Distribuições de
Probabilidade
Variáveis aleatórias contínuas
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Variáveis contínuas
Uma variável aleatória contínua toma um nº
infinito não numerável de valores (intervalos
de números reais), os quais podem ser
associados com medidas numa escala
contínua.
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Variáveis contínuas
Ficam completamente definidas por qualquer uma
das seguintes funções:
Função densidade de probabilidade
f(x) definida para todo o x em que a variável está
definida.
Notar que f(x) não representa P(X=x).
Numa variável contínua P(X=x)=0 para todo o x.
Função de distribuição
F(x)=P(X ≤ x), para todo o x real.
Notar que F(x) representa a probabilidade acumulada até x.
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Função densidade de probabilidade, f.d.p.
O gráfico da f.d.p.(ou curva da densidade) é
um gráfico que traduz a distribuição de
probabilidade de uma variável contínua.
Todos os pontos sob a curva têm de ter uma
ordenada maior ou igual a zero.
A área total sob a curva tem de ser unitária.
As probabilidades obtêm-se a partir de áreas
sob partes da curva.
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Exemplos de curvas de densidade
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Função densidade de probabilidade, f.d.p.
Probabilidade num intervalo
Relação com a função de
distribuição, F(x).
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Cálculo de probabilidades em variáveis
contínuas
P(X ≤ a) = F(a)
P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a)
P(X > a) = 1- F(a)
P(X = a) = 0, para todo o valor de a.
Atenção: em variáveis contínuas
P(X ≤ a) = P(X < a);
P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a ≤ X < b) = P(a < X < b)
P(X > a) = P(X ≥ a)
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Variáveis contínuas
População
Amostra
Probabilidade de uma
classe (intervalo de
valores)
Frequência relativa
de uma classe
(intervalo de
valores)
F(x)
Frequência relativa
acumulada
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Parâmetros de uma variável contínua
À semelhança do que foi feito para variáveis
discretas podemos definir parâmetros para
variáveis contínuas.
µ = Média
σ2 = Variância
σ = Desvio Padrão
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Parâmetros de uma variável contínua
O valor médio de uma variável aleatória X é
também designado por valor esperado e
representado por E[X]
E[X] = µ
A variância de uma variável aleatória X é
também representada por Var[X]
Var[X] = σ2
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Propriedades da média e da variância
Sejam X e Y duas
variáveis aleatórias
e a uma constante
real.
E[a] = a
E[aX] = aE[X]
E[X+Y] = E[X] + E[Y]
Sejam X e Y duas
variáveis aleatórias
independentes e a
uma constante real.
Var[a] = 0
Var[aX] = a2Var[X]
Var[X+Y] = Var[X] +
Var[Y]
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Parâmetros de uma variável contínua
Quantil: o quantil de ordem p é o valor xp que
acumula à sua esquerda probabilidade p.
Dito de outra forma, é o valor xp tal que
F(xp)=p.
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Parâmetros de variáveis contínuas e
discretas
Podemos definir outros parâmetros de
distribuições (contínuas ou discretas). Por
exemplo:
A moda de uma distribuição é o valore que
maximiza a função f(x).
A mediana de uma distribuição (quantil de
ordem 0.5) é o valor que divide ao meio a
probabilidade. F(mediana)=1/2. (Nota: nas
distribuições discretas esta divisão pode não
ser exacta.)
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Parâmetros de variáveis contínuas e
discretas
Se tivermos n variáveis aleatórias X1,X2…,Xn
independentes e com a mesma distribuição
de média µ e variância σ2,então observa-se
sempre que:
E[X] = µ
Var[X]= σ2 / n
Isto significa que a média de um conjunto de
variáveis é igual à média de cada uma delas
e a variância vem reduzida de um factor 1/n.
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Distribuições contínuas no SPSS
O SPSS tem disponíveis várias funções
relacionadas com distribuições contínuas
conhecidas, todas no menu Transform / Compute.
A função densidade de probabilidade, f(x), está
disponível através da expressão Pdf.xxx(x,?...)
disponível na opção PDF & Noncentral PDF da
janela Function Group.
A função de distribuição, F(x), está disponível
através da expressão Cdf.xxx(x,?...) disponível na
opção CDF & Noncentral CDF da janela Function
Group.
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Distribuições contínuas no SPSS
Os quantis estão disponíveis através da
expressão Idf.xxx(p,?...) disponível na opção
Inverse DF da janela Function Group.
A geração de valores aleatórios extraídos de
populações com determinada distribuição está
disponível através da expressão RV.xxx(?...)
disponível na opção Random Numbers da janela
Function Group.
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