Exame N. 1 - vetores geométricos
Usando vetores geométricos. No trapézio ABCD da …gura
ao lado, M e N são os pontos médios das diagonais AC e BD,
respectivamente.
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01. Mostre que M N =
1
2
!
AB
!
DC
Solução:
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!
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Considerando que M e N são pontos médios, temos que AM + CM = ~0 e N B + N D = ~0. Usando
as operações com vetores, encontramos:
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AB
!
!
!
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!
!
!
!
!
DC = AB + CD = (AM + M N + N B) + (CM + M N + N D) =
!
!
!
!
!
!
= (AM + CM ) + 2M N + (N B + N D) = 2M N
e daí segue o resultado.
Calculando a área de um triângulo. Escolha três pontos A; B e C do espaço, não alinhados.
!
!
02. Calcule AB e AC:
Solução:
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Consideremos os pontos A (0; 0; 0) ; B (1; 0; 0) e C (0; 1; 0). Temos que AB = ~i e AC = ~j e como
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!
AB não é múltiplo escalar de AC, segue que os pontos A; B e C não estão alinhados.
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!
03. Calcule o produto vetorial AB AC:
Solução:
!
Temos que AB
!
AC = ~i
~j = ~k.
04. Calcule a área do triângulo ABC:
Solução:
A área do triãngulo ABC é S =
1
2
!
AB
!
AC =
1
2
~k = 1=2
Construindo uma base ortonormal a partir do vetor ~a = ~i
~j + 3~k.
05. Veri…que se o vetor ~b = 2~i + 5~j + ~k ortogonal ao vetor ~a:
Solução:
Temos que ~a ~b = 2
5 + 3 = 0 e, portanto, os vetores ~a e ~b são ortogonais.
06. Encontre um vetor ~c que seja ortogonal aos vetores ~a e ~b, simultaneamente.
Solução:
O vetor ~c = ~a
~b é ortogonal aos vetores ~a e ~b: Um cálculo simples nos dá:
~i
~a
~b =
~j
1
~k
2
5
16~i + 5~j + 7~k:
=
1 3
1
07. Calcule as normas dos vetores ~a; ~b e ~c:
Solução:
k~ak =
p
1+1+9=
p
11;
jj~bjj =
p
4 + 25 + 1 =
p
30
e k~ck =
p
256 + 25 + 49 =
p
330
08. Construa uma base ortonormal negativa f~u; ~v ; wg,
~ de modo que ~u; ~v e w
~ sejam colineares a
~a; ~b e ~c; respectivamente.
Solução:
~b
~a
~c
; ~v =
. Esses vetores são unitários e mutuamente
e w
~=
k~ak
k~ck
jj~bjj
ortogonais e, sendo assim, formam uma base ortonormal.
Consideremos os vetores ~u =
Sejam ~u e ~v dois vetores ortogonais, sendo ~u unitário e k~v k =
09. Calcule o produto interno (~u + ~v ) (~u
p
3:
~v ) :
Solução:
Sendo ~u e ~v dois vetores ortogonais, então ~u ~v = 0 e ~v ~u = 0: Usando as propriedades do produto
escalar, obtemos:
(~u + ~v ) (~u
~v ) = ~u ~u
~v ~v = kuk2
~u ~v + ~v ~u
k~v k2 = 1
3=
10. Calcule k2~u + ~v k :
Solução:
Mais uma vez usaremos os dados: k~uk = 1; k~v k =
p
3 e ~u ~v = 0. Temos que
k2~u + ~v k2 = k2~uk2 + 2(2~u ~v ) + k~v k2 = 4 k~uk2 + k~v k2 = 4 + 3 = 7
2
2