  h2 
gGs .R
M2
R  h.

2
R  h
G
gs.M
Rhh
R
Velocidade de
de um
Velocidade
umsatélite
em órbita
satélite
emcircular
órbitaem uma
altitude h em função da
circular
em uma
intensidade da aceleração
altitude h
da gravidade
g da superfície
.
v vR
Órbita Circular Rasante
Fcp  P 
m.2 .R  m.gs 
gs


R
gs
2.


R
T
R
T  2..
gs
6370000
T  2..
 5065 ,7 s  84 min 25,7 s
9,8
Órbita Geoestacionária
gS .R2
Fcp  FG  m. .R  h  m.

2
R  h
2
2 .R  h  gS .R2  R  h 
3
3
gS .R2
 2. 


 T 
2

gS .R2
2
2
g
.
R
.
T
S
3
Rh 

h

R 
2
2
4.
3  2. 


 T 
2
9
,
8
.
6370000
.24.60.60
3
h5
,6  R TERRAm  36000
35837623
km  6370000
2
4.
2
Energia Potencial Gravitacional
U (r) = -G . m1 . m2
r


F(r) dr  F(r)(cos180)dr  f(r)dr
r
r
GMm
U  W   f (r )  dr    2 dr
r

