Assunto: Conjuntos Numéricos
Professor: Daniel Ferretto
Todas as questões encontram-se comentadas na videoaula do
canal maismatemática, disponível para visualização gratuita no
seguinte link: https://www.youtube.com/watch?v=TlsqGpE7Td8
NÍVEL BÁSICO
1. (G1 - ifal) Assinale a alternativa verdadeira.
a) {1, 2, 4, 6, 7} = [1, 7].
b) Se C = ] – 1, 3], então
, más
.
c) Se D = [2, 6], então
, mas
.
d) A intersecção de dois intervalos numéricos é sempre um intervalo numérico.
e) A união de dois intervalos numéricos pode ser um conjunto vazio.
2. (G1 - UTFPR) Indique qual dos conjuntos abaixo é constituído somente de números
racionais.
a)
b)
c)
d)
e)
3. (Ufmg) Considere a função
Então, é CORRETO afirmar que o maior elemento do conjunto
é:
a)
b) f (1).
c) f (3,14).
d)
4. (Uff) Segundo o matemático Leopold Kronecker (1823-1891),
“Deus fez os números inteiros, o resto é trabalho do homem.”
Os conjuntos numéricos são, como afirma o matemático, uma das grandes invenções
humanas.
Assim, em relação aos elementos desses conjuntos, é correto afirmar que:
a) o produto de dois números irracionais é sempre um número irracional.
b) a soma de dois números irracionais é sempre um número irracional.
c) entre os números reais 3 e 4 existe apenas um número irracional.
d) entre dois números racionais distintos existe pelo menos um número racional.
e) a diferença entre dois números inteiros negativos é sempre um número inteiro negativo.
5. (Ufjf) Define-se o comprimento de cada um dos intervalos [a, b], ]a, b[, ]a, b] e [a, b[ como
sendo a diferença (b - a). Dados os intervalos M = [3, 10], N = ]6, 14[, e P = [5, 12[, o
comprimento do intervalo resultante de
é igual a:
a) 1.
b) 3.
c) 5.
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d) 7.
e) 9.
NÍVEL INTERMEDIÁRIO
6. (Fgv) Considere as frações 1/n e 1/p, com n e p sendo números irracionais. Sobre o
resultado da soma 1/n + 1/p afirma-se que pode ser:
I. inteiro não nulo;
II. racional não inteiro;
III. irracional;
IV. zero;
V. imaginário puro.
É correto apenas o que está contido em
a) I e II.
b) II e IV.
c) I, II e III.
d) I, II, III e IV.
e) II, III, IV e V.
7. (Ufsj) Sejam r1 e r2 números racionais quaisquer e s1 e s2 números irracionais quaisquer, é
INCORRETO afirmar que:
a) o produto
será sempre um número racional.
b) o produto
será sempre um número irracional.
c) o produto
será sempre um número irracional.
d) para
a razão
será sempre um número racional.
8. (Epcar (Afa)) Considere os seguintes conjuntos numéricos
também os seguintes conjuntos:
e considere
Das alternativas abaixo, a que apresenta elementos que pertencem aos conjuntos A, B e D,
nesta ordem, é
5
a) –3; 0,5 e
2
b)
c)
; –5 e 2
d)
9. (Uepg) Assinale o que for correto.
01) O número real representado por 0,5222... é um número racional.
02) O quadrado de qualquer número irracional é um número racional.
04) Se m e n são números irracionais então m.n pode ser racional.
08) O número real
pode ser escrito sob a forma , onde a e b são inteiros e
16) Toda raiz de uma equação algébrica do 2º grau é um número real.
.
10. (Uel) Considere os seguintes conjuntos:
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I.
II.
III.
O conjunto
tem:
a) Dois elementos.
b) Três elementos.
c) Quatro elementos.
d) Oito elementos.
e) Quatorze elementos.
NÍVEL AVANÇADO
11. (Fuvest) As propriedades aritméticas e as relativas à noção de ordem desempenham um
importante papel no estudo dos números reais. Nesse contexto, qual das afirmações abaixo é
correta?
a) Quaisquer que sejam os números reais positivos a e b, é verdadeiro que
.
b) Quaisquer que sejam os números reais a e b tais que
é verdadeiro que
.
c) Qualquer que seja o número real a, é verdadeiro que
.
d) Quaisquer que sejam os números reais a e b não nulos tais que a < b é verdadeiro que
.
e) Qualquer que seja o número real a, com
é verdadeiro que
12. (Ufpe) Analise a veracidade das afirmações seguintes, sobre propriedades aritméticas dos
números:
( ) Se n é um número natural, então, o número
é um natural par.
( ) Se a e b são números reais, e
então,
( ) O produto de dois números irracionais é sempre irracional.
( ) Se n é um número natural, então,
é um natural primo.
( ) A soma de um número racional com um irracional é sempre um número irracional.
13. (Ita) Sejam r1, r2 e r3 números reais tais que
afirmações:
e
são racionais. Das
I. Se r1 é racional ou r2 é racional, então r3é racional;
II. Se r3 é racional, então
é racional;
III. Se r3 é racional, então r1 e r2 são racionais, é (são) sempre verdadeira(s)
a) apenas I.
b) apenas II.
c) apenas III.
d) apenas I e II.
e) I, II e III.
GABARITO:
1. B
2. B
3. C
4. D
5. C
6. D
7. B
8. D
9. V F V F F
10. B
11. E
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12. V F F F V
13. E
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
[A] Falsa, pois {1, 2, 4, 6, 7} possui 5 elementos e [1, 7] possui infinitos elementos.
[C] Falsa, pois 3  2,6 .
[D] Falsa, pode ser vazia.
[E] Falsa, ela sempre terá elementos.
Resposta da questão 2:
[B]


