UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E BIOLÓGICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Nona Lista de Exercı́cios de Introdução ao Cálculo - MTM139
Prof. Júlio César do Espı́rito Santo
19 de junho de 2011
(1) Decida se existe ou não f ′ (0).
(a) f (x) =
(
1
xsen ,
x
0,
se x 6= 0
(b) f (x) =
se x = 0
(
1
x2 sen ,
x
0,
se x 6= 0
se x = 0
(2) Na superfı́cie do oceano, a pressão da água é igual à do ar acima da água,
1, 05kg/cm2. Abaixo da superfı́cie, a pressão da água cresce 0, 10kg/cm2
para cada metro abaixo da superfı́cie.
(a) Expresse a pressão da água como uma função da profundidade abaixo
da superfı́cie do oceano.
(b) A que profundidade a pressão é de 7kg/cm2 ?
[R. (a) P = 0, 1d + 1, 05; (b) 59, 5m]
(3) Esboçe o gráfico de uma função f para a qual f (0) = 0, f ′ (0) = 3, f ′ (1) = 0,
e f ′ (2) = −1.
(4) Esboçe o gráfico de uma função g para a qual g(0) = g ′ (0) = 0, g ′ (−1) =
−1, g ′(1) = 3, e g ′ (2) = 1.
(5) Se uma bola for atirada ao ar com uma velocidade de 10m/s, sua altura
(em metros) depois de t segundos é dada por
y = 10t − 4, 9t2 .
[R. −9, 6m/s]
Encontre a velocidade quando t = 2.
(6) Se uma pedra for lançada para cima no planeta Marte com uma velocidade
de 10m/s, sua altura (em metros) após t segundos é dada por
H = 10t − 1, 86t2 .
(a)
(b)
(c)
(d)
Encontre a velocidade da pedra após um segundo.
Encontre a velocidade da pedra quando t = a.
Quando a pedra atinge a superfı́cie?
Com que velocidade da pedra atinge a superfı́cie?
(7) A figura mostra os gráficos de f , f ′ f ′′ e f ′′′ . Identifique cada curva e
explique suas escolhas.
1
2
(8) A derivada de uma função par é uma função ı́mpar e a derivada de uma
função ı́mpar é uma função par. Verdadeiro ou falso?
(9) Derive as fórmulas a seguir:
(a) cos 2x = cos2 x − sen2 x
(b) sen(x + b) = senx cos b + senb cos x
(10) Derive e simplifique.
(1) y = (x4 − 3x2 + 5)3
(2) y = cos(tg(x))
√
(5) y = 2x x2 + 1
(6) y =
(9) y =
t
1 − t2
(3) y =
ex
1 + x2
e1/x
x2
(14) y =
(17) y =
sec 2θ
1 + tg2θ
x+
3x − 2
(4) y = √
2x + 1
1
√
3 4
x
(7) y = esen(2θ)
(10) y(x) = emx cos(nx)
(13) y =
√
1
sen(x − senx)
(11) y =
p
x cos
(8) y = e−t (t2 − 2t + 2)
√
x
(12) y = (arcsen2x)2
(15) y = x ln x − x.
(16) y = ln(cossec5x)
(18) y = 2x .
(19) y = ecx (csenx − cos x)
(20) y = ln(x2 ex )
(21) y = 3x ln x
(22) y = sec(1 + x2 )
(23) y = (1 − x−1 )−1
(25) y = 3x .
(26) y =
p
√
(24) y = 1/ 3 x + x
(29) y = ln senx − 12 sen2 x
(30) y =
(33) y = ln | sec 5x + tg5x|
√
(37) y = sen(tg 1 + x3 )
(41) y =
√
x + 1(2 − x)5
(x + 3)7
(45) y = ln(cosh 3x)
(49) y = cos(e
√
tg(3x)
)
p
√
sen x
(27) y = log5 (1 + 2x)
(x2 + 1)4
(2x + 1)3 (3x − 1)5
(28) y = (cos x)x
(31) y = xarctg(4x)
(32) y = ecos x + cos(ex )
(34) y = 10tgπθ
(35) y = cotg(3x2 + 5)
(36) y =
√
(38) y = arctg(arcsen x)
(39) y = tg2 (sen(θ))
(40) y = xex .
(43) y = xsenh(x2 )
(44) y =
(47) y = argcosh(senhx)
√
(48) y = xarctg x
(42) y =
(x + λ)4 )
x 4 + λ4
2
x + 4
(46) y = ln 2x + 5 (50) y = sen2 (cos
√
p
t ln(t4 )
senmx
x
senπx)
p
√
√
3
Respostas. 1.6x(x4 −3x2 +5)2 (2x2 −3) 3.1/(2 x)−4/(3 x7 ) 5.2(2x2 +1)/ x2 + 1 7.2 cos 2θesen2θ
√
√
√
√
9.(t2 +1)/(1−t2 )2 11.(cos x− xsen x)/2 x 13.[e1/x (1+2x)]/x4 15. ln x. 17.2 sec 2θ(tg2θ−1)/(1+
tg2θ)2 19.(1+c2 )ecx senx 21.3x ln x (ln 3)(1+ln x) 23.−(x−1)−2 25.3x ln 3. 27.2/(1+2x) ln 5 29.cotgx−
p
p
p
senx cos x 31.4x/(1+16x2 )+arctg(4x) 33.5 sec 5x 35.−6xcossec 2 (3x2 +5) 37.3x2 cos(tg 1 + x3 )(sec2 1 + x3 )/2 1 + x3
√
39.2 cos θtg(senθ) sec2 (senθ) 41.(x − 2)4 (3x2 − 55x − 52)/2 x + 1(x + 3)8 43.2x2 cosh(x2 ) + senh(x2 )
√
√
p
√
45.3tgh3x 47. cosh x/ senh2 x − 1 49.(−3sen(e tg3x )e tg3x sec2 (3x)/2 tg3x
Bom Estudo!