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Questão 5
As raízes da equação do terceiro grau
x3 – 14x2 + kx – 64 = 0
são todas reais e formam uma progressão geométrica. Determine
a) as raízes da equação;
b) o valor de k.
Resolução
Sendo (x1, x2, x3 ) a progressão geométrica formada pelas raízes da equação, temos x22 = x1 ⋅ x3 e, também,
123
x1 + x2 + x3 = 14
x1 ⋅ x2 + x1 ⋅ x3 + x2 ⋅ x3 = k
x1 ⋅ x2 ⋅ x3 = 64
(1)
(2)
(3)
a) Da terceira relação, temos
x2 ⋅ x1 ⋅ x3 = 64

x2 ⋅ x22 = 43
x32 = 43
Como x2 ∈ , temos x2 = 4.
4
Sendo q a razão da progressão, temos x1 = e x3 = 4q.
q
(*)
Da relação em (1), temos
4
+ 4 + 4q = 14
q
2
+ 2 + 2q = 7
q
2 + 2q + 2q2 = 7q
2q2 – 5q + 2 = 0
Dessa equação, resulta q = 2 ou q =
1
.
2
De (*), podemos concluir que as raízes x1 e x3 são iguais a 2 e 8.
Logo, as raízes são 4, 2 e 8.
Resposta: 2, 4 e 8
b) Da relação em (2), temos 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 8 + 4 ⋅ 8 = k, ou seja, k = 56.
Resposta: 56