Número irracionais
Um número racional é um número decima infinito que não é um dízima períodica.
Ou seja, um número decimal que não pode ser escrito com uma fração xy em que x é
um número inteiro e y um número natural.
Exemplos: π, 2 , 0, 12654678352888245. . .
Exercício: Prove que 2 não é racional.
Vimos que a soma e o produto de números racionais sempre resulta em um número
racional. Tal propriedade não é verdadeira para números irracionais.
Propriedade:
1) Se x é um número racional e y é irracional, então x ± y é irracional.
2) Se x é um número racional diferente de zero e y é irracional, então x × y é
irracional.
3) Se x for um número irracional, então −x também será.
3) Se x for um número irracional, então 1x também será.
Exercícios:
1) Prove que 3 é irracional.
x+y
2) Se x e y são números irracionais, é verdade que 2 é irracional? Prove a
veracidade dessa afirmação ou dê um contra-exemplo, mostrando que é falsa.
3) Mostre, com um contra-exemplo, que o produto de dois números irracionais pode
ser racional.
Números reais
O conjunto dos números reais é o conjunto formado por todos os números decimais.
Um número real pode ser racional ou irracional.
ℝ = a, a 0 a 1 a 2 … a n … , a ∈ ℤ e a i ∈ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, i ∈ ℕ = conjunto dos
números reais
OBS:
1) ℝ = ℚ ∪ ℚ
2) ℚ ′ = ℚ = ℝ − ℚ = conjunto dos números irracionais
Propriedade: A soma e o produto de números reais sempre resulta em um número
real.
Propriedades:Sejam x, y, z ∈ ℝ
Para adição:
1) Comutativa: x + y = x + y.
2) Associativa: x + y + z = x + y + z.
3) Existe um elemento nulo 0 em ℝ tal que x + 0 = 0 + x = x.
4) Para cada x em ℝ, existe um elemento oposto −x em ℝ tal que x + −x = 0.
Para multiplicação
1) Comutativa: x × y = y × x
2) Associativa: x × y × z = x × y × z
3) Existe um elemento nulo 1 em ℝ tal que x × 1 = 1 × x = x.
4) Para cada x em ℝ, x ≠ 0, existe um elemento oposto  1x  em ℝ tal que
x ×  1x  = 1.
5) Distributiva da multiplicação em relação a adição: x + y × z = x × z + y × z e
x × y + z = x × z + y × z.
OBS:
ℝ 2 = x, y/x, y ∈ ℝ = conjunto dos vetores no plano bi-dimensional.
ℝ 3 = x, y, z/x, y, z ∈ ℝ = conjunto dos vetores no plano tri-dimensional.
ℝ n = x 1 , x 2 , … , x n /x i ∈ ℝ = conjunto dos vetores n-uplas de números reais.