PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DO RIO GRANDE DO SUL
Faculdade de Matemática – Departamento de Matemática
Disciplina de Álgebra Linear e Geometria Analítica
MATRIZ ORTOGONAL
Definição: Uma matriz quadrada A , inversível, é ortogonal se, e somente se, A
−1
= At .
Exemplo – A matriz
⎡
⎢
A=⎢
⎢
⎢⎣
1
2
3
2
−
⎡ 1
3⎤
⎥
⎢
2 ⎥ é ortogonal pois A −1 = ⎢ 2
1 ⎥
⎢− 3
⎢⎣ 2
2 ⎥⎦
3⎤
⎥
2 ⎥ = At
1 ⎥
2 ⎥⎦
Da definição decorre que A A = I e AA = I .
t
t
Propriedade:
Se A é um matriz ortogonal, então os vetores – coluna (ou linha) são ortogonais.
2
n
No intuito único de economizar espaço, faremos a demonstração no R , embora valha para todo R .
Prova: Seja A uma matriz ortogonal de 2ª ordem
⎡x
A=⎢ 1
⎣ y1
x2 ⎤
y 2 ⎥⎦
⎡ x1 ⎤
⎡ x2 ⎤
e v = ⎢ ⎥ são ortonormais.
⎥
⎣ y1 ⎦
⎣ y2 ⎦
e vamos mostrar que os vetores – coluna u = ⎢
Como A A = I , vem
t
⎡x
A A=⎢ 1
⎣ x2
t
y1 ⎤ ⎡ x1
y 2 ⎥⎦ ⎢⎣ y1
x 2 ⎤ ⎡ x12 + y12
=⎢
y 2 ⎥⎦ ⎣ x1 x 2 + y1 y 2
x1 x 2 + y1 y 2 ⎤ ⎡u.u u.v ⎤ ⎡1 0⎤
⎥=⎢
⎥=⎢
⎥
x12 + y 22 ⎦ ⎣u.v v.v ⎦ ⎣0 1⎦
Tendo em vista que u.v = 0 e u.u = 1 = v.v , os vetores u e v são ortonormais.
Esta propriedade será de grande utilidade na identificação de matrizes ortogonais. Observemos ainda o fato de
2
que estes vetores – coluna da matriz ortogonal A constituem uma base ortonormal do R . Assim sendo,
estamos estabelecendo uma correspondência entre bases ortonormais e matrizes ortogonais (talvez devessem
melhor chamar-se de matrizes ortonormais, porém, esta nomenclatura não é usual).
Exemplo –
A matriz
⎡ 2
⎡ 2 ⎤
⎡ 1 ⎤
1 ⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
5 ⎥ é ortogonal, pois os vetores – coluna u = ⎢ 5 ⎥ e u = ⎢ 5 ⎥ são ortonormais, isto é,
A=⎢ 5
2
1
2 ⎥
⎢− 1
⎢− 1 ⎥
⎢ 2 ⎥
⎢⎣
⎢⎣
⎢⎣ 5 ⎥⎦
5 ⎥⎦
5
5 ⎥⎦
u1 .u 2 = 0 e u1 = u 2 = 1
Professor Paulo Winterle
2
Observações
a)
Como construir uma matriz ortogonal?
Para uma matriz A de ordem 2x 2 , seguimos os passos:
2
1º - escolhemos qualquer base ortogonal do R , como por exemplo,
{v = (1,1), v = (− 1,1)}
1
2
2º - desta obtemos a base ortonormal
⎧⎪ v1 v 2 ⎫⎪ ⎧⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1 1 ⎞⎫
⎟, ⎜ −
⎟⎟⎬
,
,
⎨ ,
⎬ = ⎨⎜
⎪⎩ v1 v 2 ⎪⎭ ⎩⎜⎝ 2 2 ⎟⎠ ⎜⎝
2 2 ⎠⎭
3º - logo, a matriz ortogonal correspondente é
⎡
⎢
A=⎢
⎢
⎢⎣
1
−
2
1
2
1 ⎤
⎥
2⎥
1 ⎥
2 ⎥⎦
b)
Se f : R → R é definida por f (v) = Av , onde A é ortogonal, diz-se também ser f ortogonal.
c)
Tomemos dois vetores quaisquer no R
coluna, isto é,
n
n
: u = ( x1 , y1 ) e v = ( x 2 , y 2 ) . Representando-os como vetores –
2
⎡x ⎤
⎡x ⎤
u = ⎢ 1⎥ e v = ⎢ 2⎥
⎣ y1 ⎦
⎣ y2 ⎦
é fácil ver que
u.v = u t v
pois
u.v = x1 x 2 + y1 y 2 =[x1
⎡x ⎤
y1 ] ⎢ 2 ⎥ = u t v
⎣ y2 ⎦
n
Obviamente, esta conclusão aplica-se para vetores no R .
Propriedades:
1) Seja f : R → R definida por
n
n
f (v) = A.v , sendo A ortogonal.
Então, f preserva o produto escalar, isto é,
f (u ). f (v) = u.v para ∀u , v ∈ R 2
(1)
De fato,
f (u ). f (v) = Au. Av = ( Au ) t Av = u t A t Av = u t Iv = u t v = u.v
Desta propriedade, seguem alguns corolários:
a)
Todo operador ortogonal f : R → R preserva o módulo, isto é,
n
n
f (v) = v , ∀v ∈ R n
Professor Paulo Winterle
3
De fato,
f (v). f (v) = v.v [de (1) para u = v ]
ou
f (v ) = v
2
2
e, portanto, f (v) = v
Exemplo – Para
⎡
⎢
A=⎢
⎢
⎢⎣
1
2
1
2
−
1 ⎤
⎥
2⎥
e v = (4,2 ) , temos
1 ⎥
2 ⎥⎦
⎛ 2 6 ⎞
⎛ 2 6 ⎞
4 36
⎟⎟ e f (v) = ⎜⎜
⎟⎟ =
f (v) = Av = ⎜⎜
,
,
+
= 2 + 18 = (4,2 ) = v
2 2
⎝ 2 2⎠
⎝ 2 2⎠
b)
Todo operador ortogonal f : R → R preserva o ângulo, isto é,
n
n
âng (u , v ) = âng ( f (u ), f (v) ) , ∀u, v ∈ R n
De fato, sendo θ o ângulo entre u e v , tem-se cos θ =
u.v
e, consequentemente, por (1) é o corolário
uv
f (u ). f (v)
e θ é também o ângulo entre f (u ) e f (v) . A figura ilustra este
f (u ) f (v)
anterior, também vale cos θ =
fato.
y
f(v)
v
f(u)
x
u
c)
Todo operador ortogonal f : R → R preserva as distâncias, isto é,
n
n
f (u ) − f (v) = u − v , ∀u , v ∈ R n
De fato,
f (u ) − f (v) = f (u − v ) = f (u − v ). f (u − v ) = (u − v )(
. u − v) = u − v
2
Portanto a distância f (u ) − f (v ) entre
2
2
f (u ) e f (v) é igual à distância u − v entre u e v .
Estes três corolários caracterizam os operadores ortogonais como sendo aqueles relacionados a movimentos
rígidos.
Para exemplificar, um quadrado é transformado por uma matriz ortogonal em outro quadrado de mesmo
tamanho.
Professor Paulo Winterle