Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto Todas as questões encontram-se comentadas na videoaula do canal maismatemática, disponível para visualização gratuita no seguinte link: https://www.youtube.com/watch?v=TlsqGpE7Td8 NÍVEL BÁSICO 1. (G1 - ifal) Assinale a alternativa verdadeira. a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7]. b) Se C = ] – 1, 3], então , más . c) Se D = [2, 6], então , mas . d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico. e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio. 2. (G1 - UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números racionais. a) b) c) d) e) 3. (Ufmg) Considere a função Então, é CORRETO afirmar que o maior elemento do conjunto é: a) b) f (1). c) f (3,14). d) 4. (Uff) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891), “Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.” Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções humanas. Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que: a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional. b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional. c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional. d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional. e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo. 5. (Ufjf) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como sendo a diferença (b - a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, e P = [5, 12[, o comprimento do intervalo resultante de é igual a: a) 1. b) 3. c) 5. Página 1 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto d) 7. e) 9. NÍVEL INTERMEDIÁRIO 6. (Fgv) Considere as frações 1/n e 1/p, com n e p sendo números irracionais. Sobre o resultado da soma 1/n + 1/p afirma-se que pode ser: I. inteiro não nulo; II. racional não inteiro; III. irracional; IV. zero; V. imaginário puro. É correto apenas o que está contido em a) I e II. b) II e IV. c) I, II e III. d) I, II, III e IV. e) II, III, IV e V. 7. (Ufsj) Sejam r1 e r2 números racionais quaisquer e s1 e s2 números irracionais quaisquer, é INCORRETO afirmar que: a) o produto será sempre um número racional. b) o produto será sempre um número irracional. c) o produto será sempre um número irracional. d) para a razão será sempre um número racional. 8. (Epcar (Afa)) Considere os seguintes conjuntos numéricos também os seguintes conjuntos: e considere Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D, nesta ordem, é 5 a) –3; 0,5 e 2 b) c) ; –5 e 2 d) 9. (Uepg) Assinale o que for correto. 01) O número real representado por 0,5222... é um número racional. 02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional. 04) Se m e n são números irracionais então m.n pode ser racional. 08) O número real pode ser escrito sob a forma , onde a e b são inteiros e 16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real. . 10. (Uel) Considere os seguintes conjuntos: Página 2 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto I. II. III. O conjunto tem: a) Dois elementos. b) Três elementos. c) Quatro elementos. d) Oito elementos. e) Quatorze elementos. NÍVEL AVANÇADO 11. (Fuvest) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é correta? a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que . b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que é verdadeiro que . c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que . d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b é verdadeiro que . e) Qualquer que seja o número real a, com é verdadeiro que 12. (Ufpe) Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades aritméticas dos números: ( ) Se n é um número natural, então, o número é um natural par. ( ) Se a e b são números reais, e então, ( ) O produto de dois números irracionais é sempre irracional. ( ) Se n é um número natural, então, é um natural primo. ( ) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número irracional. 13. (Ita) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que afirmações: e são racionais. Das I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3é racional; II. Se r3 é racional, então é racional; III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s) a) apenas I. b) apenas II. c) apenas III. d) apenas I e II. e) I, II e III. GABARITO: 1. B 2. B 3. C 4. D 5. C 6. D 7. B 8. D 9. V F V F F 10. B 11. E Página 3 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto 12. V F F F V 13. E Página 4 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto Gabarito: Resposta da questão 1: [B] [A] Falsa, pois {1, 2, 4, 6, 7} possui 5 elementos e [1, 7] possui infinitos elementos. [C] Falsa, pois 3 2,6 . [D] Falsa, pode ser vazia. [E] Falsa, ela sempre terá elementos. Resposta da questão 2: [B] 1 A resposta correta é a [B], pois todos os elementos do conjunto 5, 0, , 9 podem ser 2 10 6 0 1 escritos como fração: –5 – , 0 , , e 9 . 