ISSN 1984-8218
Zeros de Polinômios Ortogonais Clássicos de Uma Variável
Discreta
Iván Area,
Eduardo Godoy,
Depto de Matemática Aplicada II, E.E. Telecomunicación, Universidade de Vigo,
Campus Lagoas-Marcosende, 36310, Vigo, Spain,
E-mail: [email protected],
[email protected],
Dimitar K. Dimitrov
Depto de Ciências de Computação e Estatı́stica, IBILCE, UNESP,
15054-000, São José do Rio Preto, SP,
E-mail: [email protected],
Vanessa G. Paschoa
Depto de Matemática Aplicada, IMECC, UNICAMP,
13083-859, Campinas, SP,
E-mail: van [email protected].
∗
Resumo: Obtivemos limitantes precisos para os zeros dos polinômios ortogonais clássicos de
uma variável discreta, Charlier, Meixner, Kravchuck e Hahn, considerados como funções de
um parâmetro. Os resultados foram obtidos pelo uso do teorema de A. Markov, teorema de
Hellmann- Feynman e teorema de Perron-Frobenius.
Palavras-chave: Polinômios ortogonais de uma variável discreta; Zeros; Polinômios de Charlier; Polinômios de Kravchuk; Polinômios de Meixner; Polinômios de Hahn; Polinômios de
Gram.
Seja N0 := N∪{0} o conjunto de inteiros não negativos e seja N igual a N0 ou um subconjunto
finito de N0 da forma {0, 1, . . . , N }. Seja {Pn (x, τ )}n∈N uma sequência de polinômios ortogonais
de uma variável discreta, com respeito a uma função peso positiva ω(x; τ ), para τ ∈ (τ1 , τ2 ) e
x ∈ N . Ou seja, para todo n ∈ N , Pn (x, τ ) é um polinômio de grau exatamente n e para
τ ∈ (τ1 , τ2 ) é satisfeito
X
ω(k; τ )Pn (k, τ )Pm (k, τ ) = ρn δnm para todo m, n ∈ N ,
(1)
k∈N
sendo δnm o delta de Kronecker, definido por 0 se n 6= m e 1 se n = m. É suficiente que a função
ω(x; τ ) seja definida somente em N mas na maioria dos casos ω é bem definida para todos os
valores de x do fecho convexo K de N . No que segue, vamos supor que ω seja definida assim.
Um fato bem conhecido é que Pn (x, τ ) tem n zeros reais e distintos, pertencentes ao intervalo
K [3] e zeros de polinômios de graus consecutivos entrelaçam.
Os polinômios ortogonais clássicos de uma variável contı́nua, ao invés de satisfazerem a
∗
Pesquisa com apoio financeiro CAPES(Brasil)/DGU(Espanha) processo 160/08 e PHB2007–0078, pelo CNPq
processo 305622/2009–9, FAPESP processo 2009/13832–9, pela CAPES e pelo Ministerio de Ciencia e Innovación
da Espanha processo MTM2009–14668–C02–01, co-financiada pela European Community fund FEDER
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relação de ortogonalidade (1), são dados pela relação de ortogonalidade
b
Z
ω(x; τ )Pn (x, τ )Pm (x, τ ) dx = ρn δnm
a
com função peso ω(x; τ ) > 0 em (a, b). Os comportamentos dos zeros de polinômios ortogonais
clássicos de uma variável contı́nua com relação aos seus parâmetros têm sido extensivamente
estudados. Os zeros de polinômios ortogonais clássicos de uma variável discreta como funções
de seus parâmetros são um tema menos explorado, e é sobre isto que tratamos neste trabalho.
A primeira ferramenta que usamos, é muito provavelmente, o primeiro resultado provado que
lida com monotonicidade de zeros de polinômios ortogonais e foi estabelecido por Andrey Markov
em 1886. Uma versão mais geral desse teorema encontra-se no livro de Ismail [6, Teorema 7.1.1
p. 204].
Teorema A. Sejam, para τ ∈ (τ1 , τ2 ), os polinômios {Pn (x, τ )}n∈N que satisfazem a relação
de ortogonalidade (1) com respeito a função peso positiva ω(x; τ ) e assuma que a derivada com
respeito a τ , ωτ (x; τ ), seja contı́nua para todo τ ∈ (τ1 , τ2 ) e x ∈ K. Assuma ainda que as séries
X
k j ωτ (k; τ ), j = 0, . . . , 2n − 1,
k∈N
convergem uniformemente para τ em todo subconjunto compacto de (τ1 , τ2 ). Então, os zeros de
pn (x, τ ) são funções crescentes (decrescentes) de τ ∈ (τ1 , τ2 ) se ∂{log ω(x; τ )}/∂τ é uma função
crescente (decrescente) de x em K.
Outro fato caracterı́stico de uma sequência de polinômios ortogonais {sk (x; τ )}k∈N , dependentes do parâmetro τ , é que eles satisfazem uma relação de recorrência de três termos com
condições iniciais P−1 (x; τ ) = 0, P0 (x; τ ) = 1 e
xPk (x; τ ) = γk (τ )Pk+1 (x; τ ) + βk (τ )Pk (x; τ ) + δk (τ )Pk−1 (x; τ ),
k = 0, 1, 2, . . .
com γk (τ )δk+1 (τ ) > 0.
Associamos a essa relação de recorrência de três termos a matriz n × n

