Matemática I
Edezio 1
Função Exponencial - Prof. Edézio
Suponhamos que uma população tenha hoje 100.000 habitantes e que
haja um crescimento populacional de 2% ao ano. Assim:
• daqui a 1 ano o número de habitantes será
y1 = 100.000 + (0, 02) · 100.000 = 100.000(1 + 0, 02);
• daqui a 2 anos o número de habitantes será
y2 = y1 + 0, 002y1 = y1 (1 + 0, 002) = 100.000(1, 02)2 ;
• daqui a 3 anos o número de habitantes será
y3 = y2 + 0, 02y2 = y2 (1 + 0, 02) = 100.000(1, 02)3 .
De um modo geral, se tivermos uma grandeza com valor inicial y0 e que
cresça a uma taxa igual a k por unidade de tempo, então, após um tempo x,
medido na mesma unidade de k, o valor dessa grandeza y será dado por:
y = y0 (1 + k)x
Tal expressão, para 1 + k > 0 e 1 + k ̸= 1, é conhecida como função
exponencial. Quando k > 0 (crescimento positivo) ou k < 0 (crescimento
negativo ou decrescimento). Consideremos as seguintes funções: g(x) = 2x e
f (x) = (0, 5)x . Vamos atribuir a x os valores da tabela abaixo:
x g(x) = 2x
-3
1/8
-2
1/4
-1
1/2
0
1
1
2
2
4
3
8
f (x) = (0, 5)x
8
4
2
1
1/2
1/4
1/8
Matemática I
Edezio 2
Os gráficos dessas funções aparecem na figura abaixo:
Verifica-se que, quando a base (+k) é maior que 1, o padrão gráfico da
função exponencial segue o de g(x), e que, quando a base (1 + k) está entre
0 e 1, o padrão gráfico da função exponencial segue o de f (x).
Exemplo:Uma cidade tem hoje 20.000 habitantes, e esse número cresce a
uma taxa de 3% ao ano. Então:
(a) O número de habitantes daqui a 10 anos será y = 20.000(1, 03)10 =
26.878.
(b) Se daqui a 10 anos o número de habitantes fosse igual a 30.000 a taxa
de crescimento anual seria dada por
30.000 = 20.000(1 + k)10
(1 + k)10 = 1, 5
elevando ambos os membros a expoente
[(1 + k)10 ]1/10
(1 + k)1
1+k
k = 0, 0414
=
=
=
=
1
, teremos
10
[1, 5]1/10
(1, 5)0,1
1, 0414
4, 14%
Portanto a taxa de crescimento é 4,14% ao ano.
Matemática I
Exercı́cios:
1. O número de habitantes de uma cidade é hoje igual a 7.000 e cresce a
uma taxa de 3% ao ano.
(a) Qual o número de habitantes daqui a 8 anos?
(b) Qual o número de habitantes daqui a 30 anos?
2. Um imóvel vale hoje R$ 150.000 e a cada ano sofre uma desvalorização
de 3% ao ano.
(a) Qual seu valor daqui a 10 anos?
(b) Seja y o valor do imóvel daqui a x anos. Qual o gráfico de y em
função de x?
3. O PIB (Produto Interno Bruto) de um paı́s este ano é de 600 bilhões
de dólares, e cresce exponencialmente a uma taxa de 5% ao ano. Qual
o PIB daqui a 5 anos?
PIB: Valor total de bens e serviços finais produzidos dentro de um paı́s.
Edezio 3