1
A resposta correta é a [B], pois todos os elementos do conjunto 5, 0, , 9 podem ser
2
10
6
0 1
escritos como fração: –5  – , 0  , , e 9  .
2
2
3 2
Resposta da questão 3:
[C]
7 7
f  ,
 31  31
f(1)  1,
f(3,14)  3,14
 24 

f
 2 


2
24

1
12
Logo o maior elemento do conjunto é f(3,14)
Resposta da questão 4:
[D]
a) Falsa,
2. 2  2(racional )
b) Falsa,  2  2  0(racional )
c) Falsa, são infinitos
d) Verdadeira
e) Falsa, -3 –(-5) = 2
Resposta da questão 5:
[C]
Como M  P  [5, 10] e P  N  [5, 6], segue que (M  P)  (P  N)  [5, 10]. Assim, o
comprimento desse intervalo é 10  5  5.
Resposta da questão 6:
[D]
Resposta da questão 7:
[B]
A alternativa [B] é a incorreta, pois o produto de dois irracionais pode ser racional.
Exemplo:
2 8 4
Resposta da questão 8:
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[D]
A alternativa [A] não pode ser, pois 3  A.
A alternativa [B] não pode ser, pois 10  B.
A alternativa [C] não pode ser, pois 5  B.
Portanto, a alternativa correta é a [D], pois
3
 A, 3  B e 2,31 D.
2
Resposta da questão 9:
01+ 04 = 05
(01) Verdadeiro,. 0,52222... = 47/90
(02) Falso, pois  2 é irracional.
(04) Verdadeiro.
2  8  16  4
(08) Falso, ele é irracional.
(16) Não, pode ser complexa
Resposta da questão 10:
[B]
Resposta da questão 11:
[E]
[A] Incorreta. Tomando a  9 e b  4, segue que
9  4  13  9  4  3  2  5.
[B] Incorreta. Para a  1 e b  1, obtemos
a2  b2  12  (1)2  1  1  0.
Porém, a  b.
[C] Incorreta. Qualquer que seja o número real a, temos que
exemplo,
a2  | a | . Observe que, por
( 1)2  | 1|  1  1.
[D] Incorreta. Sejam a  1 e b  1. Temos que 1  1 e
1 1