β0 (τ ) γ0 (τ )
0
0
...
0
 δ1 (τ ) β1 (τ ) γ1 (τ )
0
.
.
.
0

 0
δ2 (τ ) β2 (τ ) γ2 (τ )
...
0

Hn (τ ) = 
.
.
.
.
.
.
 0
.
.
.
0

 0
δn−2 (τ ) βn−2 (τ ) γn−2 (τ )
0
0
δn−1 (τ ) βn−1 (τ )









No entanto, podemos obter uma matriz simétrica quando consideramos a sequência {pk (x, τ )}k∈N
de polinômios ortonormais paramétricos, isto é ρn = 1 em (1). Tais polinômios são dados por
p0 (x; τ ) = 1,
pk (x; τ ) =
γ0 γ1 . . . γk−1
δ1 δ2 . . . δk
1/2
Pk (x; τ )
e satisfazem a relação de recorrência de três termos
xpk (x; τ ) = ak (τ )pk+1 (x; τ ) + bk (τ )pk (x; τ ) + ak−1 (τ )pk−1 (x; τ ),
com
ak (τ ) =
p
γk (τ )δk+1 (τ ),
e
bk (τ ) = βk (τ )
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k ≥ 0.
(2)
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Note que os zeros dos polinômios pn (x; τ ) coincidem com os zeros de Pn (x; τ ) e que além disso,
os zeros são autovalores da matriz de Jacobi


b0 (τ ) a0 (τ )
0
0
...
0
 a0 (τ ) b1 (τ ) a1 (τ )