2 2 3 2 Resposta da questão 3: [C] 7 7 f , 31 31 f(1) 1, f(3,14) 3,14 24 f 2 2 24 1 12 Logo o maior elemento do conjunto é f(3,14) Resposta da questão 4: [D] a) Falsa, 2. 2 2(racional ) b) Falsa, 2 2 0(racional ) c) Falsa, são infinitos d) Verdadeira e) Falsa, -3 –(-5) = 2 Resposta da questão 5: [C] Como M P [5, 10] e P N [5, 6], segue que (M P) (P N) [5, 10]. Assim, o comprimento desse intervalo é 10 5 5. Resposta da questão 6: [D] Resposta da questão 7: [B] A alternativa [B] é a incorreta, pois o produto de dois irracionais pode ser racional. Exemplo: 2 8 4 Resposta da questão 8: Página 5 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto [D] A alternativa [A] não pode ser, pois 3 A. A alternativa [B] não pode ser, pois 10 B. A alternativa [C] não pode ser, pois 5 B. Portanto, a alternativa correta é a [D], pois 3 A, 3 B e 2,31 D. 2 Resposta da questão 9: 01+ 04 = 05 (01) Verdadeiro,. 0,52222... = 47/90 (02) Falso, pois 2 é irracional. (04) Verdadeiro. 2 8 16 4 (08) Falso, ele é irracional. (16) Não, pode ser complexa Resposta da questão 10: [B] Resposta da questão 11: [E] [A] Incorreta. Tomando a 9 e b 4, segue que 9 4 13 9 4 3 2 5. [B] Incorreta. Para a 1 e b 1, obtemos a2 b2 12 (1)2 1 1 0. Porém, a b. [C] Incorreta. Qualquer que seja o número real a, temos que exemplo, a2 | a | . Observe que, por ( 1)2 | 1| 1 1. [D] Incorreta. Sejam a 1 e b 1. Temos que 1 1 e 1 1 1 1. 1 1 [E] Como 0 a 1, segue que 0 a2 a 0 a2 a 0 |a| a 0 a a. Portanto, 0 a2 a a 0 a2 a. Resposta da questão 12: V – F – F – F – V. Se n for par, então n(n 1)(2n 1) é par. Se n for ímpar, então n 1 é par e, portanto, n(n 1)(2n 1) é par. Desse modo, n(n 1)(2n 1) é um natural par para todo natural n. Página 6 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto Se a 0 e b 1, então a b 0 (1) 1 0. Porém, a4 b4 04 (1)4 1 0. O produto dos irracionais a 3 1 e b 3 1 é dado por a b ( 3 1)( 3 1) ( 3)2 12 2. Portanto, como 2 é racional, segue que o produto de dois irracionais nem sempre é irracional. Para n 11, vem n2 n 11 112 11 11 11 (11 2) 11 13 Portanto, n2 n 11 é um número composto para n 11. Sejam a um racional e b um irracional. Sabendo que a soma de dois racionais é um racional, e supondo que a b é racional, temos que (a b) a b é racional. Mas, por hipótese, b é irracional, nos levando, assim, a uma contradição. Portanto, a soma de um racional com um irracional é sempre um irracional. Resposta da questão 13: [E] Afirmação I (Verdadeira) r1 Q e r1 r2 Q , concluímos r2 Q , sabendo também que r1 r2 r3 Q concluímos que r3 Q . r2 Q e r1 r2 Q , concluímos que r1 Q , sabendo também que r1 r2 r3 Q concluímos que r3 Q . Afirmação II (Verdadeira) r3 Q e r1 r2 r3 Q , concluímos que r1 r2 Q . Afirmação III (Verdadeira) r3 Q e r1 r2 r3 Q , concluímos que r1 r2 Q , sabendo que r1 r2 Q temos 2r1 Q , ou seja, r1 Q e r2 Q . Página 7 de 8 Assunto: Conjuntos Numéricos Professor: Daniel Ferretto Resumo das questões selecionadas nesta atividade Data de elaboração: Nome do arquivo: 08/05/2014 às 16:15 Conjuntos Num?ricos Legenda: Q/Prova = número da questão na prova Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro® Q/prova Q/DB Grau/Dif. Matéria Fonte Tipo 1 ............. 113303 ..... Média ............ Matemática ... G1 - ifal/2012 ....................... Múltipla escolha 2 ............. 118866 ..... Baixa ............. Matemática ... G1 - utfpr/2012 ..................... Múltipla escolha 3 ............. 91004 ....... Baixa ............. Matemática ... Ufmg/2010 ........................... Múltipla escolha 4 ............. 91289 ....... Baixa ............. Matemática ... Uff/2010 ............................... Múltipla escolha 5 ............. 117755 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufjf/2012............................... Múltipla escolha 6 ............. 71950 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/2007 .............................. Múltipla escolha 7 ............. 125246 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2013 .............................. Múltipla escolha 8 ............. 119912 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2013 .................. Múltipla escolha 9 ............. 90888 ....... Baixa ............. Matemática ... Uepg/2010 ........................... Somatória 10 ........... 86579 ....... Não definida .. Matemática ... Uel/2009............................... Múltipla escolha 11 ........... 122020 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha 12 ........... 119730 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufpe/2012 ............................ Verdadeiro/Falso 13 ........... 110924 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2012 ................................ Múltipla escolha Página 8 de 8