DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA - ICTE
Lista 2 – CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Profa.: LIDIANE SARTINI
Derivadas de uma Função de uma Variável
01. Considerando que, caso exista, f '(a)  lim
x 0
f (a  x)  f (a)
, calcule:
x
a) f ’(2), se f(x) = x2
b) f ’(3), se f ( x) 
3
x
 x 2  1, se x  1
1  2 x, se x  1
c) f ’(1), se f ( x)  
02. Determinar a derivada das seguintes funções:
a) f(x) = x3 - 2x – 1
b) f ( x)  2xex
2
c) f ( x) 
x
d) f(x) = ex cosx
e) f(x) = senx +lnx
f) f ( x)   x
g) f ( x) 
1 x
1 x
h) f ( x)  x3 3 x 2
i) f ( x) 

x
 ln 2
e x ln x
j) f ( x) 
x
k) f ( x) 
arctgx
arcctgx
l) f ( x)  arcsen x . arccos x
m) f ( x)  arc sec x  arc csc x
n) f ( x) 
o) f ( x) 
ax6  b
a2  b2
sen x  cos x
sen x  cos x
p) f ( x)  ( x  1) e x sen x
03. Determine a derivada de f , utilizando a “regra da cadeia”, se:
 ax  b 
a) f ( x)  

 c 
6
j)
k) f ( z)  tg 2 (5z)
b) f ( z)  1  arc sen z
c) f ( x) 
3sen x  2 cos x
5
d) f ( x)  sen x  cos x
2
2
e) f ( y)  ctg y  ctg 
f)
f ( x)  sen(3x 2  6x  1)
f ( z)  5e z
l) f ( x)  sen 2 x  cos2 x
m) f ( y)  ctg y  ctg 
n) f ( x)  xe x  x
o) f ( z) 
1  cos(2 z)
1  cos(5z)
p) f ( x)  ln( x  1)  ln x  1
g) f ( x)  ln( 2 x  7)
q) f (t )  t e2t
h) f ( x)  arc sec x
r) f ( z )  cos z a
i)
cos z
f ( x)  e x sen x
2
04. Determine
dy
se:
dx
a) y  sen u, u  arcsen w e w  x 1 / 2
b) y  arc cos t, t  ln 2 w e w  x 3
c) y  2u , u  arc csct e t  cos x  tgx
05. Determine f x  se:
a) f ( x)  x 2 sen x
c) f ( x)  ln x
2
b) f ( x)  ln cos x 
06. Determinar y ' 
a) x3  y3  a3
dy
das seguintes funções definidas implicitamente.
dx
b) x3  x2 y  y 2  0
07. Determinar, algebricamente, os intervalos nos quais as funções seguintes são crescentes ou
decrescentes.
a)
f ( x)  3x2  6x  7
b)
f ( x)  x3  2x2  4x  2
c)
f ( x)   x 1 x  2 x  3
1
x
d)
f ( x)  x 
e)
x2
f ( x) 
x 1
08. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das
seguintes funções, nos intervalos indicados:
a)
f ( x)  1  3x, [2, 2]
c)
f ( x)  x2  4, [1,3]
b)
f ( x)  4  3x  3x2 , [0,3]
d)
f ( x)  x3  x2 , [0,5]
09. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das
seguintes funções, nos intervalos indicados (usando o teste da 1ª derivada):
a)
f ( x)  3x2  6x  1
b)
f ( x)  4x3  8x2
d)
f (t ) 
t 1
t 1
1
1
c) h( x)  x3  x 2  6 x  5
3
2
10. Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento, os máximos e os mínimos das
seguintes funções, nos intervalos indicados (usando o teste da 2ª derivada):
1
a) h( x)  x3  3x 2  7 x  9
3
b)
f ( x)  7 x  6x  3
2
c) g ( x)  4x  x2
d) g ( x) 
4x
x 4
2
11. Determinar os pontos de inflexão e reconhecer os intervalos onde as funções têm
concavidade voltada para cima ou para baixo.
a)
f ( x)  x3  5x2  6x
b)
f ( x)  3x4 10x3 12x2 10x  9
1
x4
c)
f ( x) 
d)
f ( x)  2xe3x
12. Um fazendeiro tem 200 bois, cada um pesando 300 kg. Até agora ele gastou R$ 380.000,00
para criar os bois e continuará gastando R$ 2,00 por dia para manter um boi. Os bois
aumentam de peso a uma razão de 1,5 kg por dia. Seu preço de venda, hoje, é de R$ 18,00 o
quilo, mais o preço cai 5 centavos por dia. Quantos dias deveria o fazendeiro aguardar para
maximizar seu lucro?
13. Achar dois números positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.
14. Uma agência de turismo está organizando um serviço de barcas, de uma ilha situada a 40 km
de uma costa quase reta, para uma cidade que dista 100 km, como mostra a figura a seguir.
Se a barca tem uma velocidade de 18 km por hora, e os carros têm uma velocidade média de
50 km/h, onde deverá estar situada a estação das barcas a fim de tornar a viagem a mais
rápida possível?
15. Um retângulo é inscrito num triângulo retângulo de catetos que mede 9 cm e 12 cm.
Encontrar as dimensões do retângulo com maior área, supondo que sua posição é dada na
figura a seguir.
16. Determine os seguintes limites utilizando a Regra de L’Hospital.
x2  4 x  4
a) lim 2
x2 x  x  2
x2  6 x
x2 x3  7 x 2  5 x
b) lim
c)
7 x5  6
x  4 x 2  2 x  4
lim
x
x 0 e  cos x
d) lim
x
2
e) lim
x 2
x3
1
( x 2  2) 3