0
...
0


 0

a1 (τ ) b2 (τ )
a2 (τ )
...
0


Jn = Jn (τ ) = 
(3)
.
..
..
..
 0

.
.
.
0


 0
an−3 (τ ) bn−2 (τ ) an−2 (τ ) 
0
0
an−2 (τ ) bn−1 (τ )
Sendo que, se λj = λj (τ ) é um zero de pn (x; τ ) e
Pj = Pj (τ ) := (p0 (λj ; τ ), p1 (λj ; τ ), . . . , pn−1 (λj ; τ ))T ,
então
Jn Pj = λj Pj .
Vamos denotar por Jn0 = Jn0 (τ ) a matriz de Jacobi cujos elementos são as derivadas dos correspondentes elementos de Jn (τ ). Formulamos o teorema conhecido por Teorema de HellmannFeynman (ver [6]) na forma que é conveniente para as nossas necessidades.
Teorema B. Para todo zero λj (τ ) de pn (x; τ ) temos que
λ0j (τ ) =
PjT Jn0 Pj
PjT Pj
.
Além disso, se a matriz Jn0 é uma matriz definida positiva (negativa), então os zeros λj (τ ) de
pn (x; τ ) são funções crescentes (decrescentes) do parâmetro τ .
Precisaremos também, do seguinte corolário do teorema de Perron-Frobenius [5, Teoremas
8.4.4 e 8.4.5]:
Teorema C. Seja Hn (τ ) uma matriz tridiagonal n×n com elementos fora da diagonal principal.
Se os elemementos de Hn (τ ) são funções crescentes de τ , então o maior autovalor de Hn (τ )é
função crescente de τ .
Vamos definir os polinômios por função hipergeométrica, tais funções são dadas da seguinte
forma
∞
X
(a1 )k (a2 )k . . . (an )k k
a1 , a2 , . . . , an
F
x
x
:=
n m
b1 , b2 , . . . , bm
k! (b1 )k (b2 )k . . . (bm )k
k=0
sendo (a)k o sı́mbolo de Pochhammmer que é o produto de k termos do seguinte modo (a)k =
a(a + 1) . . . (a + k − 1), e bj 6= −(m − 1), −(m − 2), −(m − 3), . . . , 0 para j = 1, . . . , m.
Os polinômios clássicos de uma variável discreta serão denotados por [8]:
Polinômios de Charlier
1
−n, −x
Cn (x; a) = 2 F0
, a > 0,
−
−
a
com zeros
0 < cn,n (a) < cn,n−1 (a) < · · · < cn,1 (a) < ∞;
Polinômios de Meixner
Mn (x; β, c) = 2 F1
−n, −x
β
1−
1
c
,
β > 0, c ∈ (0, 1),
com zeros
0 < mn,n (β, c) < mn,n−1 (β, c) < · · · < mn,1 (β, c) < ∞;
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Polinômios de Kravchuck
Kn (x; p, N ) = 2 F1
−n, −x
−N
1
−
p
,
p ∈ (0, 1), n ≤ N,
com zeros
0 < κn,n (p, N ) < κn,n−1 (p, N ) < · · · < κn,1 (p, N ) < N ;
Polinômios de Hahn
Qn (x; α, β, N ) = 3 F2
−n, −x, n + α + β + 1
−N, α + 1
1
,
α, β > −1, n ≤ N
com zeros
0 < qn,n (α, β, N ) < qn,n−1 (α, β, N ) < · · · < qn,1 (α, β, N ) < N.
Como já dito, os zeros de polinômios ortogonais são simples, zeros polinômios de graus
consecutivos entrelaçam e todos os zeros pertecem ao fecho convexo do intervalo de ortogonalidade, que no caso dos discretos é o intervalo fechado [0, N ] ou [0, ∞). Além disso, os zeros
dos polinômios ortogonais clássicos de uma variável discreta são separados por pelo menos uma
unidade.
Este primeiro teorema diz a respeito das monotonicidades dos zeros dos polinômios de Charlier, Meixner, Kravchuk e Hahn com respeito a seus parâmteros. Este resultado é provado com o
Teorema de Markov e para o parâmetro N com propriedades de entrelaçamento de zeros. Estes
resultados são conhecidos na literatura.