 1  1.
1 1
[E] Como 0  a  1, segue que
0  a2  a  0  a2  a
 0 |a| a
 0  a  a.
Portanto,
0  a2  a  a  0  a2  a.
Resposta da questão 12:
V – F – F – F – V.
Se n for par, então n(n  1)(2n  1) é par. Se n for ímpar, então n  1 é par e, portanto,
n(n  1)(2n  1) é par. Desse modo, n(n  1)(2n  1) é um natural par para todo natural n.
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Se a  0 e b  1, então a  b  0  (1)  1  0. Porém, a4  b4  04  (1)4  1  0.
O produto dos irracionais a  3  1 e b  3  1 é dado por
a  b  ( 3  1)( 3  1)  ( 3)2  12  2.
Portanto, como 2 é racional, segue que o produto de dois irracionais nem sempre é irracional.
Para n  11, vem
n2  n  11  112  11  11
 11 (11  2)
 11 13
Portanto, n2  n  11 é um número composto para n  11.
Sejam a um racional e b um irracional.
Sabendo que a soma de dois racionais é um racional, e supondo que a  b é racional, temos
que (a  b)  a  b é racional. Mas, por hipótese, b é irracional, nos levando, assim, a uma
contradição. Portanto, a soma de um racional com um irracional é sempre um irracional.
Resposta da questão 13:
[E]
Afirmação I (Verdadeira)
r1  Q e r1  r2  Q , concluímos r2  Q , sabendo também que r1  r2  r3  Q concluímos
que r3  Q .
r2  Q e r1  r2  Q , concluímos que r1  Q , sabendo também que r1  r2  r3  Q
concluímos que r3  Q .
Afirmação II (Verdadeira)
r3  Q e r1  r2  r3  Q , concluímos que r1  r2  Q .
Afirmação III (Verdadeira)
r3  Q e r1  r2  r3  Q , concluímos que r1  r2  Q , sabendo que r1  r2  Q temos 2r1  Q ,
ou seja, r1  Q
e r2  Q .
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Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
08/05/2014 às 16:15
Conjuntos Num?ricos
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova Q/DB
Grau/Dif.
Matéria
Fonte
Tipo
1 ............. 113303 ..... Média ............ Matemática ... G1 - ifal/2012 ....................... Múltipla escolha
2 ............. 118866 ..... Baixa ............. Matemática ... G1 - utfpr/2012 ..................... Múltipla escolha
3 ............. 91004 ....... Baixa ............. Matemática ... Ufmg/2010 ........................... Múltipla escolha
4 ............. 91289 ....... Baixa ............. Matemática ... Uff/2010 ............................... Múltipla escolha
5 ............. 117755 ..... Baixa ............. Matemática ... Ufjf/2012............................... Múltipla escolha
6 ............. 71950 ....... Não definida .. Matemática ... Fgv/2007 .............................. Múltipla escolha
7 ............. 125246 ..... Média ............ Matemática ... Ufsj/2013 .............................. Múltipla escolha
8 ............. 119912 ..... Média ............ Matemática ... Epcar (Afa)/2013 .................. Múltipla escolha
9 ............. 90888 ....... Baixa ............. Matemática ... Uepg/2010 ........................... Somatória
10 ........... 86579 ....... Não definida .. Matemática ... Uel/2009............................... Múltipla escolha
11 ........... 122020 ..... Elevada ......... Matemática ... Fuvest/2013 ......................... Múltipla escolha
12 ........... 119730 ..... Elevada ......... Matemática ... Ufpe/2012 ............................ Verdadeiro/Falso
13 ........... 110924 ..... Elevada ......... Matemática ... Ita/2012 ................................ Múltipla escolha
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