Universidade Estadual de Santa Cruz (UESC)
Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
Segunda prova de seleção para ingresso em 2012/2
Nome:
Data: 13/08/2012
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Seção A: Mecânica Clássica
Questão 1
Uma nave espacial cilı́ndrica, de massa M e comprimento L, está flutuando no espaço
sideral. Seu centro de massa, que podemos tomar como o seu ponto médio, é escolhido como
origem O das coordenadas, com Ox ao longo do eixo do cilindro.
(a) No instante t = 0, um astronauta dispara uma bala de revólver de massa m e velocidade
υ ao longo do eixo, da parede esquerda até a parede direita, onde fica encravada. Calcule a
velocidade V de recuo da nave espacial. Suponha que m ≪ M, de modo que M ± m ≈ M.
(b) Calcule o recuo total ∆X da nave, depois que a bala atingiu a parede direita. Exprima-o
em função do momento p transportado pela bala, eliminando da expressão a massa m.
(c) Calcule o deslocamento ∆x do centro de massa do sistema, devido à transferência da
massa m da extremidade esquerda para a direita da nave.
(d) Mostre que ∆X + ∆x = 0, e explique por que este resultado tinha necessariamente de ser
válido.
(e) Suponha agora que o astronauta, em lugar de um revólver, dispara uma canhão de luz
laser. O pulso de radiação laser, de energia E, é absorvido na parede direita, convertendo-se
em outras formas de energia (térmica, por exemplo). Sabe-se que a radiação eletromagnética,
além de transportar energia E, também transporta momento p, relacionado com E por:
p = E/c, onde c é a velocidade da luz. Exprima a resposta do item (b) em termos de E e c,
em lugar de p.
(f) Utilizando os itens (c), (d) e (e), conclua que a qualquer forma de energia E deve estar
associada uma massa inercial m, relacionada com E por E = mc2 . Um argumento essencialmente idêntico a este, para ilustrar a inércia da energia, foi formulado por Einstein.
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Questão 2
Uma partı́cula de massa m move-se num plano sob a influência de uma força f =
−Ar α−1 direcionada para a origem; A e α são constantes positivas. Utilize coordenadas
generalizadas apropriadas, e escolha o zero da energia potencial na origem. Encontre as
equações lagrangianas de movimento. O momento angular em relação à origem é conservado?
A energia total é conservada? Justifique suas respostas.
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Seção B: Termodinâmica
Questão 1
(a) Faça um diagrama P-V, a partir de um estado inicial P0 V0 , de uma expansão
adiabática, de uma expansão isotérmica e de uma expansão isobárica, todas até o volume
final 2V0 de um gás ideal. Use este gráfico para determinar em qual dos processos é realizado
o menor trabalho pelo sistema. (b) Calcule o trabalho relativo a cada processo. (c) Faça
agora um outro diagrama P-V para a substância agora comprimida até V0 /2 pelos mesmos
processos. Em qual deles seria realizado o menor trabalho? (d) Calcule o trabalho de cada
processo neste caso. (e) Construa, agora, dois diagramas P-T, um com as expansões e outro
com as compressões, todos partindo de um estado P0 T0 . Considere que γ = cP /cv = 5/3.
Questão 2
A pressão sobre um bloco de cobre a uma temperatura de 0◦ C é aumentada isotérmica
e reversivelmente de 1 atm a 1.000 atm. Suponha que o coeficiente de expansão volumétrico
ou expansibilidade β = 5 × 10−5 K−1 , o coeficiente de compressão isotérmico ou compressibilidade κ = 8 × 10−12 m2 N−1 e a densidade ρ = 8, 9 × 103 kg m−3 sejam constantes.
Calcule (a) a variação de volume ou de densidade do cobre neste processo, (b) o trabalho
por quilograma feito sobre o cobre e (c) o calor desprendido também por unidade de massa.
β = (1/V )(∂V /∂T )P ; κ = −(1/V )(∂V /∂P )T .
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Seção C: Eletromagnetismo Clássico
Questão 1
Duas esferas condutoras isoladas, de raios r1 = a e r2 = a/2, estão carregadas com
uma mesma quantidade de carga q.
(a) Obtenha o valor do campo elétrico na superfı́cie de cada esfera.
(b) Obtenha explicitamente a razão entre os campos elétricos superficiais. Expresse, também,
o resultado desta razão em função das densidades superficiais de carga, σ1 e σ2 .
(c) Estas esferas isoladas são conectadas por um fio condutor. Qual a carga q1 e q2 em ambas
ao final deste processo?
Questão 2
A Lei de Ampère, antes de Maxwell, era dada pela seguinte equação:
~ ×H
~ = J~
∇
Responda:
(a) Qual foi a contribuição de Maxwell para esta equação e porque ela foi modificada.
(b) Qual o significado fı́sico do termo incluı́do por Maxwell.
(c) Como se altera, então, a lei de circulação de Ampère?
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Seção D: Fı́sica Quântica
Questão 1
Considere uma partı́cula num poço de potencial unidimensional infinito, onde V = 0
para |x| < L. A fun¸ão de onda é dada por ψ = Asenkx + Bcoskx.
(a) Aplique as condições de contorno na função de onda para deduzir que k = nπ/(2L),
n = 1, 2, 3, ..., com A = 0 para n ı́mpar e B = 0 para n par.
(b) A densidade de probabilidade de encontrar a partı́cula numa dada posição x é proporcional
a |ψ|2 . Use este fato para normalizar a função de onda, isto é, encontre a constante de
proporcionalidade A.
(c) Usando o resultado do item anterior, calcule o valor médio e o desvio padrão de x (dado por
p
hx2 i − hxi2 ). Mostre que, no limite de n grande, os resultados tendem aos valores clássicos
√
para uma partı́cula oscilando no poço com velocidade uniforme: hxi = 0, hx2 i1/2 = L/ 3.
(d) A equação de Schrödinger independente do tempo pode ser escrita como (p2 /2m + V )ψ =
Eψ, onde p = −ih̄∂/∂x em 1 dimensão. Mostre que uma partı́cula num estado n tem energia
En = h̄2 π 2 n2 /(8mL2 ).
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Questão 2
Considere a matriz hermitiana:

2
0
0





Ω =  0 3 −1 


0 −1 3
(a) Mostre que os autovalores têm os valores ω1 = ω2 = 1 e ω3 = 2.
(b) Mostre que |ω = 2i é qualquer vetor da forma
1
(2a2 )1/2


0
 
 
 a 
 
a
(c) Mostre que o autoespaço ω = 1 contém todos os vetores da forma
1
2
(b + 2c2 )1/2

b

 
 
 c 
 
c
tanto substituindo ω = 1 nas equações ou forçando que o autoespaço ω = 1 seja ortogonal a
|ω = 2i.
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