Teorema 1. Seja {Pn (x)} qualquer uma das quatro sequências de polinômios ortogonais de
variável discreta clássicos, (Charlier, Meixner, Kravchuk e Hahn). Então, para n, j ∈ N com
1 ≤ j ≤ n, temos que
• cn,j (a) são funções crescentes de a, para a ∈ (0, ∞);
• mn,j (β, c) são funções crescentes de ambos β ∈ (0, ∞) e c ∈ (0, 1);
• κn,j (p, N ) são funções crescentes do parâmetro p ∈ (0, 1) e são funções crescentes de N
no sentido que κn,j (p, N ) < κn,j (p, N + 1) enquanto N ≥ n;
• qn,j (α, β, N ) são funções crescentes de α ∈ (−1, ∞), funções decrescentes de β ∈ (−1, ∞)
e funções crescentes de N , ou seja, qn,j (α, β, N ) < qn,j (α, β, N + 1) sendo N ≥ n.
Usaremos as seguintes definições e notações para os polinômios ortogonais clássicos de
variável contı́nua, Hermite, Laguerre e Jacobi [8]:
1
−n/2, −(n − 1)/2
n
Hn (x) = (2x) 2 F0
,
− 2
−
x
(α + 1)n
−n
(α)
x ,
Ln (x) =
1 F1
α+1
n!
(α + 1)n
−n, n + α + β + 1 1 − x
(α,β)
.
Pn
(x) =
2 F1
α+1
n!
2
Seus zeros são denotados por hn,j , xn,j (α) e xn,j (α, β), j = 1, . . . , n, respectivamente e
supomos que eles são arranjados em ordem decrescente. Isto é,
hn,n < . . . < 0 < hn,[n/2] < . . . < hn,1 ,
0 < xn,n (α) < . . . < xn,1 (α),
e
−1 < xn,n (α, β) < . . . < xn,1 (α, β) < .
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Os teoremas a seguir fornecem os limitantes para os zeros de cada uma das famı́lias Charlier,
Meixner, Kravchuk e Hahn, sendo que para Charlier e Meixner são dados limitantes para cada
um de seus zeros e para Kravchuk e Hahn para os zeros extremos. Estes resultados são fornecidos
no nosso artigo [1].
√
Teorema 2. Seja n ∈ N e a > 0. √
Então, para todo j, 1 ≤ j ≤ n, as funções (cn,j (a) − a)/ 2a
decrescem e (cn,j (a) − a − n + 1)/ 2a crescem para a ∈ (0, ∞). Além disso, as desigualdades
√
√
a + 2a hn,j ≤ cn,j (a) ≤ a + n − 1 + 2a hn,j ,
são satisfeitas para j = 1, . . . , n.
O resultado para Meixner, a seguir, foi obtido por Ismail e Muldoon em [7, Teorema 6.2].
√
Teorema 3. Sejam n ∈ N, β > 0 e 0 < c < 1. Então ((1 − c)mn,j (β, c) − cβ)/ c são funções
√
decrescente de c e ((1 − c)mn,j (β, c) − cβ − n + 1)/ c são funções crescentes de c, quando
c ∈ (0, ∞). Além disso, as desigualdades
√
√ c
xn,j (β − 1) − β(1 − c) ≤ mn,j (β, c),
1−c
√ √ √
c
(1 − c)2
√
,
xn,j (β − 1) − β(1 − c) + (n − 1)
mn,j (β, c) ≤
1−c
c
são satisfeitas para j = 1, . . . , n.
Teorema 4. Sejam n, N ∈ N, com n ≤ N e 0 < p < 1.
(i) Seja 0 < p ≤ 1/2. Em função do maior zero de Kn (x; p, N ) temos que
κn,1 (p, N ) − pN − (1 − 2p)(n − 1)
√
N
é função crescente de N enquanto
κn,1 (p, N ) − pN
√
N −n+1
é função decrescente de N . Em função do menor zero de Kn (x; p, N ) temos que
κn,n (p, N ) − pN − (1 − 2p)(n − 1)
√
N −n+1
é função crescente de N enquanto
κn,n (p, N ) − pN
√
N
é função decrescente de N .
Além disso, temos os limitantes:
p
κn,1 (p, N ) ≤ pN + (1 − 2p)(n − 1) + 2p(1 − p)N hn,1 ,
p
κn,1 (p, N ) ≥ pN + 2p(1 − p)(N − n + 1)hn,1 ,
p
κn,n (p, N ) ≤ pN + (1 − 2p)(n − 1) − 2p(1 − p)(N − n + 1)hn,1 ,
p
κn,n (p, N ) ≥ pN − 2p(1 − p)N hn,1 ,
sendo hn,1 o maior zero de Hn (x).
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(ii) Seja 1/2 ≤ p < 1. Em função do maior zero de Kn (x; p, N ) temos que
κn,1 (p, N ) − pN
√
N
é função crescente de N e
κn,1 (p, N ) − pN + (2p − 1)(n − 1)
√
N −n+1
é função decrescente de N . Em função do menor zero de Kn (x; p, N ) temos que
κn,n (p, N ) − pN
√
N −n+1
é função crescente de N enquanto
κn,n (p, N ) − pN + (2p − 1)(n − 1)
√
N
é função decrescente de N . Além disso, temos os limitantes:
p
κn,1 (p, N ) ≤ pN + 2p(1 − p)N hn,1 ,
p
κn,1 (p, N ) ≥ pN − (2p − 1)(n − 1) + 2p(1 − p)(N − n + 1)hn,1 ,
p
κn,n (p, N ) ≤ pN − 2p(1 − p)(N − n + 1)hn,1 ,
p
κn,n (p, N ) ≥ pN − (2p − 1)(n − 1) − 2p(1 − p)N hn,1 ,
sendo hn,1 o maior zero de Hn (x).
Teorema 5. Sejam n e N inteiros positivos com n ≤ N e α e β parâmetros reias satisfazendo
α, β > −1. Então as desigualdades para os zeros extremos de Hahn
1 − xn,n (α, β)
1+α
α+β+2
−
(4)
qn,1 (α, β, N ) ≤ N +
2
2
2
e
qn,n (α, β, N ) ≥
α+β+2
N+
2
1 − xn,1 (α, β)
2
−
1+α
2
(5)
são satisfeitas.
Além disso, existem excelentes limitantes explı́citos para hn,j , xn,j (α) e xn,j (α, β). Verificamos que os melhores limitantes para hn,j são encontrados em [2, (1.5)], [4, Teo. 2] e [11,
(6.32.3)], para xn,j (α) em [4, Teo.1], [9, Teo. 1] e [11, (6.32.2)], e para xn,j (α, β) em [4, Teo. 1].
Usando esses resultados com os teoremas anteriores imediatamente obtemos corolários fornecem
limitantes explı́citos para os zeros dos polinômios de Charlier, Meixner, Kravchuck e Hahn.
Os melhores limitantes explı́citos encontrados na literatura para os zeros dos polinômios de
Charlier, Meixner, Kravchuck e Hahn são dados por Krasikov e Zarkh [10]. Fizemos comparações
numéricas entre os nossos limitantes explı́citos e os de Krasikov e Zarkh. Um primeiro fator
de vantagem é que os resultados de [10] são dados com algumas restrições para os valores
dos parâmetros enquanto os nossos valem para qualquer valor do parâmetro. Além disso, as
comparações numéricas apontam que nossos resultados são mais precisos que [10] em uma grande
parte de valores dos parâmetros.
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Referências
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[4] D.K. Dimitrov and G.P. Nikolov, Sharp bounds for the extreme zeros of classical orthogonal
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[8] R. Koekoek and R.F. Swarttouw, The Askey-scheme of hypergeometric orthogonal polynomials and its q-analogue, Delft University of Technology, Faculty of Technical Mathematics
and Informatics, Report no. 98–17, 1998. On-line version.
[9] I. Krasikov, On extreme zeros of classical orthogonal polynomials, J. Comput. Appl. Math.
193 (2006), 168–182.
[10] I. Krasikov and A. Zarkh, On zeros of discrete orthogonal polynomials, J. Approx. Theory,
156 (2009), 121–141.
[11] G. Szegő, Orthogonal Polynomials, 4th ed., Amer. Math. Soc. Coll. Publ., Providence, RI,
1975.
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